Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
а при страховании на 10 лет:
:|
∙
∙
14,72.
В свою очередь, когда не учитывается прекращение страхования,
находим:
∗
∙
∗
∙
35,19,
:|
∙
∗
∙
16,71.
∗
∗
Как видим, при индивидуальном страховании заметно повышается
стоимость страховых выплат.
8.2. Факторы, определяющие стоимость потока платежей
Современная стоимость потока затрат на медицинские услуги определяется рядом факторов. Кроме тех, которые влияют на стоимость постоянного аннуитета (они подробно рассмотрены ранее), к ним относятся три
новых фактора – шкала относительных величин
затрат и вероятности прекращения страхования
затрат
. Как было показано в
, базовый размер
примере ранее, большое значение имеет и вид страхования (групповое или
индивидуальное). Причём влияние новых факторов заметно проявляется
на фоне воздействия факторов, определяющих постоянный аннуитет.
Очевидно, что стоимость аннуитета увеличивается при возрастании
относительных затрат. Влияние изменения базового размера затрат аналогично, тогда как повышение уровней вероятности выхода
из числа застрахованных сокращает указанную стоимость. Зарубежный опыт показывает, что
относительные затраты и значение вероятностей прекращения страхования у
мужчин выше, чем у женщин.
Ниже сравниваются стоимости потоков выплат за медицинские услуги,
рассчитанные для различных условий формирования потоков и разного
возраста при заключении страхового контракта. В таблице 8.1 приведены
стоимости потоков при
пожизненном групповом и индивидуальном страхо-
вании (1) для мужчин и женщин (выплаты точно в возрасте лет).
Как видим, при увеличении возраста стоимости потоков возрастают.
Это объясняется тем, что сокращается срок для дисконтирования значительных затрат на медицинское обслуживание лиц старшего возраста и
уменьшается влияние солидарности.
Стоимости потоков для женщин
любого возраста выше, чем для
мужчин. Сдвиг моментов выплат вперёд на полгода (расчёт по средним
121
значениям коммутационных функций) снижает стоимости потоков. Это
связано не только с увеличением срока дисконтирования, но и с уменьшением
числа застрахованных.
Выше во всех случаях предполагалось, что базовые затраты на медицинские услуги не изменяются во времени. Такое допущение существенно
упрощает расчёты, но, увы, далеко от реальности. В связи со сказанным
расчёты с постоянной величиной базовых затрат можно рассматривать как
основу для более глубокого анализа.
Таблица 8.1
Сравнение стоимостей поток выплат (пожизненное медицинское страхование)
Возраст ,годы
18 8,5 18,1
30 15,9 26,4
40 30,0 37,1
50 47,3 49,8
60 62,5 62,5
70 74,5 74,5
Групповое страхование Индивидуальное страхование
8.3. Нетто-премии
Рассмотрим три теоретически возможных варианта определения
нетто-премии: единовременный взнос, пожизненные выплаты премии и,
наконец, выплаты в течение ограниченного срока.
Единовременный взнос премии, очевидно, возможен для любого
срока медицинского страхования. Этот вариант в связи с его высокой стоимостью не применяется на практике, однако он необходим в методических
целях. Размер единовременной
нетто-премии
по определению равен
современной стоимости соответствующей последовательности (потока)
выплат:
,
и т.д.
Таким образом, факторы, влияющие на стоимость выплат, полностью
определяют и размер самой премии.
Перейдём к обсуждению вопроса о последовательных пожизненных
взносах. Основой для долгосрочного медицинского страхования является
схема, согласно которой взносы и выплаты производятся параллельно во
времени. Напомним, что взносы представляют собой некоторую регулярную
последовательность, а выплаты
осуществляются лишь по мере возникновения
страховых случаев. В силу принципа эквивалентности обязательств участвующих сторон получим следующее общее выражение, уравнивающее взносы и
страховые выплаты при немедленном пожизненном страховании:
где
∙
– страховая сумма нетто-премии;
– современная стоимость немедленных пожизненных страховых
, (8.16)
выплат;
– стоимость годового пожизненного аннуитета постнумерандо.
122
Формула (8.16) конкретизируется в соответствии с условиями осуществления взносов и методом определения современной стоимости. Возможны
следующие варианты взносов: пожизненные и ограниченные во времени,
пренумерандо и постнумерандо, ежегодные и раз в год, немедленные и
отложенные. В свою очередь, выплаты могут быть пожизненными и ограниченными, немедленными и отложенными. Период, в
течение которого произво-
дятся взносы, может быть равен сроку страхования или меньше его.
На основе равенства, аналогичного (8.16), которое описывает финансовую
эквивалентность обязательств сторон, можно получить ряд вариантов рабочих
формул для расчёта нетто-премий. В первую очередь рассмотрим наиболее
распространённые случаи при условии, что вероятности остаться в числе
застрахованных оставляются по таблице
выбытия (групповое страхование).
Начнём с определения премии при групповом пожизненном страховании. Предположим, что взносы производятся ежегодно пренумерандо, а
выплаты – в возрасте 0,5 года. Исходное равенство имеет вид
∙
откуда следует:
∙:
∙. (8.17)
Если взносы не годовые, а ежемесячные, то
∙. (8.18)
∙:
Аналогичным образом находим формулы для расчёта нетто-премий
и для других комбинаций условий взносов и страховых выплат. При выводе
формул применим соотношения, полученные для стоимости постоянных
страховых аннуитетов и стоимости потока затрат на медицинские услуги.
Ограничимся двумя примерами конструирования формул.
Страхование групповое, ограниченное годами, взносы ежегодные
пренумерандо, выплаты
в возрасте 0,5 года. Исходное равенство имеет вид:
∙
:|
:|
.
Откуда
:|
:|
∙. (8.19)
Если взносы ежемесячные, то
:|
:|
∙. (8.20)
,
123
Пример. Определим размер нетто-премии для 40-летнего мужчины
при следующих условиях: страхование немедленное и пожизненное, 1,
взносы ежегодные пренумерандо.
Для группового страхования с учётом выплат в возрасте 0,5 года
получим:
∙
3,168.
Для индивидуального страхования с выплатами в том же возрасте
находим:
∗
∗
∙
3,329.
Где страхования, ограниченного 20 годами, при выплате премий в
течение 10 лет получим:
∙
3,635.
С увеличением возраста начала страхования размеры премии растут,
достигая некоторого максимума. Их возрастание связано с ускоренным повышением затрат на лечение. Максимум в зависимости от условий страхования
приходится на возраст 70 – 74 года (мужчины) и 68 – 70 лет (женщины).
Уменьшение затрат после точки максимума объясняется резким сокращением
числа застрахованных (увеличение смертности сопровождается усиливающимся влиянием факторов солидарности застрахованных) при постоянном
уровне затрат на лечение в старшем возрасте, как это было принято при разработке соответствующих таблиц.
Во всех рассмотренных вариантах расчёта премии предусматривалось
постоянство базового уровня затрат, что, разумеется, удобно, но в значительной
степени не отвечает реальному положению дел. Под влиянием множества
причин он
так или иначе повышается. Наиболее простым способом учёта
его роста является непосредственное включение в выражение для размера
относительных затрат ожидаемого темпа их роста, постоянного в течение
всего срока страхования или в отдельные периоды. Пусть темп роста затрат
равен . Тогда
∙
.
Относительные затраты с поправкой на рост базового уровня для
последовательно изменяющегося роста на момент заключения договора
составит:
124
Возраст Последовательности относительных затрат с учетом роста базового уровня
∙
1
2
,
,
∙,
∙,…,
∙ ,…,
,…,
∙
∙
Неудобство такого метода учёта динамики затрат состоит в том, что
для каждого возраста заключения договора приходится применять свои
коммутационные функции.
Один из возможных способов учёта роста базового уровня во времени
заключается в использовании в расчётах вместо одного, общего для всех лет
страхования, показателя базовых затрат прогнозируемых рядов этих показателей.
Пусть базовые затраты представляют собой монотонно растущий ряд
,,
и так далее. Это могут быть величины, полученные по простой и
линейной или экспоненциальной модели, или результаты прогноза. Тогда
современная стоимость потока затрат для застрахованных в возрасте 18 лет
составит:
∙∙∙∙⋯
∑
∙
∙
,
где
– базовая величина затрат для начального возраста.
В итоге для страхования в возрасте лет вместо формулы (8.7) получим:
∑
∙∙
∑
∙
∙
. (8.21)
Данную форму можно модифицировать с помощью коммутационной
функции
. В этом случае:
∑
∙
. (8.22)
Как видим, использовать для упрощения расчётов коммутационную
функцию
не удается.
Применение формулы (8.21) или её вариантов позволяет определить
величину постоянного размера премии для всего срока страхования. Однако
экономические условия изменяются весьма быстро, а иногда, как мы знаем из
собственного опыта, и довольно неожиданно. В силу сказанного прогнозы
уровня затрат на продолжительные сроки не имеют большой надёжности, хотя
как-то
решают проблему.
Без прогнозирования базовых затрат на первый взгляд можно обойтись,
ежегодно определяя уровень премии с помощью формулы (8.21) и в итоге
получая монотонно растущий ряд премий. Однако нельзя упускать из виду,
125
что уже в конце первого года страхования образуется некоторый резерв, тогда
так как в первое время премия заметно превышает затраты на лечение при
любом начальном возрасте страхования. Применение данного метода приведёт
в итоге к существенному завершению размеров премий (нарушение принципа
эквивалентности обязательств). Поэтому при последовательном их вычислении
следует принимать во
внимание уже накопленные резервы.
8.4. Брутто-премии
Перейдём к последней задаче – расчёту брутто-премии. Напомним, что
брутто-премия больше нетто-премии на величину нагрузки. При обсуждении
общего способа определения брутто-ставки в страховании было показано, что
1,
или
,
где
– годовая нетто-премия;
– годовая брутто-премия;
– нагрузка в виде доли нетто-премии;
– скидка с величины брутто-премии.
В долгосрочном медицинском страховании положение с нагрузкой
более сложное, чем в краткосрочном, так как она должна компенсировать как
первичные так периодические затраты страховой организации. К первичным
относятся расходы на различные предварительные медицинские обследования,
оформительские
расходы и так далее, к периодическим – систематическая
оплата других административных расходов. Оба элемента затрат имеют
довольно большие размеры. Существующая зарубежная практика предусматривает следующий подход к формированию величины брутто-премии:
1∆
, (8.23)
где
– годовой размер нетто-премии,
– относительная величина нагрузки (как правило, сюда относят
рисковую надбавку);
∆ – затраты, которые можно связать за брутто-премией (администра-
тивные расходы и прибыль);
– постоянные и периодические расходы, которые нельзя связать с
нетто- и брутто-премией.
126
Таким образом, предусматривается одновременный учёт прямых
расходов, скидки с брутто-премии и надбавки к нетто-премии. В итоге получим:
∆
. (8.24)
Указанное определение брутто-премии применяется в Швейцарии.
В других странах используются иные варианты приведённых формул.
Например, в Испании брутто-премию находят как
где и
1
1
– доли внутренних расходов и прибыли в величине брутто-
премии.
Несколько по-иному выглядит формула, применяемая в Нидерландах:
,
,
где – коэффициент, учитывающий издержки на страхование;
– комиссионные.
В Германии и Австрии иногда используют метод расчёта премии,
предложенный ещё в прошлом веке Цильмерром. Он позволяет искусственно и временно улучшить баланс страхового предприятия. Согласно этому
методу нетто-премию повышают на величину, равную члену некоторого
постоянного аннуитета. Пусть современная стоимость этого
. Тогда нетто-премия по Цилльмеру для немедленного пожизненного страхо-
аннуитета равна
вания составит:
.
Величину
обычно понимают как часть брутто-премии, кратную
числу учитываемых месяцев . Таким образом, брутто-премия теперь
определяется следующим образом:
∆
,
где
– годовая брутто-премия по Цилльмеру.
При 0 приходим к выражению (8.23). Ясно, что при
0,
. Между тем величина является результатом подбора, для
которого, как нам представляется трудно найти объективное основание.
127
ГЛАВА 9. СТРАХОВЫЕ РЕЗЕРВЫ ПО СТРАХОВАНИЮ ЖИЗНИ
9.1. Основные положения.
Перспективный и ретроспективный резервы
В предыдущей главе величина страховых нетто-взносов определялась
из условия равенства ожидаемой текущей стоимости ожидаемых страховых
выплат и ожидаемой текущей стоимости взносов. Иными словами, основа
для расчёта страховых взносов – равенство финансовых обязательств страховщика (ожидаемая текущая
стоимость ожидаемых страховых выплат) и
финансовых обязательств страхователя (ожидаемая текущая стоимость страховых взносов). Однако такой баланс обязательств существует только в момент
заключения договора. После уплаты страхователям единовременного (или
первого) взноса этот баланс нарушается: Страхователь уже выполнил свои
обязательства (или часть их), а страховщику только предстоит это сделать в
течение всего
срока действия договора, для чего ему необходимо зарезервировать поступившие средства. Снова баланс наступит после окончания срока
действия договора, когда и страхователь, и страховщик полностью выполнят
свои обязательства.
Необходимость наличия страховых резервов обусловлена временным
разрывом между поступлением страховой премии её расходованием на
страховые выплаты. Поскольку страховая премия по договорам страхования
всегда поступает раньше, чем происходят страховые случаи и производятся
страховые выплаты, то необходимо зарезервировать её на будущее для обеспечения страховых выплат путём создания страхового фонда.
Можно провести аналогию между динамикой величины страхового
фонда и динамикой уровня жидкости в резервуаре, в которой жидкость
сначала поступает упорядоченными порциями (взносы), а затем неупоря
-
доченно, случайными порциями и в случайные моменты времени вытекает
(выплаты). В страховании сток имеет случайный, или стохастический, характер
по двум причинам: во-первых, заранее неизвестно, когда произойдёт страховой
случай, во-вторых, не известен размер страхового возмещения в каждом
конкретном случае. Уровень жидкости в результате все время находится в
движении: он
то повышается за счет накачки жидкости (поступления стра-
ховой премии), то понижается за счёт стока (страховых выплат).
Есть ли в начальный момент времени в пустой резервуар «залить такое
количество жидкости» (внести единовременную премию), которое, согласно
вероятностным расчётам, вытекает из него за определённый период времени T,
то по окончании этого периода резервуар
окажется пустым. В любой промежуточный момент времени t «количество жидкости в резервуаре» (сумму
страхового резерва) можно определить двумя способами:
1) как разность между объемами поступившей в начале и вытекшей
за это время жидкости;
2) как количество жидкости, которые, согласно расчётам, должно
вытечь за время, оставшиеся до окончания периода, когда резервуар опустеет
.
128
Поскольку объемы поступившей и вытекшей за весь срок жидкости
равны, то оба этих метода дают, естественно, один и тот же результат.
Первый метод расчёта в применении к страховому резерву называется ретроспективным, поскольку он основан на учёте прошлых поступлений и выплат.
Ретроспективный резерв определяется как разность между текущей стоимостью
поступившей
премии и текущей стоимостью страховых выплат за истекший
период времени (естественно, здесь речь идёт о расчётной, а не фактической
величине выплат).
Второй метод расчёта носит название перспективного, поскольку для
расчёта используются значение будущих выплат. Перспективный резерв
при единовременной уплате страховой премии определяется как текущая
стоимость ожидаемых страховых выплат. Если же страховая
премия вносится
в рассрочку, то перспективный резерв определяется как текущая стоимость
будущих выплат минус текущая стоимость будущих поступлений премии.
В конкретных вычислительных схемах используются то определение
резерва, которое более удобно для расчётов; для анализа же всегда более
нагляден ретроспективный подход, соответствующий естественному развитию
процесса от прошлого к настоящему.
При анализе
фактической деятельности страховой компании полезно
сравнивать расчётный и фактический уровни страховых выплат, или расчётный
и фактический уровни ретроспективного страхового резерва. Если имеет место
систематическое превышение фактических выплат над расчётными, то это
сигнал о необходимости скорректировать базисные предположения, использованные при расчёте страховой премии.
9.2. Страхование на чистое дожитие
Перспективный метод
Наиболее часто рассчитывается величина резерва при единовременной
уплате страхового взноса. В этом случае величина страхового резерва для
произвольного момента времени равна ожидаемой текущей стоимости
страховой суммы на момент оценки резерва. Для единичной страховой
суммы величина страхового фонда на конец -го полисного года:
. (9.1)
Тогда индивидуальный страховой резерв:
:
:
(9.2)
129
В случае, когда страховые взносы взымаются уплачиваются ежегодно в
течение всего срока действия договора (т.е. выжидательный период отсут-
ствует), страховой резерв на конец -го года страхования (до уплаты взноса за
1-й год) равен разности между ожидаемой текущей стоимостью выплат
(9.2) и ожидаемой текущей стоимостью будущих взносов:
:
:
:
∙
:
(9.3)
Второе слагаемое в формуле (9.3) есть стоимость ренты пренумерандо
на срок для страхователя в возрасте с ежегодными платежами
величиной
. Иначе получим:
:
:
(9.4)
Рекуррентные формулы
Этот же результат легко можно получить с помощью рекуррентных
формул, связывающих значения резерва за два соседних года:
(9.5)
Иначе говоря, величина страхового резерва на конец t1-го года
равна наращенной за год сумме его величины на конец предыдущего года
и страховой премии за 1-й год. Для просто не изменяющиеся индексы
здесь опущены. Отсюда получим:
(9.6)
Ретроспективный метод
До уплаты первого взноса резерв равен нулю. После уплаты первого
взноса в начале первого года страхования величина страхового резерва будет
равна P. В течение года эта сумма будет нарастать за счет начисления процентов
и к концу первого года составит:
иметь:
и т.д. Производя последовательные вычисления,
. К концу второго года мы будем
начиная с первого года, в результате получим:
:
:|
(9.7)
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]