Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Смешанное (комбинированное) страхование жизни
Этот вид страхования представляет собой комбинацию срочного
страхования жизни и страхования на дожитие на этот же срок. Часто его
просто называют страхованием на дожитие (в отличие от чистого дожития).
Страховая сумма выплачивается застрахованному при дожитии до окончания
срока либо выгодоприобретателю, если застрахованный умер раньше. Единовременная
премия такого страхования равна сумме единовременных премий
страхований на случай смерти и на дожитие:
:|
:│
. (2.13)
:
│
При уплате страховой премии в рассрочку величина периодических
взносов:
:|
:|
. (2.14)
:│
Иногда встречается смешанное страхование жизни с неравными
страховыми суммами – страховая сумма по смерти выбирается больше,
чем по дожитию. В этом случае при расчёте тарифов за основу принимается
страховая сумма по дожитию, а единовременная стоимость страхования с
единичной страховой суммой:
:|
:│
:
;
│
, (2.15)
где – отношение страховых сумм по смерти и по дожитию.
2.3. Нетто-премии для пенсионных планов
Различают два основных типа пенсионных планов: планы с фиксированной выплатой пенсии и планы с фиксированным взносом.
План с фиксированной выплатой пенсии предполагает накопления
средств для обеспечения выплаты пенсий установленного договором размера по
наступлении пенсионного возраста. Уровень пенсионного обеспечения обычно
устанавливается в зависимости от заработной платы работника в момент
заключения договора. Преимущества системы с фиксированной выплатой
заключается в том, что она дает застрахованные твердые гарантии уровня
их пенсионного обеспечения в будущем. Недостаток системы в том, что у
работника могут возникнуть финансовые проблемы при
уплате будущих
взносов, если величина его зарплаты с возрастом понизится. Страховая же
компания несёт на себе риск низкой доходности инвестиций.
31
План с фиксированным взносом – план, в котором размер взноса
устанавливается в зависимости от заработной платы работника и изменяется
вместе с размером последней. Затем взносы инвестируются, и размер пенсии
определяется при достижении пенсионного возраста исходя из накопленные
суммы. Такая система позволяет гибко реагировать на изменения процентной
ставки в течение срока страхования.
Недостаток её – достаточно высокая
степень неопределённости в размере пенсии.
Смешанные планы совмещает в себе элементы системы с фиксированным
взносом и системы с фиксированной выплатой. Так, например, условиями
пенсионного плана может быть предусмотрен возраст, по достижении которого работник может (или должен) перейти от системы с фиксированным
взносом к системе с фиксированной
выплатой.
Детальному предварительному расчёту подается только традиционная
схема с фиксированной выплатой пенсии, поэтому мы сосредоточим внимание
на ней.
План без возврата взносов
Такой пенсионный план представляет собой классическую пожизненную ренту, выплачиваемую начиная с момента достижения застрахо-
ванном пенсионного возраста . Если возраст застрахованного в момент
заключения договора равен
, то мы имеем дело с пожизненной рентой
пренумерандо, отложенной на лет. Её текущая стоимость на момент
заключения договора равна:
. (2.16)
|
Величина годовых страховых нетто-взносов определяется путём деления
стоимости ренты на ожидаемую текущую стоимость ренты взносов, уплачи-
ваемых в течение лет:
:|
|
, (2.17)
где
:|
– годовой коэффициент рассрочки (пренумерандо).
Если выжидательный период отсутствует (, то в знаменателе
формулы следует заменить на . Если пенсионные выплаты осуществ-
ляются пожизненно раз в год в размере 1/, начиная с возраста , то текущая
стоимость такой ренты на момент заключения договора:
|
. (2.18)
32
В свою очередь страховые взносы также могут оплачиваться чаще,
чем один раз в год. Если страховые взносы уплачиваются раз в год, то
страховая сумма взносов:
|
:|
:|
. (2.19)
План с возвратом уплаченных взносов в случае смерти
в допенсионном возрасте
Как правило, почти во всех схемах пенсионного страхования предусмотрена защита уплаченных страхователем взносов на случай его смерти
в допенсионном возрасте. В этом случае наряду с фондом, предназначенным
для осуществления пенсионных выплат, необходимо создать соответствующий
фонд для возврата
уплаченных взносов в случае смерти страхователя до
наступления пенсионного возраста. Для простоты и будем считать, что
выжидательный период отсутствует: .
В случае, когда возврат уплаченных до момента смерти взносов
осуществляется в конце страхового года, ожидаемая текущая стоимость
этого фонда на момент заключения договора страхования равна:
∑
1
≡
:│
, (2.20)
где
– величина ежегодно оплачиваемых взносов,
:│
– ожи-
даемая текущая стоимость стандартного страхования на случай смерти с
возрастающей страховой суммой.
Величина нетто-взноса для единичной ежегодной пенсии определяется
из условия равенства текущих стоимостей взносов и выплат:
:|
|
:│
. (2.21)
Отсюда имеем:
:|
|
:│
. (2.22)
В случае, когда возврат взносов осуществляется непосредственно
после смерти страхователя, ожидаемая текущая стоимость этого фонда
равна величине, определяемой формулой:
33
:|
|
:│
, (2.23)
где 1 – сила роста.
Если страховая премия выплачивается раз в год в течение
лет, то текущая стоимость индивидуального фонда, предназначенного для
возврата взносов:
:│
:│
, (2.24)
:│
1
. (2.25)
где
1
:│
План с дополнительными выплатами в случае смерти
в пенсионном возрасте
Подавляющему большинству страхователей представляется не справедливым то обстоятельство, что если страхователь умирает за день до
наступления пенсионного возраста за день до наступления пенсионного
возраста, то наследникам возвращают все оплаченные им взносы, а если
смерть наступает день спустя, то
они получают только первую пенсионный
выплату. Для защиты уплаченных взносов на случай смерти страхователя в
пенсионном возрасте применяют многочисленные схемы. Естественно, что
защита действует ограниченный период времени и в ограниченном размере.
В качестве примера рассмотрим схему, согласно которой в случае смерти
страхователя в первые пять лет после начала выплаты пенсии
страховщик
производит страховую выплату в размере 5 годичных пенсий.
Если страховая выплата производится непосредственно после смерти
страхователя, то ожидаемая текущая стоимость фонда предназначенного
для выплаты по смерти в пенсионном возрасте:
5
:│
5
. (2.26)
Величина годовой суммы нетто-взносов определяется из условия равенства ожидаемой текущей стоимости суммарного фонда и ожидаемый
текущей стоимости страховой премии:
:|
:│
5
, (2.27)
:│
34
откуда
:|
:│
:│
. (2.28)
Отметим, что вследствие большого разнообразия пенсионных планов
невозможно, да и не нужно рассматривать все их подробно, важно на простых
примерах показать, как следует их рассчитывать. Более того вследствие
широкого распространения персональных компьютеров нет нужды получать
каждый раз результаты в аналитическом виде, а затем уже по полученным
формулам производить расчёты. По
-видимому, в настоящее время аналитические формулы для каждого «стандартного» случая страхования имеют
лишь историческое, да ещё, пожалуй, познавательное значение. Поскольку
исходные данные (таблица смертности) задаются виде числового массива и
конечные данные также представляют числовой массив, можно сосредоточить
свое внимание не на выводе громоздких формул, а на смысле выполняемых
вычислений
и интерпретации результатов компьютерных расчётов.
2.4. Общая схема страхования жизни
Наиболее общая схема страхования жизни определяется последовательностью страховых выплат произвольной величины, осуществляемых в
произвольный момент времени, и соответствующей произвольной последовательности страховых взносов. Сначала рассмотрим пожизненное страхование
жизни с меняющиеся год от года страховой суммой
, которая будет выпла-
чиваться в конце года смерти застрахованного. Единовременная нетто-премия
для такого страхования:
∑
/
≡
∑
. (2.29)
Если
жизни с возрастающей страховой суммой. Тогда
страхование покрывает только лет, то есть, когда
, то мы имеем дело со стандартным типом страхования
. В случае, когда
⋯0, для
стандартного возрастающего страхования жизни получим:
:|
∑
1
≡
. (2.30)
:│
Для стандартного убывающего страхования жизни получим соответственно:
;
:|
∑
≡
. (2.31)
:│
35
Предположим теперь, что страхование оплачивается ежегодными
взносами П
, которые вносится в моменты времени ,1,2,…. Текущая
стоимость этих взносов на момент заключения договора страхования:
П
∑
П
/
. (2.32)
Как правило, практически во всех схема страхования жизни величина ежегодных страховых взносов остается постоянный на протяжении срока
страхования: П
.
Тогда для пожизненного страхования получим:
П
∑
/
≡
. (2.33)
Для страхования на срок лет:
П
∑
/
≡
. (2.34)
:|
Размер нетто-премии определяется из условия равенства текущих
стоимостей страховых выплат по смерти и взносов:
∑
/
∑
П
/
; (2.35)
∑
:|
, (2.36)
где – продолжительность уплаты периода уплаты взносов.
Данная формула позволяет описывать не только страховые взносы,
но также и страховые выплаты по дожитию в виде единовременной выплаты
или ренты. Слагаемые в (2.32), описывающие выплаты, должны иметь отрицательную величину. Рассмотрим в качестве примера страхование на дожитие
сроком на лет с
вания. Тогда П
периодической уплатой взносов в начале каждого года страхо-
П⋯П
;П1,П
:|
0,1,2,….
Поскольку выплаты по смерти отсутствует, левая часть (2.35) равна
нулю. В результате:
:|
∑
/
;
:|
. (2.37)
:|
2.5. Схемы с установленными размерами пенсий.
Расчет нетто-премий
Обратимся к пенсионной схеме, в которой установлен размер пенсии
и определены условия ее выплаты. Необходимо рассчитать величину премии.
Как и в других видах страхования, нетто-премия здесь может быть определена
36
в виде единовременного взносы (покупка пенсии разовым платежом) или в
виде потока платежей при условии, что премия выплачивается в течение некоторого оговорённого срока. Обсудим оба варианта. Начнём с единовременного
взноса.
Единовременный взнос
Поскольку речь идёт разовом взносе премии, то нетто-тариф, очевидно,
равен стоимости аннуитета, соответствующего условиям выплаты
пенсий, а
нетто-премия – произведению стоимости аннуитета на размер пенсии.
Если пенсия годовая пожизненная немедленная пренумерандо, то
единовременная нетто-премия
определяется следующим образом:
, (2.38)
где – установленный размер годовой пенсии;
и
– стандартные коммутационные функции;
– возраст участника при заключении контракта:
– стоимость немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо.
Нетто-тариф (нетто-премия в расчёте на один рубль пенсии) для
рассмотренного случая, очевидно, составит
.
Для отложенных на лет выплат пенсии с аналогичными параметрами
стоимость аннуитета находим по формуле:
|
. (2.39)
Таким же способом можно получить суммы единовременных взносов и
для других условий выплаты пенсии.
Пример. Необходимо определить единовременную нетто-премию,
выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с
мужчиной в возрасте 40 лет. Размер годовой пенсии 12 000 руб., выплаты
пренумерандо пожизненно с 60 лет.
В этом случае имеем отложенный на 20 лет пожизненный аннуитет
пренумерандо
. Если выплаты пенсий годовые, то для приведённых данных
получим:
|
12000
31117,79
30286,01руб.
12329,57
Если взнос выплачивается в 60 лет, то
37
12000
31117,79
117438,92руб.
3179,64
Пусть теперь пенсия страхуются не пожизненно, а на срок 15 лет, тогда
её стоимость составит:
| :|
12000
31117,794211,98
12329,57
26186,62руб.
Для последних условий, но с ежемесячными пенсионными выплатами
находим:
|
:|
31117,794211,98
12000
3179,64669,02
12329,57
25066,67руб.
При всех прочих равных условиях, кроме стандартного возраста выхода
на пенсию, стоимость пенсии у мужчин оказывается меньше, чем у женщин и
того же возраста. Здесь сказывается влияние двух факторов. Во-первых, показатель смертности у женщин меньше, чем у мужчин, а во-вторых, женщины
выходят на пенсию раньше.
Перейдём
к определению единовременного износа при применении
сберегательно-страховой пенсионный схемы. Пусть до пенсионного возраста
применяется сберегательные схема – происходит накопление средств, а по
его достижения – страховая. Если пенсия выплачивается с 60 лет, а взнос
производится в лет, то единовременная премия для отложенной пенсии
равна стоимости немедленной пенсий, дисконтированной на период отсрочки,
составляющий
60 лет. Таким образом, для отложенной пожизненной
годовой пенсии пренумерандо имеем:
∙∙∙
∙
∙
.
Аналогичным путём можно получить формулы для любых других
условий выплат пенсии.
Пример. Вернёмся к предыдущему примеру (вариант с выплатой
пенсии в течение 15 лет). Для смешанной пенсионной схемы получим:
∙∙
∙12000
31117,794211,98
12329,57
∙
10,09
1
4672,5руб.
38
Поток взносов (рассрочка)
В практике страхования премии обычно выплачиваются не единовременно, в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчёте нетто-премий с рассрочкой можно воспользоваться
формулами стоимости для ограниченных страховых аннуитетов. Пенсии
также представляют собой страховые аннуитеты. В силу эквивалентности
финансовых обязательств обоих участников договора
стоимости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае,
когда один аннуитет (взносы) является немедленным ограниченным, а второй
(пенсии) – пожизненным отсроченным, причём оба предусматривают ежегодные платежи пренумерандо, получим следующее равенство:
∙
∙
:|
, (2.40)
|
где – годовая сумма взносов (нетто-премия);
– годовая сумма пенсии;
– возраст участника при заключении контракта;
– срок от момента заключения контракта до начала выплаты пенсии;
– срок выплаты премии ();
:|
,
– стоимости страховых аннуитетов.
|
Таким образом:
∙
|
:|
.
Например, если первая выплата пенсии производится, допустим, в 60
лет (60), возраст при заключении страхового контракта – 40 лет,
рассрочка равна 10 годам, то
С помощью аналогичных выражении можно уравнивать стоимости
других видов аннуитетов и определять искомые размеры премий. Так, если
взносы премий производятся ежегодно, а пенсии выплачиваются ежемесячно,
то балансовое уравнение имеет вид:
∙
:|
∙
|
,
откуда
39
∙
|
|
|
|
|
:|
.
Формулы для определения размеров годовых сумма взносов при рас-
срочке на лет и при условии, что пенсии и взносы выплачивается прену-
мерандо, сведены в таблицу.
Таблица 2.1
Годовые суммы взносов пренумерандо
Вид пенсии
раз в год
|
∙
:
|
∙
:
Взносы
годовые
раз в год
Ежегодная
|
∙
:
|
∙
:
Выражения для определения годовых сумм ограниченных по сроку
выплат пенсий пренумерандо получают аналогичным путём, однако в числителе всех формул используются стоимости соответствующих ограниченных
аннуитета.
Пример. Определим размер премии для следующих условий.
Страхуются 40-летний мужчина. Премия вносится ежегодно, в рассрочку,
в течение 5 лет. Пенсия годовая пожизненная с 60 лет в размере 12 000
руб.
в год. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо.
В этом случае находим:
∙
|
:|
12000∙
31117,79
176001,3121052,1
6795,61руб.
Чем больше период рассрочки, тем, естественно, меньше сумма
взноса. Так, при рассрочке в 10 лет для тех же условиях получим:
12000∙
176001,380555,2
31117,79
3912,30руб.
Удвоение срока взносов сократило сумму премии на 58%.
Немного изменим первоначальные условия задачи. Пусть теперь
взносы производится ежемесячно пренумерандо. В этом случае при расчёте
годовой суммы взноса получим:
|
:|
∙
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]