Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
1
0,05∙10000∙
465руб.
10,5∙0,15
4,65коп. на 1 рубль страховой суммы. Без дисконтирования
страховой суммы имеем 500руб.и
5коп.
Приведённый расчёт нетто-премии, как видим, не связан с какими-либо
затруднениями, если известна вероятность наступления страхового события.
Надо полагать, что величина этой вероятности растёт при увеличении срока
страхования. В некоторой степени она связана с возрастом застрахованного и
рядом других факторов. Отсутствие надёжной детальной информации вынуждает использовать показатели вероятностей
, общие для всей совокупности
застрахованных, что, разумеется, уменьшает надёжность расчётов.
На практике страховые организации часто предусматривают не один,
а несколько вариантов фиксированных страховых сумм, зависящих от тяжести
несчастного случая. Например, в одной из российских страховых компаний
были установлены следующие размеры выплат (в процентах от страховой
суммы):
смерть от несчастного
случая – 200;
инвалидность первой группы – 200;
инвалидность второй группы – 70;
инвалидность третий группы – 40;
временная потеря нетрудоспособности – 15.
В другой компании в договорах страхования спортсменов от
несчастных случаев во время спортивных мероприятий предусматривает
следующие уровни компенсации:
смерть – 100;
инвалидность первой группы – 80;
инвалидность второй группы – 70;
инвалидность третий группы – 60.
Одновременно спортсмен
получал и собственно медицинское страхо-
вание (оплату затрат на лечение по фактическим расходам).
Обобщим формулу (7.1) с учётом возможности наступления
несчастных случаев различной степени тяжести:
∑
, (7.4)
∙
где
∑
– вероятность наступления несчастного случая -го уровня тяжести
1;
– кратность или доля выплаты страховой суммы.
Пример. Определим стоимость годового полиса (нетто-премию) при
страховании от несчастного случая при условии, что годовые вероятности
наступления разных по тяжести последствий характеризуется следующими
данными.
111
1 2 0,00001 0,00002
2 2 0,00005 0,0001
3 0,7 0,0001 0,00007
4 0,4 0,0002 0,00008
5 0,15 0,0008 0,00012
Итого 0,00039
∙
Если процентная ставка для дисконтирования принята на уровне
15%, а страховая сумма составляет 10 000 руб., то согласно (7.4) неттопремия оказывается равной:
10000∙0,00039∙10,15
3,39руб.
Без дисконтирования она составит 3,9руб.
Как было показано выше, без учёта фактора времени
. Если
речь идёт о страховых полисах с одинаковыми страховыми суммами, то
величина характеризует частость наступления страхового события.
Если же суммы страхования различны, то представляет собой размер
страховых выплат в расчёте на один рубль страховой суммы, или, что одно
и тоже, долю выплат в рубле страховой суммы. Именно эта
величина принята
в российской практике в качестве основного тарифа (нетто-тариф). Статисти-
ческой оценкой вероятности служит отношение суммы страховых выплат к
размеру страхового портфеля по данному виду страхования за некоторый
период (обычно равный 1 году). В профессиональной страховой литературе
этот показатель часто называют убыточностью страховой суммы.
Таким образом:
, (7.5)
где
– фактическая сумма страховых выплат за некоторый период;
– размер страхового портфеля в данном периоде.
Для аналитических целей величину
в выражении (7.5) можно разло-
жить на два или три сомножителя, характеризующих влияние отдельных
факторов. Ограничимся двумя факторами. Для этого определим две средние:
и
,
где – число полисов, по которым произведена оплата;
– общее число полисов.
Первая величина характеризует средний размер использованного полиса
(страховых выплат по одному «задействованному» полису), вторая – средний
размер страховой суммы всего портфеля. Воспользуемся этими средними.
Теперь формулу (7.5) можно записать следующим образом:
112
∙
.
Отношение средних сумм характеризуют интенсивность использования полисов (величину выплат на один рубль страховой суммы), второй
сомножитель – частость наступления страховых случаев (единичное или
многоразовое обращение в медицинское учреждение по одному полису).
Несколько слов о рисковой составляющей. Коль скоро в качестве основы
тарифа выступает средняя, полученная по эмпирическим данным, которые
можно рассматривать
как выборку, то для определения размера этой составляющей можно пойти стандартным путём, рассчитав предельную выборочную
ошибку этого параметра. Полагаем, что число наблюдений значений отношения
невелико, вероятно меньше 20-30 (даже если весь период наблюдения
разбить на кварталы), в связи с чем есть основание применить теорию малых
выборок и -распределение Стьюдента.
Предельная ошибка выборочной средней при доверительной вероятности
1, где – вероятность ошибки, рассчитывается как:
∙, (7.6)
где – квантиль распределения (значение
приведены в таблице 7.1);
– стандартная ошибка выборочной средней или доли.
Таким образом, ставка с учётом рисковой составляющей оказывается
равной
Для выборочный ошибки средней имеем:
где
,
– объем выборки.
Число степеней свободы
.
, (7.7)
∑
,
– среднее значение основы тарифа в выборке;
– наблюдавшиеся значения в -ом временном интервале;
Таблица 7.1
Квантили -распределения
Доверительная вероятность
0,9 0,95 0,975
5 1,476 2,015 2,571
10 1,372 1,812 2,228
15 1,341 1,753 2,133
20 1,325 1,725 2,086
25 1,316 1,708 2,060
30 1,310 1,697 2,042
50 1,299 1,679 2,009
100 1,290 1,660 1,984
500 1,283 1,648 1,965
113
Пример. Зарегистрированы следующие значения страховых выплат
(в копейках) в расчёте на один рубль страховых сумм за 12 последовательных
месяцев: 7,2; 6,0; 8,0; 7,1; 6,5; 8,5; 5,0; 7,5; 7,6; 8,0; 7,0; 7,3. Средняя составляет
7,1417 руб., среднее квадратическое отклонение – 0,9539 коп. Если принять
доверительную вероятность на уровне 0,95 (то есть вероятность ошибки
принята на уровне 0,05), то для 11 степеней свободы (112111)
имеем табличное значение
1,7959. В итоге получим:
,
1,7959∙0,95391,7131коп.и7,14171,7131
8,8548коп.
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что размер
выплат при сроки страхования, равном одному месяцу, в среднем не превысит
8,85 коп. на один рубль страховой суммы. Если принять полученную величину
в качестве тарифной ставки нетто, то фактор времени не будет учтен.
Предположим, что страховые выплаты производятся в конце каждого
месяца. Тогда
при условии, чтобы годовая процентная ставка равна 15%,
с учётом фактора времени получим:
1
8,85∙
1
∙0,15
8,74коп.
7.2. Страхование с компенсацией фактических расходов на лечение
Страхователем в пользу наемного работника обычно являются работодатель. Страховщик берет на себя обязательство оплачивать медицинским
учреждениям стоимость лечения в поликлинике или в стационаре «по факту».
Страховой контракт может предусматривать ограничения на общую максимальную сумму расходов. Срок страхования – от нескольких
дней до года.
Перечень оплачиваемых медицинских услуг фиксируется в договоре.
При определении нетто-тарифа воспользоваться общим подходом,
которому отвечает соотношение (7.1), нельзя, поскольку нет заранее объяв-
ленной страховой суммы. В силу этого в качестве
принимается средний
размер страховых выплат, приходящихся на один страховой полис за фикси-
рованный период (обычно за год):
. (7.8)
∙
, (7.9)
Величину
и в этой ситуации можно разложить на сомножители:
где – число полисов, по которым произведены выплаты («задейство-
ванные» полисы).
114
В медицинском страховании обычно не значительно отличается от .
Первый сомножитель в этой формуле характеризуют средние расходы
страховщика в расчёте на один использованный полис, второй – частость
(эмпирическую вероятность) наступления страховых событий. Таким разложением тарифа можно воспользоваться в экономическом анализе страховой
деятельности (выделение влияния факторов) и при прогнозировании тарифа
.
Перейдём к рисковый составляющей тарифа. В методической страховой
литературе обычно рекомендуют определять её как предельную ошибку
выборочной средней. Действительно, согласно центральный предельный
теореме выборочная средняя имеет приблизительно нормальное распределение вне зависимости от вида распределения случайной переменной .
В этом случае:
, (7.10)
где – выборочное среднее квадратическое отклонение размера страхо-
вой выплаты;
– квантиль нормированного нормального распределения – норми-
рованное отклонение, соответствующее принятому уровню доверительной
вероятности
. Значения квантилей приведены в таблице 7.2.
Таблица 7.2
Квантили нормального распределения
0,8 0,85 0,9 0,95 0,975
0,84 1,03 1,28 1,96 2,81
115
ГЛАВА 8. РАСЧЕТ ПРЕМИЙ В ДОЛГОСРОЧНОМ
МЕДИЦИНСКОМ СТРАХОВАНИИ
8.1. Актуарная стоимость потока затрат на медицинские услуги
Государственное медицинское страхование можно осуществлять индивидуально или коллективно в рамках отдельных предприятий, профессиональных
объединений и так далее. В первом случае необходимые для расчёта вероятности определяют на основе таблиц смертности, во втором (при групповом
страховании) – по таблицам выбытия, с учётом повозрастных вероятностей
прекращения страхования. Иначе говоря, все рассмотренные коммутационные
функции (стандартные и специальные) могут быть рассчитаны по обоим видам
таблиц. Заранее можно сказать, что стоимости аннуитетов с учётом прекращения страхования оказываются заметно меньшими, чем без учёта этого
фактора при всех прочих равных условиях.
Начальным этапом при определении стоимости страхования является
формирование потока затрат на медицинские услуги. Очевидно, что такие
затраты в расчёте на одного застрахованного корреляционно зависят от
расходы. Формулы, полученные для постоянных страховых аннуитетов,
оказываются в данном случае непригодными.
Определим стоимость аннуитета
, состоящего из последовательных
затрат на медицинские услуги. Сначала найдём современную стоимость
одного платежа в размере
, при виде произведённого через лет после
достижения возраста лет. Получим:
∙
∙
где
– вероятность для лица в возрасте лет дожить до возраста
лет;
– годовые затраты на медицинские услуги возрасте ;
– дисконтной множитель по сложной ставке .
Современная стоимость немедленного пожизненного потока подобного
рода платежей пренумерандо в этом случае составит
∑
∙
∙
, (8.1)
где – предельный возраст, учитываемый в таблице смертности или
выбытия.
В развёрнутой записи имеем:
116
∙
∙
∙⋯
∙
∙⋯ . (8.2)
Нетрудно показать, что
∑
∙
∙
∑
∙
∙
∙
∑
∙
, (8.3)
где
– стандартная коммутационная функция.
В свою очередь, современная стоимость отложенного на лет пожиз-
ненного аннуитета составит:
∙
. (8.4)
|
∑
Из формул (8.3) и (8.4) следует, что современная стоимость ограничен-
ного на срок лет немедленного аннуитета находится как разность современных стоимостей немедленного и отложенного на лет аннуитетов.
Если они оба пожизненные, то
:|
. (8.5)
|
Пока ограничимся сказанным и обратимся к переменной
. Содержание
этой величины зависит от вида медицинского страхования (поликлиническое
или стационарное), его условий и, наконец, вида заболеваний.
Способ определения величины
изменился со временем. На заре
медицинского страхования практиковались так называемая страхование на
случай болезни, которое применялось в России ещё в 19-м веке. Этот вид
страхования представляет для нас интерес не столько как этап в развитии
актуарной науки, сколько как отправной момент для создания современных
методов расчёта в долгосрочном медицинском страховании.
В страховании на случай болезни под
понималась продолжительность
невыходов на работу по болезни за год, в днях или неделях. Значение показа-
телей
определяли на основе статистических данных. Каждый день или
неделя невыходов условно оценивалась в один рубль (иначе дисконтирование
затрат лишалось экономического смысла). Таким образом, фактически компенсировались не затраты на лечение, а скорее материальные потери застрахованного от невыходов на работу.
В современной практике долгосрочного медицинского страхования
сохранен общий принцип расчёта,
положенный в основу формулы (8.3),
которая, однако, модифицирована и уточнена в соответствии с рядом требо-
ваний. Содержание
стало иным. В настоящее время
означает величину
годовых затрат на лечение в возрасте лет (точнее, от лет до 1 года).
Круг охватываемых этим параметром услуг определяется условиями страхового контракта.
117
Для того чтобы упростить расчёты с помощью коммутационных
функций, величину затрат представим как произведение:
∙, (8.6)
где
– относительная величина затрат на медицинские услуги;
– базовая величина затрат.
О параметре
достаточно подробно сказано ранее, поэтому на нём
останавливаться не будем. Параметр характеризует средние годовые затраты
на медицинские услуги в базовом возрасте (для которого
в отличие от относительных затрат
в пенсионном страховании весьма
1). Эта величина
динамична. Она, надо полагать, увеличивается со временем в связи с возрастанием сложности медицинских услуг, повышением их качества, технической
оснащенности и так далее. Несомненно, существенное влияние оказывает и
инфляция. В актуарных расчётах это величина рассматривается как постоянный параметр, или разрабатывается какая-либо простая модель, характеризующая её динамику во времени.
Перепишем выражение (8.3), введя в него постоянный базовый уровень
затрат и относительные затраты:
∙
∑
∙
. (8.7)
Формулу (8.7) можно преобразовать, применив специальные коммутационные функции. Напомним, что
∙ и
∑
∙
.
Современная стоимость потока выплат начиная с возраста точно
лет с учётом выхода из числа застрахованных составляет:
∑
∙
∙
. (8.8)
Современная стоимость ограниченного годами немедленного аннуитета
пренумерандо равна:
:|
∙
. (8.9)
Наконец, для отложенных на лет пожизненного и ограниченного
годами потоков выплат получим:
|
∙
, (8.10)
118
|
:|
∙
. (8.11)
Выше уже говорилось о том, что стоимость потока платежей в медицинском страховании может быть определена с учётом его прекращения
по ряду причин (групповое страхование) или без учёта (индивидуальное
страхование). В специальной литературе при определении стоимости потока
выплат и размеров премий обычно ограничиваются методикой, относящейся
только к групповому страхованию. Вместе
с тем нельзя упускать из поля
зрения индивидуальное медицинское страхование. Ранее были определены
функции. Напомним, что коммутационные функции, помеченные знаком
«*», получены по таблице смертности (индивидуальное страхование), а без
него – по таблице выбытия (групповое страхование).
Пример. Определим стоимость страховых аннуитетов пренумерандо
для 40-летнего мужчины, соответствующих всем перечисленным видам
потоков платежей.
Немедленное
пожизненное страхование:
∗
∙
∙
37,065.
Таким образом, стоимость потока платежей в 37 раз больше базовой
оплаты.
Ограниченное 20 годами немедленное страхование:
∗
:|
∙
∗
∙
28,321.
Отложенное на 5 лет пожизненное страхование:
∗
|
∙
∙
27,362.
Отложенное на 5 лет ограниченное 20 годами страхование:
∗
|
:
∙
|
∗
∙
22,052.
При разработке форму для определения современной стоимости потока
платежей следует принимать во внимание то, что расходы в пределах каждого
года фактически производятся не мгновенно. Их с достаточным основанием
можно представить равномерно распределёнными в пределах года. В связи
с этим без заметной потери точности отнесём их к середине года между
возрастом лет и 1 год и к соответствующем этому среднему возрасту
числа застрахованных. Таким образом, с учётом этого условия формула
(8.7) примет вид:
119
∙
∑
∙
,
где
– усредненная коммутационная функция.
Напомним, что
∙
и
∑
.
Применив эти функции, получим следующее выражение для современной стоимости немедленного пожизненного потока затрат на медицинские
услуги:
∙
. (8.12)
Для немедленного ограниченного аннуитета имеем:
:|
∙
. (8.13)
Поскольку
, то очевидно, что
и
:|
:|
.
Заменив в формулах (8.10) и (8.11)
и
, получим выражение для отложенных на лет аннуитетов.
и
соответственно на
Для пожизненного страхования:
|
∙
, (8.14)
а для ограниченного по сроку страхования:
|
:|
∙
. (8.15)
Пример. Определим современную стоимость выплат по немедленному
групповому индивидуальному медицинскому страхованию для 40-летнего
мужчины.
С учётом возможного прекращения страхования (коммутационные
функции
) она составит при пожизненном страховании:
∙
∙
28,29,
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]