Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Вероятность для лица в возрасте лет умереть течение года после
лет:
|
∙
. (3.13)
Аналогичным путём можно получить вероятности выбытия по другим
причинам, например в связи со смертью, увольнением или инвалидностью в
течение года после достижения возраста лет:
|
∙
. (3.14)
Пример. Определим вероятность для 40-летнего мужчины остаться в
числе застрахованных через 5 лет.
0,83424.
Вероятность выйти на пенсию возрасте 60 лет для 40-летнего мужчины
составит:
0,39089.
Рассмотренная выше таблица выбытия (назовём её основной) дает
возможность определить широкий набор вероятностей, необходимых актуарию.
Однако при выполнении ряда актуарных расчётов требуются несколько вероятностных характеристик, для нахождения которых в основной таблице нет
необходимых данных, например вероятности оказаться в числе пенсионеров
по инвалидности или по возрасту через определённое число
лет (не следует
путать с вероятностью выйти на пенсию в этом возрасте). Для этого следует
разработать дополнительные таблицы выбытия – для пенсионеров инвалидов.
Как и выше, будем полагать, что в возрастном диапазоне, соответствующем выходу на пенсию по старости (60 – 65 лет), пенсия по инвалидности не предусматривается. Очевидно, что на число живущих пенсионеров
влияет смертность и новые поступления (выходы на пенсию). Определим
его, начиная от возраста выхода на пенсию и до определённого возраста.
Обозначим число живущих пенсионеров по старости как
раста точно лет (начальный возраст выхода на пенсию)
. Для воз-
0. Число
вышедших на пенсию в течение года после достижения возраста лет
определено выше как
. Однако не все из них доживут до возраста 1
год. Таким образом, на конец первого года (или начало следующего) число
пенсионеров составит:
61
∙1
.
Для следующих лет возрастного диапазона выхода на пенсию формула
последовательного изменения числа живущих пенсионеров имеет вид:
∙1
∙1
. (3.15)
В возрасте, превышающем максимальный возраст выхода на пенсию,
идёт процесс постепенного сокращения числа пенсионеров:
∙1
.
На основе таблицы выбытия, по приведённом выше формулам мы
получим следующие числа живущих пенсионеров (последняя графа таблицы
3.4).
В этой таблице:
∗
∙1
.
Таблица 3.4
Фрагмент таблицы выбытия пенсионеров (мужчин)
∗
60 12 417 8612 0,02815 8 491 61 3 577 2479 0,03040 2 441 8 491
62 1 027 711 0,03245 699 10 655
63 294 233 0,03446 229 11 003
64 55 44 0,03659 43 10 851
65 10 10 0,03891 - 10 497
66 - - 0,04145 - 10 062
… … … … … …
70 - - 0,05423 - 8 227
… … … … … …
80 - - 0,11452 - 3 445
… … … … … …
90 - - 0,24498 - 468
… … … … … …
Величины
дают возможность получить ряд вероятностей. Например,
вероятность для активного участника в возрасте лет оказаться в числе
пенсионеров по старости через лет равна:
.
62
3.3. Специальные коммутационные функции
в пенсионном страховании
В пенсионном страховании помимо стандартных применяются и
специальные коммутационные функции. Они могут быть получены на основе
таблиц как выбытия (групповое страхование), так и смертности (индивидуальное страхование). В обоих случаях специальные функции разрабаты-
ваются с использованием знакомых нам функций
,,
и
причём неко-
торые из них разрабатываются с учётом относительной заработной платы.
Специальные коммутационные функции, как и стандартные, можно
разбить на две группы. К первой отнесём функции, основанные на числе
застрахованных (иначе говоря, «активных» участников пенсионного фонда).
и
Это аналоги знакомых функции
. Ко второй – функции, основанные на
числе выбывших среди тех, кто застрахован, – аналоги стандартных функций
и
.
Все специальные коммутационные функции определяют в двух вариантах – с учётом и без учёта относительной заработной платы. В последнем случае
применяют коэффициенты заработной платы.
Коэффициент заработной платы
определяется как отношение
размеров средней заработной платы участников фонда в возрасте лет и в
базовом возрасте, для которого
1. Совокупность коэффициентов
обычно представляют в виде шкалы заработной платы. В целом такая
шкала характеризует динамику средней заработной платы по мере увеличения возраста (в связи с повышением квалификации, опыта работы и тому
подобное). Значения коэффициентов, устанавливаемых на практике по
статистическим данным, должны периодически обновляться. В западных
корпоративных пенсионных фондах в
показателях шкалы заработной платы
учитывают и ожидаемый постоянный темп инфляции. Шкалу включают в
таблицу выбытия, после чего её обычно называют служебной таблицей.
Шкала заработной платы, очевидно, может быть построена формально
и формально по какому-либо заданному алгоритму.
Начнём со специальных функций первой группы, в которых не учитывается динамика заработной
групповым схемы применяют среднюю величину функции
платы. Обычно в пенсионных расчётах по
для двух
смежных значений – и 1:
, (3.16)
где
определяется соотношением (3.15).
Среднее значение функции
иногда определяют и как:
∗
∙
∙
∙
∙
∙
. (3.17)
63
Заметим, что
∗
. Впрочем, разница между значениями функции
(3.16) и (3.17) незначительна. Например, при ставке 9% для 40 (мужчины)
получим
2917и
∗
2913. Ниже применяются только функция (3.16).
В свою очередь:
∑
, (3.18)
где – придельный возраст выхода на пенсию.
Коммутационные функции с учётом динамики заработной платы
имеют вид:
∙
, (3.19)
∑
, (3.20)
∙
∑
, (3.21)
. (3.22)
Перейдём к функциям второй группы, которые определяется для
каждого фактора выбытия с учётом и без учёта динамики заработной платы.
Например, для числа умерших получим:
∙
/
, (3.23)
∑
, (3.24)
∑
. (3.25)
Эти же функции, но с учётом изменения заработной платы имеют вид:
∙
, (3.26)
∑
, (3.27)
∑
. (3.28)
Кроме того, в актуарных расчётах используются следующие средние
значения функции:
, (3.29)
64
∑
, (3.30)
, (3.31)
∑
. (3.32)
Функции (3.23)-(3.32) определены на основе числа умерших. Аналогичным образом можно получить систему коммутационных функции для
остальных факторов и абсолютных показателей выбытия (
,,
). Так,
по данным об участниках, прекративших страхование, определим следующие
функции:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Например,
∙
/
,
∑
и т.д.
Напомним, что все перечисленные выше специальные коммутационные
функции рассчитываются на основе данных таблицы выбытия с четырьмя
факторами и применяются при групповом пенсионном страховании. При индивидуальном страховании аналогичные функции определяются по данным
таблицы смертности.
Выше показаны далеко не все специальные функции, получаемые по
таблицам выбытия. На практике применяют различные их модификации
С некоторыми из них мы познакомимся ниже при определении неттопремий и актуарном оценивании в пенсионном страховании.
3.4. Специальные коммутационные функции
в медицинском страховании
Особенности долгосрочного медицинского страхования обуславливают
необходимость разработки целого набора специальных коммутационных
функций. Они в общем базируются на тех же положениях, что и функции,
применяемые в
пенсионном страховании. Однако специальные функции
медицинского страхования учитывают не относительные уровни заработной
платы, а относительные затраты на лечение.
Относительная величина затрат на медицинские услуги является одной
из важнейших по степени влияния на конечные результаты актуарных расчётов.
Соответствующий параметр (обозначим его как
) характеризует отношение
средних абсолютных затрат на одного человека в возрасте лет к аналогичным
затратам в базовом возрасте. В качестве последнего принимают начальный
возраст в таблице выбытия или какой-либо иной возраст, обычно в пределах
от 25 до 40 лет. В порядке иллюстрации приведём значения этого коэффи-
.
65
циента, принятые в одном из германских страховых учреждений:
0,76,
1,00 (базовый возраст 28 лет),
4,04. Отношение макси-
мальных затрат к минимальным затратам здесь равно 5,3.
Относительные (но, разумеется, не абсолютные) показатели затрат –
достаточно устойчивые характеристики. Надо полагать, что в начальный
период своей деятельности страховая организация не располагает полным
набором данных о распределении относительных затрат по возрасту.
Единственный выход – получить необходимые показатели «на стороне»
или с помощью
какой-либо правдоподобной функции роста. В дальнейшем, по
мере накопления информации, эти коэффициенты должны корректироваться.
Если применить экспоненциальный закон роста относительных затрат, то
∙1 или ∙1
,
где – годовой темп прироста стоимости медицинских услуг.
Надо полагать, что прирост относительных затрат увеличивается с
возрастом. В связи с этим есть смысл разбить весь возрастной диапазон на
несколько примерно одинаковых интервалов.
Альтернативным способом определения шкалы относительных затрат
может служить нахождение регрессии их размера на возраст. В частности,
представляется
тельно вероятностей
уместным определить регрессию показателя затрат относи-
:
.
Параметры регрессии, как известно, определяются статистическими
методами.
В медицинском страховании применяют специальные коммутационные
функции, которые получают на основании таблиц выбытия и таблиц смерт-
ности. В первой группе относится функции
,
и
,
. Для того чтобы
отличить от них функции, полученные по таблице смертности (для индивиду-
∗
∗
∗
∗
ального страхования), пометим последние значком «*»:
,
и
,
. Таким
образом, в долгосрочном медицинском страховании применяют восемь специальных функций.
Определим только
,
и
,
, поскольку альтернативные
функции рассчитываются аналогичным способом (отличие состоит лишь в
исходных данных). Итак, первая пара функции может быть представлена виде:
и
∙∙∙, (3.33)
∑
∙
66
. (3.34)
В практике медицинского страхования страховые выплаты часто
приурочивают не к возрасту, составляющим ровно лет, а к середине года
после его достижения. В силу сказанного в расчётах логично применять не
число застрахованных из таблицы выбытия (или живущих из таблицы
смертности,), а среднее значение величин
жении (3.33) вместо
используем среднее значение этой функции, опреде-
и
. Соответственно в выра-
ляемое по формуле (3.16).
На основе
получим ещё две коммутационные функции:
∙
(3.35)
и
∑
. (3.36)
Значения относительной величины затрат на медицинские услуги заданы
в таблицах следующим образом. Для 18 лет (базовый возраст) они равны
единицы, до 35 лет включительно они систематически увеличивается на 3%
в год, далее, до 70 лет, их годовой прирост составляет 5%. После 70 лет уровень
затрат постоянен и равен 12%. Все коммутационные функции рассчитаны по
процентной ставке 9% годовых
. Фрагмент таблицы специальных коммутационных функций (мужчины), разработанный на основе таблицы смертности,
представлен в таблице 3.5.
Таблица 3.5
Фрагмент таблицы специальных коммутационных функции (мужчины)
18 100 000 1,0000 21 199 21 199 383 741 203 112 20 312 366 598
19 99 876 1,0300 19 425 20 008 362 541 18 611 19 169 346 286
20 99 737 1,0609 17 796 18 880 342 534 17 049 18 088 327 117
… … … … … … … … …
40 94 973 2,1095 3 024 6 379 112 086 2 892 6 101 106 414
41 94 525 2,2150 2 761 6 115 105 707 2 640 5 848 100 313
42 94 036 2,3257 2 520 5 861 99 592 2 409 5 603 94 465
… … … … … … … … …
60 74 529 5,5971 423 2 370 25 444 400 2 241 24 721
61 72 431 5,8770 377 2 219 24 074 357 2 096 22 479
62 70 229 6,1708 336 2 072 21 856 317 1 956 20 383
… … … … … … … … …
70 50 341 9,1171 121 1 101 8 904 113 1 028 8 202
71 47 611 12,0000 105 1 258 7 803 98 1 172 7 174
72 44 840 12,0000 91 1 087 6 545 84 1 011 6 001
… … … … … … … … …
∗
∗
∗
∗
∗
67
ГЛАВА 4. ГРУППОВОЕ ПЕНСИОННОЕ СТРАХОВАНИЕ.
АКТУАРНАЯ СТОИМОСТЬ ВЗНОСОВ И ВОЗВРАТА ПРЕМИЙ
4.1. Групповые пенсионные схемы
Групповые схемы отличаются от индивидуальных, о которых шла
речь ранее, значительно большей социальной ориентированностью. Именно
групповые схемы распространены в развитых странах, где имеется более чем
вековой опыт их создания и применения. В России они ещё не
функционируют
в полном масштабе (скорее можно говорить об использовании в ряде НПФ
некоторых её элементов), хотя будущее, несомненно, за ними. Поскольку
сколько-нибудь заслуживающий внимания опыт актуального анализа групповых схем в России отсутствует, приходится обращаться к западному.
Систематизированное изложение методик определения актуальной
стоимости взносов в пенсионный фонд и выплат
из него при групповом
страховании пенсий было осуществлено Г. Кингом без малого столетие
назад. В последующие годы в эти методики были внесены изменения, которые,
впрочем, не затронули существа расчётов, а касались главным образом
уточнения моментов изменения заработной платы при переходе от одного
возраста к другому и ряда других технических вопросов.
В
главе ранее было показано, как определяется размер премии по величине пенсии или, наоборот, как рассчитывается размер пенсии по сумме накопленных взносов. И в том, и в другом варианте задача решается исходя из
принципа эквивалентности обязательств сторон, причём он применяется к
отдельному участнику. Групповое страхование отличается от индивидуального
не только (и не столько) наличием широкой программы пенсионного
обеспечения (ниже будет показано, какие виды обеспечения оно обычно
предусматривает). Основное отличие состоит в том, что НПФ с таким видом
страхования пенсии одного участника не связана напрямую с его взносами.
Иначе говоря, не соблюдается эквивалентность обязательств фонда перед
отдельным участником и его
(или произведёнными за него) взносами.
Принципе эквивалентности обязательств здесь применяется ко всем участникам в целом. Накопленные средства рассматриваются как некая «неделимая
масса», принадлежащая всем участникам фонда.
Единая групповая пенсионная схема распространяется на всех участ-
ников. Она может предусматривает следующие виды пенсий и пособий
(приводим наиболее широкий перечень, ориентируюсь на
правила между-
народных пенсионных фондов):
стандартная пенсия по старости;
ранняя пенсия по старости;
отложенная пенсия;
страховое пособие на случай смерти участника до выхода на
пенсию;
единовременное пособие;
выходное пособие;
68
пособие по нетрудоспособности;
пенсия вдове, вдовцу;
пенсии детям;
пенсии иждивенцам второго круга;
возврат наследникам (в некоторых ситуациях) неиспользованного
остатка накоплений.
Правила пенсионных фондов детально оговаривают условия назначения
и выплат каждого из указанных видов пенсий и пособий. Кратко характеризуем
основные из них.
Стандартная пенсия, как правило,
выплачивается, пожизненно начиная с
установленного в правилах возраста. Предусматривается некоторый минимальный стаж. Размер пенсии обычно устанавливается в виде некоторого
процента от среднего уровня заработной платы, определяющегося стажем
участника. При этом нормативный уровень процента может быть постоянным
или возрастающим в зависимости от продолжительности стажа. В правилах
фонда фиксируется максимальный уровень пенсии
(обычно в виде общей доли
заработной платы, например не более 80%). Могут применяться и другие схемы,
определяющие размер пенсий, особенности которых зависят от кадровой
политики работодателей, финансовых возможности фонда и так далее.
Участник может получить раннюю (досрочную) пенсию с опережением
по сравнению со стандартной на 3 – 5 лет (разумеется, меньшего размера).
Отложенная пенсия
назначается участнику, если он уходит с работы,
не достигнув пенсионного возраста. Иначе говоря, в этом случае он получает
право на пенсию, которое в дальнейшем реализует в виде стандартной или
ранней пенсии. Допускается передачи права на пенсию (в виде соответствующих активов) в другой фонд.
Перечисленные виды пенсий по старости могут быть
скомбинированы
с единовременным пособием, которое по желанию участников фонда выплачивается при его выходе на пенсию. Оно представляет собой часть актуарной
стоимости пенсии, тогда как остальная стоимость обеспечивает периодические выплаты. Если размер указанного пособия составляет, допустим,
одну третью актуарной стоимости, то пенсия сокращается до двух третьих
стандартного уровня. Правила
обычно предусматривают некоторую предель-
ную долю единовременного пособия.
Участники, которые не обладают правом на пенсию, иногда и при
других обстоятельствах, при выходе из фонда обычно могут получить выходное
пособие. Это вся сумма взносов или только взносы участника, с процентами или
без процентов.
Что касается остальных видов пенсионного обеспечения, то они, как
правило, определяются в виде долей стандартной пенсии участника.
По каждому виду пенсий и пособий предусматривается минимальный размер
выплат, а также проводится корректировка пенсий по индексу стоимости
жизни. В некоторых зарубежных фондах в ряде ситуаций правилами установлен возврат прямым наследникам участника остатка не использованных
на выплату пенсии и пособий его
собственных взносов.
69
Д
выпла
ч
о
и
о
и
н
е
н
С
я
е
ы
Д
Н
т
т
н
с
т
К
с
в
и
о
п
е
ю
р
о
е
е
ч
ё
ё
е
н
у
о
а
м
в
т
д
й
у
у
ч
л
е
о
п
и
ю
о
п
е
я
о
ч
с
д
о
н
о
о
н
у
у
а
и
в
в
ы
о
в
е
д
К
е
п
е
о
н
и
о
и
у
м
е
п
а
ж
и
и
я
у
е
д
л
и
у
и
и
о
п
Р
д
р
и
и
ч
и
ц
ы
н
у
м
с
и
е
н
у
у
р
т
р
и
и
ш
е
т
н
и
ц
о
о
и
т
г
т
т
е
с
а
с
н
к
о
у
о
4
т
м
м
а
п
и
и
я
с
б
о
о
в
в
Д
и
о
с
о
п
м
в
т
ю
м
с
н
и
в
Р
п
н
л
а
и
о
д
л
р
л
б
в
р
п
н
и
д
у
о
ю
х
х
с
ч
о
о
в
о
в
н
н
право
того,
ных в
Так, п
пенси
пособ
участ
в кон
долж
состо
дател
котор
рода
схеме
Пусть
возрас
ризуе
сторо
ность
возра
ется,
возра
стано
сумм
вычет
исчер
алеко н
иваются
на ранн
бычно п
дов пос
олучение
нного об
е иждив
ика полу
чном сч
ы быть ч
течени
нию, эко
й и том
е, однак
ля того
ПФ, обр
одновре
возраст
е от 60
ся криво
ы, в сил
группы
та растёт
ак как на
ривая
тают до
ятся ну
рованны
м пенси
ываются.
все из
в том ил
ю пенси
авилами
бий авт
ранней
спечени
нцам вт
ают пен
те опре
тко огов
м време
омическ
подобн
, не долж
чтобы л
тимся к
енно стр
ступлен
о 65 лет
. Это
различн
частник
заработн
инается
характ
65 лет,
евыми.
с проц
нных вы
еречисл
ином ф
или на
определе
матическ
енсии м
детей и
рого кр
ии, и то
еляющи
рены в
и правил
му поло
е. Возн
ы затраг
чше пон
словном
хуются н
я в фон
ключите
еличина
х прич
в, а с др
ая плата.
ыход на
ризует д
алее он
ривая
ентами
лат). В о
нных ви
нде. Нап
пенсию
ы услов
исклю
жет лиш
иждивен
га не в
у подоб
будущ
равилах.
фонда
ению в
кает нео
вать уж
ть меха
пример
сколько
20 лет,
ьно. На
изменяе
н (факто
угой – с
После 60
пенсию,
намику
умень
описыва
т инвес
ределён
ов пенс
имер, не
ждивен
я, при к
ает возм
ть учас
ев второ
плачивае
ое. Все э
ю стоим
огут пер
тране, к
бходимо
накопле
изм фун
. Предп
частник
а выход
исунке
ся во вре
ов выбы
течение
лет сум
достиг
выплат
аются
т динам
ировани
ом возра
й и посо
всегда пр
ам втор
торых п
жность
ника пра
о круга.
ся, если
и и друг
сть пен
стать со
дровой
ть в из
ные прав
циониро
ложим, ч
в одного
на пенси
.1 взносы
ени, по
ия) уме
времен
а взносо
ет нуля в
енсии.
в преде
ку нако
свобод
те накоп
ий обяз
едусматр
го круга
лучение
ыплаты
а на по
ругой п
вдова и
ие подро
ионной
тветство
олитике
енении
а участ
ания по
то по гр
пола и в
проис
в фонд
кольку,
ьшается
до нек
резко с
возрасте
азмеры
льном в
лений (
ых сред
ения пол
тельно
вается
Более
тдель-
ругих.
учение
имер –
и дети
ности,
схемы,
ать его
абото-
равил,
ков.
обного
пповой
зраста.
одит в
аракте-
одной
ислен-
торого
краща65 лет.
ыплат
зрасте
зносы,
ств, за
остью
исунок 4.
70
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]