Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Формула для расчёта стоимостей соответствующих аннуитетов приведены ранее. Используя эти выражения, находим:
176001,3121052,1
31117,79
3179,64
12329,579144,68
12000∙
6654,12руб.
2.6. Схемы с установленными размерами взносов.
Расчет размера пенсии
Схема с установленными взносами не вызывает такой «головной боли»
у страховщиков, как схема с установленными пенсиями. В этом случае важнее
собрать взносы, размер пенсии – величина, производная от них. Поскольку на
практике взносы часто осуществляется с нарушением оговорённых сроков, а
иногда
и не в полном объеме, то надёжнее определять размер пенсий по уже
произведенным взносам и реальный пенсионным накоплениям с учётом
инвестиционного дохода.
Рассмотрим три варианта выплаты премии:
единовременный платёж (в теоретическом плане это важный
вариант, но на практике применяется редко);
последовательные нерегулярные взносы (в договоре со страхо-
вателям
обычно предусматривается регулярные платежи, однако в силу
разных причин, как теперь принято говорить – «по жизни», взносы выплачиваются не так уж строго – случай у нас не такой уж редкий);
регулярные взносы (этот вариант важен в методологическом
отношении).
Взносы, разумеется, должны быть «очищены» от нагрузки.
Единовременный взнос
Пусть единовременный взнос
для обеспечения пенсии участника в
возрасте лет равен
. Из соотношения типа
∙
находим
размер пенсии . Например, если пенсия выплачивается в виде отложенного
на лет пожизненного годового страхового аннуитета пренумерандо, то
, (2.41)
|
где ,
– возраст выхода на пенсию.
41
Пример. Для обеспечения пенсии мужчине за 10 лет до начала её выплаты
сделан единовременный взнос в сумме 25 000 руб. Пожизненная ежемесячная
пенсия пренумерандо выплачивается с 60 лет. Каков размер пенсии?
Искомую величину находим по формуле:
|
.
Необходимую величину стоимости страхового аннуитета рассчитываем
по формуле:
|
,
,
,
4,45778.
Годовой и ежемесячный размеры пенсии равны:
25000
5608,18руб.и
4,45778
12
5608,18
12
467,348руб.
Последовательные нерегулярные взносы
Рассмотрим второй вариант выплат премии – выплаты нерегулярные
(в отношении как сроков, так размеров платежей). Согласно этой схеме,
каждый последовательный взнос (к нему можно отнести дополнительный
инвестиционный доход) обеспечивает участнику пенсию некоторого размера.
Таким образом, расчётный размер пенсии определяется «по факту» на день
взноса. С каждым
последующим взносом пенсия увеличивается.
Предположим, что взносы осуществляются точно в возрасте
лет. Первый взнос
, произведённый в возрасте лет, за лет до начала
выплат пенсии (напомним, что ), обеспечивает пенсию в размере
. Для этого взноса балансовое уравнение имеет вид:
∙
|
,
откуда получаем:
|
∙
.
В свою очередь, второй взнос увеличивает пенсию на величину:
42
∙
и так далее. В общем виде имеем:
∙
, (2.42)
где – год выплаты премии после достижения возраста лет.
Итоговый размер пенсии за лет
равен сумме составных элементов:
∑
.
Пример. Взносы для обеспечения пенсии мужчины (c 60 лет, пожиз-
ненно, пренумерандо,
31117,79111) произведены через 0, 2 и 3 года
(в возрасте 50, 52 и 53 лет) после заключения контракта в размере 10, 20 и
10 тыс. руб.
Размеры годовой пенсии после каждого взноса показаны ниже.
50 10 6653,64 66536,4 2,138211
52 20 5810,18 58101,8 1,867157
53 10 5419,98 54199,8 1,741762
Итого:
∙
5,747130
После третьего взноса поступлений не было, поэтому размер пенсии
не изменялся (5,75тыс.руб.)
Регулярные платежи (рассрочка в виде ренты)
Пусть теперь премия выплачивается в рассрочку в течение лет,
причём взносы регулярные (постоянная финансовая рента). Размер пенсии
(без корректировки на инфляцию) определяется элементарно: достаточно
решить уравнение, в котором приравнены стоимости
двух регулярных потоков
платежей (взносов и пенсий) относительно . По существу поставленная задача
является обратной определению размера взносов (в виде постоянной ренты) по
установленной пенсии.
На основе балансового уравнения, в котором актуарная стоимость
взносов приравнена к актуарной стоимости пожизненной пенсии (оба потока
платежей годовые пренумерандо), получим:
|
:|
.
∙
Аналогичным образом легко получить значения для других условий
выплат взносов и пенсий.
43
Пример. Взносы в НПФ в виде постоянной ренты в сумме 5000 руб.
производятся в течение 5 лет начиная с возраста 40 лет. Пенсия мужчине
выплачивается с 60 лет пожизненно. Оба потока годовые, пренумерандо.
Для данной ситуации находим:
∙
5000∙
176001,3121052,1
8829,226руб.
31117,79
Правила некоторых НПФ предусматривают возможность получения
участником некоторого единовременного пособия, например, при выходе
на пенсию или позднее. Выдача такого пособия, естественно, уменьшает
накопления и соответственно размер пенсий. В связи с этим возникает
проблема определения нового размера пенсионных выплат с учётом выплаченного пособия. Методически удобнее обсудить её, познакомившись с понятием страховых резервов. Поэтому отложим рассмотрение методики соответствующих расчётов до следующей главы.
2.7. Смешанные сберегательно-страховые схемы
Условия некоторых российских НПФ предусматривают смешанные
сберегательно-страховые пенсионные схемы. Иначе говоря, накопление до
выхода на пенсию происходит по сберегательный схеме, после – по страховой.
Рассмотрим методики определения суммы взносов и размера пенсии
только для
варианты с годовыми взносами и выплатами. Уравнение эквивалентности,
которое уравнивает два потока на момент выхода на пенсию (пусть это будут
потоки пренумерандо), имеет следующий вид:
∙
11
;
∙
, (2.43)
где – размер ежегодных взносов;
– размер пенсий;
– коэффициент приведения годовой ограниченной ренты пост-
;
нумерандо;
– уровень процентной ставки;
– срок выплаты взносов, ;
– стоимость немедленного страхового пожизненного аннуитета;
– возраст выхода на пенсию.
Левая сторона равенства характеризует современную стоимость немедленной ограниченной ренты (взносов), правая – актуальную стоимость пожизненной пенсии. Нетрудно написать аналогичные равенства для любых других
потоков платежей. Выражение (2.43) и ему подобные дают возможность опре-
делять , если задано , или
, если задано .
44
Пример. Сравним стоимости пенсионного обеспечения (единовременное взносы) по трём видам схем: сберегательной, страховой и сберегательно-страховой. Стоимость обеспечения определяется для мужчины в
возрасте 40 лет, выплаты предусмотрены начиная с 60-летнего возраста в
течение 15 лет (ограничение по сроку принято для возможности сопоставления соответствующих сумм). Выплаты годовые пренумерандо в размере
12 000 руб.
Стоимость сберегательного обеспечения составляет:
∙
1
10,09
∙
;
∙
12000∙
110,09
0,09
19545,77руб.
Стоимость страхового обеспечения (стоимость отложенного ограниченного аннуитета) равна:
∙
|
:|
12000∙
12000∙
2594,036218,8854
2763,502
10313,66руб.
Снижение стоимости сопровождается отказом от права наследования,
которое предусматривается сберегательной схемой.
В свою очередь, стоимость сберегательно-страхового обеспечения
составит:
∙
∙
12000∙
2594,036218,8854
337,4002
∙1,09
15072,91руб.
Гибридное схема, как и ожидалось, дала промежуточный результат.
Пенсии вдовам
В пенсионных схемах некоторых НПФ предусматриваются так называемые вдовьи пенсии, иначе говоря, пенсии вдове или вдовцу. (Далее для
сокращения записи будем полагать, что пенсия предназначена вдове.
Общность построений от этого не пострадает). Распространим теперь рассмотренную выше
методику определения нетто-премии в индивидуальном виде
страхования на страхование пенсий вдовам, сохраняя принятые обозначения и
опираясь на некоторые полученные выше результаты.
Для решения поставленной задачи (ограничимся только стоимостью
соответствующего аннуитета) необходимо получить значения ряда вероятностей, определить соответствующие коммутационные функции, и наконец,
рассчитать современные стоимости страховых аннуитетов. Что касается
45
вероятностей, то формулы для их нахождения получены ранее. Напомним
их. Так, для супругов в возрасте и лет вероятности прожить ещё лет
составляют
1 ; прожить супругом вместе ещё лет (вероятность сохра-
и ; умереть каждому из них – 1
и
нения супружеской пары):
,
где
∙
.
Вероятность того, что супруг (заключивший договор страхования в
возрасте лет, когда его супруге было лет) не доживёт до лет, а
супруга, напротив, доживёт до лет, равна:
∙
|
. (2.44)
Перейдём непосредственно к расчётам премий. Предположим сначала,
что страхуется единовременная выплата вдове. Тогда при страховой сумме,
равной одному рублю, получим следующую величину нетто-премии:
∙
|
|
∙
∙
, (2.45)
где
– дисконтный множитель по принятой ставке сложных процентов.
Применим для расчёта
коммутационные функции и
|
Для этого обратимся к первой дроби в правой части равенства. Умножим и
разделим её на
. Что касается второй дроби, то для её определения необходимо
коммутационная функция
. Получим знакомое выражение нетто-премии на дожитие:
. Необходимые коммутационные функции
были определены ранее. Напомним, что
∙
и
∙
.
Поскольку данные коммутационные числа имеют большую размер-
ность, их обычно умножать на 10
.
Вернёмся к формуле (2.45). Умножим и разделим вторую дробь на
, после чего получим:
|
. (2.46)
.
46
Как видим, искомая величина равна разности нетто-премий страхования на дожитие супруги и страхования на дожитие супружеской пары.
Пример. Используем результаты расчётов для супружеской пары при
50 и 45. Коммутационные числа при условии, что процентная
ставка равна 9 %, для женщины имеют значение
1231,59, а для супружеской пары –
44336,57982.
;
;
1938,139 и
119218,382 и
В итоге получим:
|
,
,
,
,
0,263556.
Таким образом, нетто-премия равна 26,36% страховой суммы.
Приступим теперь к расчёту современной стоимости страхового аннуитета, предусматривающего выплаты регулярной пенсии вдове. Для этого
вернёмся к формуле (2.46), определяющей размер единовременной выплаты
вдове возрасте лет. Сумма выплат, рассчитанных вплоть до предельного
возраста , и будет равна стоимости немедленного пожизненного годового
страхового аннуитета постнумерандо. Обозначим эту величину как
|
.
∑
|
|
∙
. (2.47)
Величина вероятности выплаты пенсий определена соотношением
(2.44). Воспользуемся им. После чего:
|
∑
1
∙
∙
∑
∙
∑
∙
. (2.48)
Первая сумма в правой части последнего равенства представляет собой
стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для супруги
. Что касается второй суммы, то она также является стоимостью немедлен-
ного пожизненно аннуитета, но при условии сохранения супружеской пары.
Обозначим её как
. В итоге:
|
.
Определим члены этой разности. Так, имеем
стоимости второго аннуитета необходима функция
. Для расчёта
. Окончательно
находим:
. (2.49)
47
Следует заметить, что стоимость аннуитета может оказаться весьма
высокой, значительно превосходящей стоимость пенсионного аннуитета
супруга. Дело в том, что
определяется как немедленный аннуитет, а
|
аннуитет для супруга – как отложенный до возраста выхода на пенсию.
Пример. Для иллюстрации расчёта стоимости страхового аннуитета
вернёмся к предыдущему примеру. Допустим, сумма пенсионных выплат
вдове определена в размере 10 000 руб. в год, они производится в конце
года начиная с года смерти супруга. Исходные параметры: 50,
1938,139, 19059,99.
На основе таблиц коммутационных функции
и . Для значений и в нашем примере получим
119218,382 и
∙10856805.
;
и
находим числа
;
45,
∙10
В итоге имеем:
|
19059,99
1938,139
????
119218,382
Нетто-премия немедленной пенсии в виде единовременного взноса
составит
Если договор страхования предусматривает выплату пенсий вдове
только в том случае, когда супруг умрёт в пенсионном возрасте, то следует
определить стоимость аннуитета, отложенного до этого момента. Пусть
возраст выхода на пенсию для мужчины составляет 60 лет. Тогда
|
|
|
|
,
где
|
,
|
;
До сих пор обсуждение ограничилось определением стоимости аннуитета по выплате пенсии вдове. Если необходимо найти размеры неттопремий, обеспечивающих указанные пенсии, то их не трудно рассчитать на
основе баланса уравнения, аналогичного (2.39).
2.8. Влияние факторов на размер премии
Представляет определённый интерес анализ влияния факторов на
размер премии в схемах
с установленными выплатами. Для того чтобы
решить эту задачу, обратимся к балансовому уровню, в котором ограниченные по сроку взносы эквивалентны пожизненной пенсии. Пусть оба потока
платежей пренумерандо, выплаты ежегодные. Тогда
48
∙
∙
:|
|
.
Как видно из этого выражения, размер премии зависит от величины
пенсии и стоимости двух аннуитетов: ограниченного немедленного (взносы)
и пожизненного отложенного (выплаты). В свою очередь, стоимости аннуитетов, как было показано ранее, определяются принятым уровнем процентной
ставки и рядом временных параметров: возрастом участника, сроком выплат
премии и
возраста выхода на пенсию. Поскольку эти параметры присутствует в
обоих аннуитетах в приведённой формулы, то суммарное влияние зависит от их
соотношений.
Влияние временных факторов проще всего проиллюстрировать на
конкретных примерах, в которых определяются размеры годовых премий в
расчёте на 1000 руб. пожизненной пенсии для мужчины (выход на пенсию
в возрасте 60 лет, уровни
процентной ставки – 6, 9 и 12%).
В первую очередь рассмотрим влияние возраста начала страхования
при условии, что взносы производится вплоть до выхода на пенсию (условия
для молодого возраста, разумеется, маловероятно). В таблице 2.2 приведены
значения , полученные по формуле:
Как видим, совместное влияние временных факторов (возраст вступления в фонд и продолжительность срока, в течение которого производятся
взносы) приводит к увеличению размеров премии при любой норме доходности. Повышение этой нормы, естественно, снижает размер премии.
Таблица 2.2
Ежегодные премии – выплаты до выхода на пенсию
60
20 40 36,581 13,389 4,881
30 30 76,262 35,411 16,545
40 20 178,17 103,146 60,776
50 10 556,027 391,594 283,231
6% 9% 12%
Определим теперь «чистое» влияние возраста начала страхования.
Будем полагать, что срок выплат одинаков для любых значений, принятых в
расчёте. Пусть он составляет 10 лет. В этом случае
49
Результаты расчёты представлены в таблице 2.3.
Ежегодные премии – выплаты в течение 10 лет
Таблица 2.3
20 70,306 21,529 6,924
30 133,333 53,924 22,735
40 262,182 140,03 77,38
50 395,809 299,49 229,27
6% 9% 12%
Как следует из таблицы 2.3, влияние изменения процентной ставки
особенно заметно в молодом возрасте. Например, в случае страхования
возрасте 20 лет премия при 12% в 10 раз меньше, чем при 6%, тогда
как при страховании в возрасте 50 лет при аналогичном изменение ставки
она сокращается примерно вдвое. Это связано с тем,
что сроки накопления
(после прекращения взносов) в молодом возрасте продолжительнее, чем в
более зрелом.
Отмеченное выше влияние процентной ставки определяет необходимость
проведения актуарного оценивания НПФ, когда по тем или иным причинам
изменяется норматив доходности.
2.9. Пенсионная рента за право наследования
Своеобразным видом страхового обеспечения пожилых людей, получившим распространение в
крупных городах России, является выплата пожизненной ренты за право наследования квартиры. Отличие этого вида обеспечения с актуарной точки зрения (не будем затрагивать другие стороны эти
сделки) – это очерёдность, или последовательность, выплат и возмещения
затрат. Страховые организации сначала финансируют различного рода затраты,
затем получают возмещение в виде наследуемого имущества.
Затраты включают пожизненные выплаты оговорённой ренты и текущие расходы на некоторые виды обслуживания застрахованного, разовую выплату определённой
суммы и «бесплатный» подарок (как указывается в некоторых рекламных
сообщениях). Помимо этого, страховая организация несёт расходы, связанные
как с оформлением договора, так и с получением наследства.
Возможен разносторонний актуальный анализ такой операции
По-видимому, наибольший интерес для страховщика представляет измерение
доходности сделки. Как известно, оно будет максимально полным при расчёте
внутренней нормы доходности. Это в принципе осуществимая, но весьма
трудоемкая процедура. Намного проще определить «чистый» актуарный
доход страховой организации в виде разности современных стоимостей
поступления и выплат.
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]