Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Использовав ту же аргументацию, что при получении функции
получим среднее значение функции
:
,
. (4.17)
Далее,
∙
, (4.18)
∑
, (4.19)
∑
. (4.20)
Перепишем выражение (4.15), используя функции (4.16) и (4.17).
В итоге получим:
. (4.21)
Принято считать, что
несколько завышает величину возврата
взносов, поскольку правомерно предполагать, что он происходит равномерно в течение года. Обычно применяют следующую формулу:
. (4.22)
Фрагмент таблицы для расчёта коэффициентов
и
пред-
ставлен в таблице 4.6.
Таблица 4.6
Расчет коэффициента
18 7 995 1 623 9 635 8 823 9 635 65 601 8 823 59 875 21 199 3,09447 2,82436
19 7 345 1 368 8 012 7 328 8 252 55 966 7 547 51 051 18 405 3,04077 2,77375
20 6 747 1 153 6 643 6 067 7 048 47 714 6 436 43 504 15 977 2,98644 2,72294
… … … … … … … … … … … …
55 70 1 2 2 12 35 10 28 608 0,05694 0,04641
56 69 1 2 2 9 23 8 18 574 0,03997 0,03133
57 67 1 1 1 7 14 6 10 540 0,02530 0,01863
58 65 0 1 1 5 7 3 4 507 0,01338 0,00880
59 63 0 0 0 2 2 1 1 474 0,00473 0,00236
и
по формулам (4.21) и (4.22)
81
Пример. Пусть взносы составляют 10% суммы заработной платы
(0,1). Если для группы 20-летних
280 тыс. руб., то современная
стоимость полного возврата будущих взносов оценивается как:
∙∙
0,1∙280∙2,7229476,242тыс.руб.
Таким образом, общая величина современной стоимости возврата
для этой группы участников составляет:
76,24257,348133,59тыс.руб.
Выше предполагалось, что взносы возвращаются участнику в полном
объеме, но без начисления на них процентов. Изменим это условие. Пусть
теперь взносы возвращаются с начислением сложных процентов по ставке .
Она может отличаться от ставки – нормы
доходности, принятой при опре-
делении стоимости аннуитета. Очевидно, что ставка не может превышать .
В случае, когда , оба процесса – наращения дисконтирования взносов –
как бы погашают друг друга. Следовательно, современная стоимость взносов
равна сумме платежей с учётом вероятностей их выплат. Полученная оценка
этой величины является максимальный.
Обычно . В
этом случае дисконтирование потока платежей произ-
водится не по ставке , а по поставке , которую легко определить из очевид-
ного соотношения:
1.
Таким образом, все коммутационные функции, необходимые для
расчёта
и
, определяется с применением ставки соответствующего
дисконтного множителя.
Возврат взносов по случаю смерти участника
Правила зарубежных пенсионных фондов иногда предусматривают
возврат взносов наследникам умершего участника до его выхода на пенсию.
В этом случае методика оценивания современной стоимости возврата аналогична той, которая применяется при выходе участника из фонда. В расчётных
формулах величины заменяются на
функции
,
,
и так далее, а также коэффициенты
, рассчитываются коммутационные
и
.
Если пособие наследникам участника не связано с взносами и является
разовым, то речь идёт об обычном страховании его жизни.
82
ГЛАВА 5. ГРУППОВОЕ СТРАХОВАНИЕ. ПЕНСИИ ПО СТАРОСТИ
И ИНВАЛИДНОСТИ. АКТУАРНЫЙ БАЛАНС
5.1. Пенсии по старости
Выплаты по этому виду пенсий представляют собой вероятностные
потоки платежей (страховые аннуитеты). Поток начинается с выплат в возрасте
выхода на пенсию лет. Если для предусматривается некоторый временной
диапазон, то имеется несколько таких потоков (
для каждого возраста из этого
диапазона). Для работающих участников фонда данный поток платежей является отложенным страховым аннуитетом. Необходимые вероятности выхода
на пенсию по старости определяются по таблице выбытия, вероятности
дожития в статусе пенсионера – по общей таблице смертности.
Напомним, что современная стоимость немедленного пожизненного
аннуитета пренумерандо для возраста ровно лет
определяется как:
– для годовых выплат и как
– для ежемесячных.
В свою очередь, для аннуитетов постнумерандо имеем:
и
.
Эти и аналогичные формулы позволяют определить современную
стоимость потока выплат пенсий. Условия их осуществления могут быть
различными, за одним исключением: выплата аннуитета производится
точно в возрасте лет. Например, если число пенсионеров в группе равно
, то стоимость немедленного аннуитета, с платежами в размере 1 рубль,
∙
для выплат пренумерандо составит
Группа участников численностью
.
выходит на пенсию не точно
возрасте лет, а в течение года. В связи с этим на практике часто используют
среднюю стоимость аннуитета постнумерандо для возраста в интервале от
лет до 1 года. В этом случае она обычно определяется как:
/
. (5.1)
Для последнего возраста выхода на пенсию применяют
вместо
/
прибегают к
(американская практика). Разумеется,
. Иногда
между этими показателями, полученными на одинаковых условиях, имеются
некоторые, впрочем, небольшие, различия.
83
Перейдём к определению современной стоимости пенсии для участника
возрасте лет. Рассмотрим ряд вариантов. В простейшем из них пенсия
зависит не от заработной платы, а только от стажа участника. Например, за
каждый год работы устанавливается пенсия в размере рублей. Этот вариант
встречается редко. Он важен скорее в методическом плане.
С него и начнем
обсуждение проблемы.
Пенсии, зависящие от стажа, выработанного участником
Определим стоимость пенсионного аннуитета для участника в возрасте
лет, которому выплачивается пожизненная пенсия начиная с лет (пусть
минимальный возраст выхода на пенсию – 60 лет, максимальный – 65 лет).
Поскольку, как и выше, предполагается, что выплаты пенсии равномерны в
течение
года, для определения стоимости немедленного аннуитета правомерно
применить формулу (5.1). Отсюда следует, что современная стоимость пенсии
с годовым размером 1 рубль, выплачивается, начиная с возраста , для участника возрасте лет составит:
∙
∙
∙
∙
∙
, (5.2)
где
– число участников по таблице выбытия, вышедших на пенсию в
возрасте лет.
∙
/
∙
/
5965. (5.3)
Следует обратить внимание на то, что функция содержит три сомножителя, причём один из них –стоимость немедленного аннуитета. Она
определяется только для возраста выхода на пенсию. Для максимального
возраста выхода на пенсию (65 лет) функцию (5.3) принято определять как:
∙∙
∙
. (5.4)
Ведём ещё одну коммутационную функцию:
∑
. (5.5)
При величина данной функции постоянна и равна значению
функции, полученному для минимального возраста выхода на пенсию:
.
Теперь можно определить современную стоимость, в возрасте лет,
пожизненных годовых пенсионных выплат в размере 1 рубль:
84
. (5.6)
Отношение (5.6) учитывает вероятности дожития участника в возрасте
лет, как до наступления пенсионного возраста, так и после.
Пусть прошлый стаж -го участника составляет лет. Тогда размер
пенсии, определяем определяемый этим стажем, равен
∙ (напомним, что
– размер пенсии за год до стажа), для всех участников данной возрастной
группы общая сумма пенсии составляет ∙∑
. Таким образом, современная
стоимость пенсий для участников в возрасте лет равна:
∑
∙∙
Если не является постоянной величиной, а зависит от
∑
∙
. (5.7)
, то имеем:
∙
. (5.8)
Перейдём к расчёту современной стоимости пенсии, определяемой
будущим стажем (после достижения -летнего возраста). Для этого ведём
две коммутационные функции:
; (5.9)
∑
. (5.10)
Современная стоимость 1 рубля пенсии, связанной с будущим стажем,
представим в виде отношения полученных выше функций:
. (5.11)
Пример. Рассчитаем современную стоимость пожизненной пенсии
для участника возрасте 50 лет, если он уже имеет 10-летний стаж. За каждый
год стажа устанавливается пенсия в размере 2000 руб.
Современную стоимость пенсии за отработанный стаж находим по
формуле (5.7):
10∙∙
10∙2∙
469,2
43,872тыс.руб.
214
За будущий стаж для этого участника получим:
∙
2∙
5092
47,589тыс.руб.
214
85
Пенсии, определяемые по заработной плате
При установлении размера пенсии, зависимого от заработной платы,
применяют различные схемы: он может быть пропорционален средней заработной плате за весь период (редко), средней за несколько последних лет
работы или заработной плате последнего года работы. Могут применяться
и более сложные схемы, но, так или иначе
, они базируются на заработной
плате, а часто и на стаже (фиксированный процент за каждый год стажа).
Обсуждение методики начнём с варианта, в котором учитывается заработная
плата участников за все время работы.
В любом варианте методика расчёта современной стоимости пенсии
для уже имеющегося стажа (выслуженная пенсия) отличается от методики
расчёта для
будущего стажа участника. В последнем случае необходимо
определить рост зарплаты за период от лет до возраста выхода на пенсию
( лет) и, кроме того, учесть вероятности достижения им возраста.
Для записи формул примем следующие обозначения, связанные заработной платой:
– общая сумма заработной платы группы участников в возрасте
лет за весь прошлый стаж;
– общая сумма заработной платы участников в возрасте лет за
год на день оценивания;
– годовая заработная плата участника в возрасте лет;
– коэффициент пропорциональности размера пенсий по отношению к
заработной плате.
Для вычисления современной стоимости пенсии, определённой по
имеющемуся стажу, можно воспользоваться коэффициентом.
(см.
формулу (5.6)). При условии, что пенсия пропорционально всей сумме зара-
ботной платы участников в возрасте лет, получим:
∙
∙
∙∙
. (5.12)
Несколько сложнее обстоит дело с пенсией, определяемой будущей
заработной платой. Ранее были рассмотрены методики учёта роста заработной платы при оценке современной стоимости пенсионных взносов и
возврата взносов при выходе из фонда. Воспользуемся ими.
Если участник выходит на пенсию в возрасте лет, то с учётом
дожития до этого возраста
и соответствующего роста заработной платы
получим следующую величину современной стоимости пенсии:
∙
∙
∙
.
86
Для всех значений :
∙∙
∑
∙∙
.
Для нахождения последнего сомножителя в этой формуле (обозначим
его
) необходима коммутационная функция:
∑
. (5.13)
Функция
современная стоимость пенсии размером 1 рубль для участника в возрасте
лет составляет:
определена с помощью отношения (3.19). Таким образом,
. (5.14)
При суммарной заработной плате группы участников в возрасте
лет за год, равной
, современная стоимость пенсий, определяемой будущей
заработной платой, равна:
∙∙
∙∙
. (5.15)
Разумеется, с помощью формулы (5.15) можно рассчитать современную
стоимость пенсии по будущим взносам и для отдельного участника. В этом
случае вместо
фициентов
используем
(мужчины).
. В таблице 5.1 показан порядок расчёта коэф-
Пример. У участника фонда в возрасте 50 лет сумма заработной платы
за все годы работы равна 300 000 руб., заработная плата за год до 50 лет
составит 50 000 руб. При условии, что 0,1, получим по формуле (5.12):
∙∙
0,1∙300∙
469,43
65,8тыс.руб.,
214
а по формуле (5.15):
∙∙
0,1∙50∙
25146
824
87
152,6тыс.руб.
Таблица 5.1
по формуле (5.14)
Фрагмент таблицы для расчета коэффициентов
18 100 000 - 21 199 469,43 1 21 199 469,43 54 369 2,56466
19 91 877 - 17 869 469,43 1,03 18 405 483,51 53 900 2,92852
20 84 401 - 15 090 469,43 1,0609 15 977 487,02 53 416 3,34336
… … … … … … … … … …
59 12 808 - 79,3 469,43 5,98258 474 2 808,41 5 185 10,92713
60 12 417 8 612 70,5 295,44 5,98258 422 1 767,47 2 376,4 5,63099
61 3 577 2 479 18,6 76,418 5,98258 111 457,176 608,90 5,45973
62 1 027 711 4,91 19,789 5,98258 29,4 118,388 151,71 5,16488
63 294 233 1,29 4,775 5,98258 7,71 28,568 33,32 4,32022
64 55 44 0,22 0,794 5,98258 1,33 4,753 4,753 3,58193
65 10 10 0,04 - - - - - -
Пенсии, зависящее от заработной платы и стажа
Чаще всего размер пенсии определяется стажем и средней за последние
несколько лет работы заработной платой. Обычно для нахождения средней
берут 3-5 последних лет работы. В связи с этим в актуарных расчётах применяют средние показатели шкалы заработной платы. Обозначив эту среднюю
символом
, получим:
⋯
. (5.16)
Следует отметить, что переход от средней заработной платы для
полного стажа к средней для срока, ограниченного последними годами,
обычно повышает её величину и соответственно размер пенсии. Причём
чем меньше этот срок, тем выше значение средней, поскольку показатели
шкалы с возрастом монотонно возрастают.
В пенсионных расчётах средний показатель шкалы принято относить
к
возрасту 1/2 года. Соответственно:
/
⋯
. (5.17)
При оценке современной стоимости пенсии для рассматриваемой
(наиболее распространённой) ситуации, как и выше, определяют искомую
стоимость для уже имеющегося и будущего стажа. При определении первого
слагаемого стоимости пенсии рассуждают следующим образом. Средняя зара-
ботная плата участника в возрасте лет равна
отработанных лет равна
рублей (напомним, что – доля пенсии в его
, следовательно, пенсия за
заработной плате). Однако он продолжает работать. Соответственно пенсия,
определяемая прошлым стажем, к концу следующего года увеличится в
/
раз. Современная стоимость пенсии на этот момент составит:
88
∙∙
/
∙
∙
.
Опустим промежуточные выкладки. В итоге для всех участников в
возрасте лет пенсия за прошлый стаж с учётом вероятности дожития к
моменту выхода на пенсию равна:
∙
∙
∙
∙∙
∙
,
, (5.18)
где
∑
∙
– сумма произведений стажа на заработную плату всех
участников возрасте лет.
Для расчёта по формуле (5.18) применяют коммутационные функции:
∑
, (5.19)
где
/∙
. (5.20)
Для последнего возраста выхода на пенсию:
∙∙∙
Для будущего (ещё неотработанного участником) стажа современная
стоимость пенсии находится следующим образом:
∙
∙
∙∙
, (5.22)
где
∑
, (5.23)
∙
. (5.21)
,
. (5.24)
89
Пример. Продолжим рассмотрение предыдущего примера. Пусть
стаж 50-летнего мужчин равен 8 годам. Средняя за последние 5 лет годовая
заработная плата составляет 40 000 руб., заработная плата в последнем году –
50 000 руб.
Стоимость пенсии за прошлый стаж (прошлые взносы) равна:
0,1∙8∙40∙
32∙
2745
106,562тыс.руб.
824
Стоимость пенсии за будущий стаж (будущие взносы) составляет:
0,1∙50∙
5∙
30934
187,606тыс.руб.
824
5.2. Пенсии по инвалидности и «вдовьи» пенсии
С актуарной точки зрения методики определения современной стоимости пенсии по инвалидности по старости одинаковы. Отличие состоит в
исходных данных. В качестве таковых принимают числа вышедших на
пенсию по инвалидности
из таблицы выбытия. Причём на пенсию по
старости выходят только после установленного стандартного возраста, а на
инвалидность можно выйти, увы, в любом возрасте.
В расчётах для каждого возраста участника используют две вероят-
ности – стать инвалидом в возрасте лет и дожить в статусе инвалида
до возраста лет. Первый определяется
по таблице выбытия как:
,
где
– число лиц, вышедших на пенсию по инвалидности возрасте
лет ;
– число участников в возрасте лет.
Вторая – по специальной таблице смертности (для инвалидов):
где
– число инвалидов в возрасте лет.
Для участника в возрасте лет современная стоимость пожизненной
пенсии по инвалидности через лет составит:
∙
/
90
∙
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]