Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Средняя стоимость аннуитета определяется по формуле (5.1). Необ-
ходимые значения стоимости аннуитетов
вычисляют с помощью комму-
тационных функций для инвалидов:
.
При расчёте современной стоимости пенсий по инвалидности можно
применить такие же формулы, что и при определении пенсии по старости,
однако в них должны использоваться коммутационные функции
, а не
,
,
. В связи со сказанным не будем выписывать формулы для расчёта
коэффициентов
,
,
и
и так далее, которые получают на основе показателей
, а также коммутационных функций. Ограничимся
базисной функцией:
∙
/
∙
.
Как уже отмечалось ранее, групповые схемы могут предусматривать
выплату пенсий вдове (вдовцу) участника фонда в случае его смерти до
выхода на пенсию. Далее будем полагать, что участник – мужчина и речь,
следовательно, идёт о пенсии вдове. Разработаны два метода определения
стоимости соответствующих аннуитетов – коллективный и реверсивный.
Кратко рассмотрим постановку задачи при
оценивании стоимости аннуитета
коллективным методом.
При выводе формулы стоимости аннуитета применяют вероятности
смерти мужчины (в возрасте до выхода на пенсию) и вероятности дожития
вдовы (до предельного возраста). Соответственно имеем
и
( –
возраст супруга, – супруги). Вероятности первого вида находят по таблице
выбытия (для мужчин), второй – по таблице смертности (для женщин).
Размер пенсии определяется различными способами и может быть
фиксированным, пропорциональным стажу участника, равным доле заработанных пенсионных прав участника и так далее. Ниже стоимость аннуитета определяется на 1 рубль установленной
каким-либо путём пенсии.
Минуя все доказательства, приведём формулы стоимости пенсии вдове,
рассчитанной для участника в возрасте лет:
/
∙
∙/
∑
∙
∙
/
, (5.25)
где
– число умерших в возрасте лет (по таблице выбытия);
/
/
– стандартная коммутационная функция.
– доля женатых в возрасте 1/2 года;
– средняя стоимость пожизненного аннуитета для супруги;
91
Для расчёта по формуле (5.25) необходимо последовательно определить
две специальные функции, а именно:
/
∙∙
/
∙
/
и
∑
.
Окончательно современная стоимость пенсии вдове, определённая
для супруга в возрасте лет, в расчёте на 1 рубль составляет:
. (5.26)
5.3. Актуарный баланс
Проблема сбалансированности выплаты пенсий, поступлений и
накоплений является одной из важнейших для НПФ. При индивидуальном
пенсионном страховании первоначальный актуарной баланс (соответствие
взносов и выплат) устанавливается автоматически. Как было показано во
главе ранее, в силу финансовой эквивалентности обязательств участвующих
сторон расчёт размера премии базируется на сумме
пенсии, а размера пенсии –
на сумме премии. При групповом пенсионном страховании также достигается
первоначальный баланс, но только для всех участников целом. Однако влияние
различных внешних и внутренних факторов приводит к тому, что уже через
несколько лет баланс по индивидуальным схемам может нарушиться, а по
групповым нарушается неизбежно. В связи с этим
в пенсионных фондах
регулярно (в зарубежных – раз в 2-3 года) проводят актуарное оценивание,
которое сводится к проверке уровня, или степени, сбалансированности их
основных агрегатных финансовых характеристик. В конечном счёте актуарное оценивание позволяет определить способность пенсионного фонда
отвечать по своим обязательствам перед пенсионерами и участниками.
При актуарном оценивании фонда прежде всего
требуется решить
вопрос о том, какой круг участников учитывается в анализе. Здесь возможны
два варианта. В первом из них анализ охватывает только существующих на дату
оценивания участников фонда (метод закрытой группы). Во втором учитыва-
ется более широкий круг участников – не только существующих, но и будущих
(метод открытой группы). Для этого
разрабатываются варианты динамики их
численности и половозрастной структуры. Условность результатов анализа при
этом, естественно, возрастает.
При актуарном оценивании применяют два подхода. Первый, более
простой, но достаточно информативный, по крайней мере, для начального
этапа анализа, заключается в расчёте коэффициентов фондируемости.
92
Данный параметр получают путём сопоставления сумм накопленных активов
фонда и имеющихся обязательств по выплате пенсий существующим пенсионерам и участникам, выслужившим право на пенсию. Смысл этой характеристики простой: если бы фонд был ликвидирован на дату оценивания, то такова
была бы степень покрытия существующих обязательств.
Коэффициент фондируемости может быть рассчитан
для всех участников фондов в целом или последовательно для отдельных групп согласно
принятым приоритетам (предполагается, что в первую очередь и полностью
должны быть оплачены пенсии по старости существующим пенсионерам).
Остаток активов последовательно распределяется между остальными категориями – дети, вдовы, участники, которые приобрели право на пенсию, но не
достигли пенсионного возраста
и так далее.
Второй подход актуарного оценивания базируется на определении
трёх агрегатных финансовых характеристик. Первая представляет собой
современную стоимость всех ожидаемых в будущем выплаты из фонда, то
есть стоимость потока выплат пенсий существующим и будущим пенсио-
нерам (). Вторая – современную величину всех будущих поступлений в
фонд (). Наконец, третья – стоимость
активов на момент оценивания ().
Анализ распространяется на всех участников фонда. Временной горизонт
принимается в расчётах достаточно отдалённым.
Основным элементом актуарного анализа (метод закрытой группы)
является определение разности . Если итог отрицательный,
иначе говоря, активов недостаточно для покрытия разности современных
стоимостей потоков взносов и выплат, то это указывает на актуарный дефицит
фонда. При положительном итоге имеет место излишек, или префицит.
При актуарном оценивании по методу открытой группы финансовые
агрегаты рассчитываются не только для существующих, но и для будущих
участников. Перечень таких агрегатных величин приведён ниже.
Метод открытый группы. Структура активов, обязательств
и актуарного баланса фонда по итогам оценивания
Активы
Накопленные
активы на дату оценки
Современная стоимость будущих поступлений от:
существующих участников
будущих участников
Всего
∑
Обязательства
Современная стоимость пенсии существующим пенсионерам
Современная стоимость пенсий, которые будут выплачивать:
существующим участникам
будущим участникам
Всего
∑
93
Актуарной баланс (дефицит, префицит)
По существующим участникам
По будущим участникам
В целом по всем участникам
∑
∑
Для ликвидации или сокращения актуанрого дефицита принимаются
различные меры, наиболее действенными из которых является повышение
уровня взносов и уменьшение размеров пенсий. Обычно в последнем случае
ранее приобретённые права участников не затрагиваются.
При относительно небольшом дефиците применяют и более мягкие
меры, приводящие к экономии средств, такие, как сдвиг вперёд даты выплаты
пенсий (это уменьшает величину современной стоимости выплат), установление более продолжительного периода для расчёта средней заработной
платы, увеличение возраста обязательного выхода в отставку, введение
максимально допустимых уровней пенсий и так далее. В ряде западных
пенсионных фондов их учредители (иногда работодатели) должны покрыть
полностью или частично обнаруженный актуарный дефицит. Перечисленные
выше
и некоторые другие методы принимаются последовательно, шаг за
шагом. Процесс растягивается на довольно длительное время.
В свою очередь, излишек средств, обнаруженный при нескольких
последовательных актуарных оцениваниях, позволяет тем или иным путём
повысить уровень пенсионного обслуживания или снизить расходы на него.
Результат актуарного оценивания может быть представлен не только
в форме абсолютной
величины (дефицит, излишек), ну и как необходимый
уровень (норма) взносов (доля или процент от заработной платы). В общем
виде норма взносов определяется исходя из условия:
∑0
∑
К расчёту нормы взносов прибегает и на этапе разработки групповой
пенсионной схемы. В этом случае определяют такую норму, которая обеспечивает баланс взносов и выплат при нулевом уровне активов. В связи с
неопределённостью демографических и экономических характеристик, относящихся к будущему, обычно рассчитывают три варианта актуарной оценки –
оптимистический, пессимистический
и некоторый промежуточный (как пола-
гают, наиболее вероятный).
При детальном актуарном оценивании фонда не ограничиваются
общим итогом. Значительный интерес представляет изменение влияния
различных факторов на размер дефицита. К ним относится, в частности,
демографические факторы (отражаемые в таблицах смертности и выбытия),
сдвиги в показателях выбытия и выхода на пенсию (минимальный и макси
-
мальный возраст выхода), изменения нормы доходности инвестиций, что
должно быть учтено при разработке пакета мер для устранения дефицита.
94
Измерение влияния факторов состоит в расчленении общего размера
дефицита (в абсолютном или относительном выражении) на составляющие,
каждая из которых соотносится с выделенным фактором. Для этого можно
воспользоваться часто применяемым в экономической статистике методом
разложения по факторам. Объясним его на простом примере. Допустим, что
некоторый результат за базовый год определяется
как произведение трёх
переменных величин: . Для следующего года (назовём его текущим)
получим
′′′. Необходимо измерить влияние динамики каждой пере-
менной на величину разности ′.
Задача решается следующим образом. Прирост (положительный или
отрицательный) первой переменной взвешивается по базовым значениям
остальных переменных; прирост второй – по текущему значению первой
переменной и базовому значению третьей; прирост третьей – по текущим
значениям остальных переменных. Соответственно имеем
и′′. При такой системе взвешивания разложение общего
,
прироста оказывается сбалансированным.
Сумма взвешенных приростов точно равна общему приросту:
Пример. Три переменные величины в базовом и текущем периодах
имеют следующие значения: 5, 10, 20 и 4, 11, 21. Разность обобщающего
показателя составляет 4∙11∙215∙10∙20924100076.
При разложении полученной величины по факторам получим:
Фактор Расчет Результат
Итого -76
-200
80
44
Нетрудно заметить, что результат разложения для отдельных факторов
(по абсолютным значениям, но не знакам) условен. Дело в том, что он зависит
от порядка расположения сомножителей в произведении. Так, если в примере
поменять местами переменные и (произведение теперь записывается как
), то при разложении фактором ,и будут соответствовать значения
100,220и44. В
итоге 76.
Охарактеризованная выше методика может быть распространена и
на суммы мультипликативных величин ∑, каковыми являются
коммутационные числа. Отсюда следует, что при определённом развитии и
конкретизации метод может быть применен и для анализа актуарного дефицита
фонда (хотя, прямо скажем, это утомительно).
95
5.4. Активы НПФ
Структура активов пенсионных фондов
При инвестировании свободных средств и создании активов или резервов
пенсионных фондов в принципе исходит из условий (требований, принципов)
надёжности, доходности и ликвидности. Иногда в их число включают сохранность и диверсифицированность. На наш взгляд, последние два условия
избыточны, поскольку надёжность предполагает сохранность (
и наоборот),
диверсифицированность является средством повышения надёжности (более
подробно об этом сказано ниже).
Неслучайно первым из перечисленных выше условий является
надёжность размещения активов. Она равнозначна надёжности деятельности
НПФ, то есть способности фонда отвечать по своим обязательствам перед
пенсионерами.
В странах с развитыми системами НПФ надёжность обеспечивается
несколькими путями. Условно назовём их
внешними и внутренними мерами.
В первой группе отнесём систему законов и правил, регламентирующих
уровень качества ценных бумаг для инвестирования средств фондов и
надзор за некоторыми сторонами функционирования НПФ, разработки
стандартов бухгалтерского учёта в пенсионных фондах и независимые
аудиторские проверки.
В связи с этим уместно заметить, что средства НПФ (точнее, деньги
пенсионеров) весьма привлекательны для любителей поживиться за чужой
счёт. Несколько лет назад в России была предпринята попытка создания
(разумеется, в интересах пенсионеров) частного специального резервного
фонда (СРФ). По замыслу автора проекта НПФ должны в обязательном
порядке переводить в этот фонд до 20 % накоплений. СРФ в свою очередь
должны были инвестировать полученные
средства и поддерживать НПФ,
попавшие в затруднительные ситуации. Не будем останавливаться на развёрнутой критике этой авантюры. Ограничимся только одним замечанием:
создание подобного рода резервных фондов в конечном счёте означает
перераспределение средств хорошо работающих НПФ в пользу работающих
плохо (в том числе изначально и намеренно убыточных). Эту попытку, к
счастью, удалось
пресечь.
Внутренней мерой обеспечения надёжности является систематически
проводимое актуарное оценивание, о котором говорилось в предыдущем
параграфе.
Все, что сказано выше об обеспечении надёжности, применимо (разумеется, с учётом отечественных особенностей) и в России. Особое внимание
должно быть обращено на качество инвестиций. Правда, разгуляться здесь
пока негде – рынок ценных бумаг ограничен,
неустойчив, а некоторые
предлагавшиеся на нём бумаги оказывались, мягко говоря, сомнительными.
96
В практике отечественных НПФ активы для повышения их надёжности передаются управляющим компаниям. Не будем затрагивать тему качества и
способов управления активами названными компаниями. Это особый разговор,
выходящие за рамки данной главы.
Что касается требования доходности, то ограничимся лишь одним
тривиальным замечанием. Чем больше доходность инвестиций, тем выше
риск (обычный
вид взаимосвязи «риск – доходность»). Отсюда следует, что
возрастание доходности связано, как правило, со снижением надёжности.
Требование ликвидности, вероятно, следует понимать в общем
смысле – не следует вкладывать деньги в активы, которые в случае необходимости трудно продать.
Несколько слов о диверсификации. Диверсификация (распределение
средств между объектами для инвестиций) – общепризнанный способ
повышения надёжности
активов и стабилизации получения доходов.
Очевидно, что, чем крупнее величина актива, тем больше возможности
для диверсификации.
Обратимся к частному, но достаточно наглядному примеру. Портфель
содержит только акции. Если в качестве измерителя риска принята стандартная
ошибка доходности, то при нулевой корреляции между показателями доходности ценных бумаг диверсификация приводит к сокращению
стандартной
ошибки портфеля. При отрицательной корреляции сокращение стандартное
ошибки усиливается, при положительной влияние диверсификации, наоборот,
уменьшается.
Допустим, имеется несколько видов акций. Для каждого из них стандартная ошибка равна единица, а показатели доходности акций не коррелируют между собой. В этом случае портфель, целиком состоящий из бумаг
одного вида, имеет стандартную
ошибку, равную единице. Если портфель
содержит равные количества двух видов акций, то она сокращается до 0,71.
У портфеля из трёх видов акции стандартная ошибка составляет 0,49 и так
далее.
Перейдём к структуре активов НПФ. При её формировании должны
учитываться названные выше принципы и конкретные условия, в которых
работает фонд. Активы пенсионных фондов,
как известно, состоят из акций
и аналогичных финансовых инструментов, различного рода облигаций и
других видов ценных бумаг с фиксированной доходностью, недвижимости,
наличных денежных и приравненных к ним средств.
Преобладающая доля активов пенсионных фондов обычно приходится на
акции и облигации. В зарубежной практике считается весьма рискованным
портфель, в котором акции составляют 70% и
более. В так называемом консервативном портфеля преобладают ценные бумаги с фиксированной доходностью. Предусматривается также ограничение доли бумаг, эмитированных
одной компанией. Особенно жёсткие ограничения налагаются на долю акций
компании – учредителя НПФ (обычно не более 10%). Что касается практики
97
отечественных НПФ, то требование вкладывать средства в ГКО, существовавшее до печального августовского дефолта 1998 г. и противоречившее трём
приведённым выше условиям, подрубило под корень многие НПФ.
Разумеется, возможны и другие направления для инвестирования
свободных средств НПФ. В отечественной периодике как проявление «передового мышления продвинутой молодёжи» появляются предложения вкладывать
средства
НПФ в производные финансовые инструменты. Действительно,
фьючерсы, опционы, свопы и т.п. известны сравнительно давно, некоторые
из них применяются на практике более двух десятков лет. Это откровенно
спекулятивный, кратко- или среднесрочные инструменты со всеми вытекающими отсюда последствиями, такими, как увеличение риска. Вместе с тем
пенсионные фонды в некоторых странах все
-таки вкладывают средства в
производные инструменты с соблюдением ограничения на размер инвестиций,
вид бумаг и валюты. При этом они признают связаный с такими операциями
высокий риск для фондов.
В связи со сказанным уместно заметить, что в США законом предусмотрено размещение активов пенсионных и подобных им фондов только
в специальные
облигации федерального правительства, которые рассматриваются как часть государственного долга. Они не могут быть реализованы
на фондовом рынке и покупаются эмитентом по требованию держателя.
Их доходность равна средней доходности всех выпущенных государством
долгосрочных облигаций. Недавние предложения в США изменить ориентацию в инвестировании средств фондов и перейти на вложения в коммер
-
ческие банки вместо государственных (с более высокой доходностью и,
естественно, с более высоким риском) вызвали резко отрицательную реакцию
пенсионных актуариев.
Измерение размеров активов НПФ при актуарном оценивании
Общий размер накопленных активов – важная составляющая актуарного
баланса. Остановимся на методах определения их размеров, применяемых в
мировой практике пенсионных фондов. Существует два
основных метода
измерения – по цене приобретения, иначе говоря, по балансовой стоимости,
и по рыночной стоимости. Последнюю величину приходится определять
специально для актуарного оценивания.
Для записи соответствующих формул примем следующие обозначения:
и
– балансовая, или бухгалтерская, стоимость активов фонда
соответственно на начало и конец года;
и
– рыночная стоимость активов фонда на начало и конец года;
– размер взносов;
– полученные проценты;
– полученный (реализованный) доход;
– нереализованный доход;
– выплаты пенсий и пособий;
– расходы фонда.
98
Динамика балансовой стоимости описывается следующим выражением:
. (5.27)
В свою очередь, изменение рыночной стоимости находится как:
. (5.28)
Из приведённых выражений следует:
. (5.29)
Таким образом, различие в динамике рыночной и балансовой стоимости
активов определяется только одним элементом –
. Остановимся на его
содержании, поскольку оно не фигурирует в отечественной практике. Кратко –
это накопленный на данный момент (дату оценивания) доход, который может
быть реализован (получен) только некоторое время спустя после оценивания.
Приведём два примера. Пусть речь идёт об акции. В этом случае
теризует полученные по ней дивиденды, а под
понимают разность
харак-
между её рыночной ценой на момент оценивания и ценой приобретения.
Если рыночная цена оказываются ниже покупной, то получим отрицательную
величину этой разности. Пусть теперь объектом для определения доходности
является облигация, по которой выплачивается купонный доход и который в
конце срока погашается по номиналу. Суммарный доход от неё состоит
двух слагаемых – полученного купонного дохода (он относится к
торый части разности между номиналом и ценой приобретения (
).
) и неко-
из
Очевидный недостаток измерения размеров активов по балансовой
стоимости (с позиции актуарного оценивания) заключается в том, что он
точно отражает стоимость объекта только в момент приобретения. Со временем
его реальная стоимость изменяется, и притом иногда весьма существенно.
В силу этого балансовая модель – весьма формальный измеритель, оторванный
от реальной сложившейся экономической ситуации.
Однако и рыночная стоимость имеет свои недостатки. Основными
являются её заметные колебания во времени, связанные с конъюктурой на
фондовых рынках и рядом других факторов. Достаточно, в связи с этим
упомянуть о курсовых колебаниях цен акций и изменениях уровней
процентных ставок. Нельзя забывать и о том, что
– это ожидаемый,
а не реальный доход, который, кстати, можно и не получить в будущем.
Если балансовые стоимости в целом являются, как правило, заниженными, то рыночные связаны с известным риском завышения. Колебания
рыночной стоимости относительно некоторого тренда носят краткосрочный
характер и могут исказить действительное положение вещей, что неминуемо
скажется на
результатах актуарного оценивания. Для получения более устой-
чивых показателей применяют ряд методов, которые сводятся к замене
99
реального значения рыночной стоимости некоторой расчётной величиной,
«очищенный» от случайных колебаний. Такую величину называют скорректи-
рованной стоимостью активов. Обозначим её как
.
Простейший метод корректировки размера активов заключается в
расчёте скользящей средней или просто средней рыночной стоимости за
несколько (обычно 3 – 5) лет. Однако при наличии тенденции ряда к росту
(повышательной тренд) применение приводит к занижению расчётного
размера активов. Более тонкий метод элиминирования колебаний и выявления
тренда заключается в применении экспоненциальной средней (асимметричного
экспоненциального
где
– среднее значение в момент ;
фильтра), которая рассчитывается следующим образом:
∑
1
, (5.30)
– номер члена ряда в обратном порядке (для последнего члена
0, для первого –);
– коэффициент сглаживания (01).
Раскроем формулу (5.30):
1
1
⋯1
. (5.31)
После преобразования (5.31) получим следующее рекуррентное соотношение, которое и применяется в практических расчётах:
1
. (5.32)
Усреднение, достаточное для практического применения, обеспечивается на 7-10-м шаге сглаживания. На этом отрезке достигается адаптация
средней к исходным данным.
Пример. Для демонстрации расчёта экспоненциальной средней генерирован ряд динамики активов. Первый уровень равен 10, далее с каждым
годом уровни увеличиваются на единицу. На полученный таким способом
линейный тренд наложены случайные колебания
. Результат генерирования
данных показом в 1-й графе таблицы. Экспоненциальные средние получены
для трёх вариантов значения сглаживающего коэффициента по формуле
(5.32), например:
0,30,7
Если элемент
имеет большую величину и для него характерны
0,3∙23,60,7∙21,922,4.
существенные колебания по времени, при определении рыночной стоимости
сглаживанию подвергаются только его значения. Указанную процедуру
можно отразить следующим образом:
.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]