Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Приведенный выше расчет резерва ретроспективным методом дает
такой же результат, как и при применении перспективного метода (9.4).
На практике редко удается получить для реального страхового плана замкнутую
компактную формулу для страхового резерва. Поэтому обычно проводят
численные расчеты резерва на конец каждого года ретроспективным методом
(9.6), используя тот факт, что в начале первого
года величина резерва равна
нетто-взносу. Значения же резерва на начало каждого последующего года
получают, прибавляя к его значению на конец предыдущего года величину
нетто-взноса.
На практике момент расчета страхового резерва лишь в редких случаях
совпадает с моментом окончания очередного страхового года. Обычно страховые резервы рассчитываются либо на
конец отчетного периода (квартала,
года), либо на момент досрочного прекращения договора с целью определения
выкупной суммы. В первом случае интервал времени от произвольного
момента заключения договора до конца календарного года составляет, как
правило, нецелое число лет. Так, например, если договор заключен в середине
июня, то к концу календарного года договор будет
действовать 6,5 месяца, а
значит, величину страхового резерва по этому договору на конец года нужно
будет рассчитать для момента времени 6,5/1213/24. Во втором
случае, как момент заключения договора, так и момент его прекращения
произвольны, и только по чистой случайности интервал времени между
ними может составлять целое число лет.
Простейшим способом
определения страхового резерва на произвольный
момент времени в переделах -го года страхования является линейная интерполяция его значений в начале года и в конце года
. Линейный характер
изменения индивидуального страхового резерва внутри года обусловлен
конкуренцией двух составляющих, линейно изменяющихся во времени:
а) линейного прироста всего страхового фонда за счет начисления процентов;
б) линейного прироста доли каждого дожившего за счет линейного роста
количества смертей участников страхования с начала года.
Если интервал времени от начала -го
года страхования до момента
оценки резерва составляет величину (01), то величина резерва
определяется соотношением:
1 . (9.8)
Пример. Женщина в возрасте 40 лет застрахована на дожитие на
срок 5 лет. Определить величину страхового взноса на начало и конец
каждого года. Норму доходности принять равной 5% годовых.
Необходимые для расчетов значения коммутационных функций берем
из таблицы:
:
131
:
|
0,7707, 77070, если сумма страхования
100000 р.
:
|
0,8118, в конце первого года фирма должна
иметь 81180;
:
:
:
:
|
|
|
|
0,8550, 85500;
0,9006, 90060;
0,9490, 94900;
1, 100000.
Пример. Тоже самое условие при длительности уплаты взносов 5 лет.
Величина ежегодного взноса определяется по формуле:
:
:
|
0,17
Страховой резерв на конец -го года:
:
Составим вспомогательную таблицу, учтем, что
227234:
t
:
│
1 12 842 213 707 0,1797 0,3497
2 12 193 200 865 0,3689 0,5389
3 11 575 188 672 0,5682 0,7382
4 10 985 177 097 0,7735 0,9435
5 10425 166 112 1 -
:
│
Величина страхового резерва на начало первого года – 0,3497, на
начало второго – 0,5389, на начало третьего – 0,7382 и т. д.
Пример. Для данных того же примера принять длительность периода
уплаты взносов в 3 года.
Страховые резервы по дожитию для женщины возрастом 40 лет при
нетто взносе 0,2693.
132
Резерв на начало года Резерв на конец года
1 0,269343 0,28374
2 0,553088 0,58288
3 0,852223 0,89850
4 0,898505 0,94767
5 0,947675 1
0 0
9.3. Страхование рент
Немедленная рента
При страховании ренты период уплаты взносов предшествует периоду
страховых выплат, поэтому немедленные ренты оплачиваются единовременным
платежом, а отсроченные ренты могут оплачиваться также и в рассрочку.
Рассмотрим для определенности обыкновенную немедленную ренту со сроком,
равным годам, оплачиваемую разовым платежом. Для нее страховой резерв
равен
ожидаемой текущей стоимости страховых выплат, или текущей стои-
мости обязательств страховщика на данный момент времени. На конец
очередного -го года страхования (перед очередной выплатой) ожидаемая
текущая стоимость страховых выплат обыкновенной ренты:
:
:
1
:
(9.9)
Непосредственно после очередной выплаты в начале 1-го года
резерв равен:
:
1
:
(9.10)
В интервале времени между началом и окончанием 1-го года
страхования страховой резерв определяется линейной интерполяцией значений
резерва в начале и в конце года:
11
, (9.11)
где – интервал времени от начала года до момента оценки резерва.
Отсроченная рента
Если мы имеем дело с обыкновенной рентой, отсроченной на лет,
то страховой резерв в период выплат () определяется приведенными
выше формулами.
133
В период, предшествующий периоду выплат, страховой резерв просто
равен резерву при страховании на дожитие сроком на лет со страховой
суммой, равной
:│
. Окончательно получим:
;
;0
(9.12)
:
:│
:│
Пример. Мужчина в возрасте 35 лет заключает контракт на 5 лет,
который предполагает выплату ему в начале каждого года ренты размером
100000 рублей. Определить величину страхового взноса и величину страхового резерва на начало и конец каждого года. Норма доходности 5%:
:
:|
4,4768
4,4768∗100 000447 680
На конец года:
:│
4,4763
:│
3,6796
:│
2,8362
:│
1,9441
:│
1
На начало года:
на начало второго года:
:│
1
3,4763
134
:│
1
2,6796
:│
1
1,8362
:│
1
0,9441
:│
1
0
9.4. Страхование жизни
Страхование на срок
При страховании на случай смерти величина страхового резерва на
конец -го года страхования (непосредственно перед уплатой взноса за
1-ый год) определяется формулой:
:
:
:
∙
:
(9.13)
Первое слагаемое в правой части формулы есть ожидаемая текущая
стоимость будущих выплат на момент оценки резерва (конец -го года),
т.е. обязательства страховщика на этот момент времени; второе же слагаемое
равно ожидаемой текущей стоимости предстоящих нетто-взносов (обязательств страхователя).
Величина годового страхового взноса определяется формулой:
:│
:│
:│
(9.14)
или
:
:│
(9.15)
В начале 1-го года (после уплаты очередного годового взноса)
величина резерва увеличивается на сумму взноса и становиться равной
:
:│
.
Если страховые выплаты производятся непосредственно после смерти,
то резерв называют непрерывным:
135
ln1
Пример. Женщина в возрасте 40 лет застрахована на случай смерти
на срок 5 лет. Определить величину страхового взноса и страхового резерва
на начало и конец каждого года. Норму доходности принять5%.
Величина ежегодного взноса:
:│
0,00384
1 12 694 204 654 2 948 0,00071 0,00455
2 12 045 191 960 2 904 0,0012 0,0050
3 11 425 179 915 2 857 0,0011 0,0049
4 10 832 168 490 2 809 0,00083 0,00467
5 10 265 157 658 2 758 0 -
:│
:│
:│
При выплате страховой суммы непосредственно после смерти полученные результаты нужно умножить на
1,025. График зависимости
непрерывного страхового резерва от времени:
начальный момент времени резерв равен взносу, внесенному за первый
год, затем происходит линейное увеличение величины резерва вплоть до
конца первого года страхования за счет осуществления страховых выплат
по страховым случаям, происходившим в течение года. В начале второго
года резерв скачком увеличивается в результате
поступления страхового
взноса за второй год, затем опять происходит его линейное уменьшение,
затем опять скачкообразное увеличение при поступлении взноса за третий
год и так далее.
Линейный характер изменения индивидуального страхового резерва
внутри года обусловлен конкуренцией двух составляющих, линейно изменяющихся во времени: а) линейного прироста капитала за счет начисления
процентов
и б) линейного увеличения числа страховых случаев и соответ-
ственно суммы страховых выплат с течением времени.
Рекуррентные формулы
При компьютерных расчетах обычно расчеты производят с помощью
реккурентных формул, связывающих значения резерва за два соседних года.
При страховании жизни получим:
136
, (9.16)
т.е. величина страхового фонда в начале 1-го года равна нара-
щенной за год сумме его значения в конце предыдущего года и страховой
премии за1-й год минус страховые выплаты за 1-й год. Эту формулу
можно переписать в следующем виде:
, (9.17)
Данная формула называется формулой Феклера. Задавая нулевое
значение для резерва в начале страхования, с помощью этой формулы легко
последовательно вычислит резервы на конец каждого года страхования.
Премия риска и премия сбережения
Ежегодно поступающую премию удобно представить в виде суммы двух
составляющих: премии риска
случаев в течение данного года, и премии сбережений
, предназначенной для оплаты страховых
, предназначенной
дял создания резерва, из котрого будут выплачиваться страховые суммы в
конце срока страхования. Представляя формулу Феклера в виде:
1
≡
, (9.18)
и определяя премию риска и премию сбережения как
1
;
, (9.19)
можно для каждого года страхования определить какая часть неттопремии идет на страховые выплаты, а какая – на сбережения. Если такая
премия уплачивается в течение всего срока страхования, то в течение первой
половины срока премия сбережения положительна, т.е. взносы превышают
выплаты, а во второй половины срока премия сбережения отрицательна и
страховые выплаты обеспечиваются за счет накопленного резерва, поскольку
взносы меньше выплат. При укороченном периоде уплаты премии премия
сбережений, как правило, положительна в течение всего периода, формируя
резерв для обеспечения выплат в течение оставшегося срока, когда премия уже
не будет поступать.
Пожизненное страхование
При пожизненном страховании обычно указывается возраст ,
по дости-
жении которого полис должен быть полностью оплачен. Длительность периода
уплаты премии тогда составляет . Формула для страхового резерва в
этой случае имеет вид:
137
;
.
:|
0;
При пожизненном страховании премии сбережений в течение всего
периода уплаты премии положительна, формируя резерв для обеспечения
выплат в течение оставшегося срока.
9.5. Резерв премий, нагруженных на издержки
Нетто-резерв и резерв издержек
Резерв нагруженных на издержки премий включает в себя нетторезерв и резерв издержек. Издержки, связанные
с инкассацией страховых
премий, не требуют резервирования, они оплачивается сразу же по получении
премий. Остальные издержки по способу их оплаты разделяют на два типа:
издержки приобретения полиса, который оплачивается непо-
средственно после заключения контракта из первого взноса (комиссионные
страховых агентов, расходы на медицинское обследование);
прочие издержки, который оплачивается
в течение всего периода
уплаты взносов виде отчислений с каждого взноса (административные и
прочие).
Наиболее важный вопрос – учёт издержек приобретения полиса, поэтому
рассмотрим его в первую очередь. Издержки приобретения оплачивается сразу
же по заключении договора, из первого взноса. По этой причине величина
суммы, откладываемой в нетто-резерв из первого взноса для
обеспечения
будущих страховых выплат, будет меньше, чем первая нетто-премия. Таким
образом, издержки приобретения оплачиваются за счет первой неттопремии, в результате чего образуется дефицит нетто-резерва. Это дефицит
покрывается постепенно за счет производимых страхователем дальнейших
платежей в течение всего периода уплаты взносов (продолжительностью
лет).
Дефицит нетто-резерва есть
величина текущей задолженности по погашению издержек приобретения полиса. Поскольку погашение задолженности
осуществляется с помощью ренты пренумерандо, то величина текущей задол-
женности равна текущей стоимости ренты на конец -го года страхования:
:|
:|
≡
:|
:|
. (9.20)
Начиная со второго года издержки приобретения уже не будут вычитаться из поступающей взносов, поэтому с каждым новым взносом резерв
премии будет возрастать и приближаться по своей величине к нетторезерву, с которым он сравняются в конце периода уплаты взносов.
138
Цильмеровский резерв
Модифицированный резерв премий, равный разности нетто-резерва
и текущей задолженности по погашению издержек приобретения, ещё
называют цильмеровским, в честь математика Цильмера, детально исследо-
вавшего этот вопрос. Цильмеровский резерв на конец -го года страхования:
:|
0;
;
;
. (9.21)
:|
Величина цильмеровского резерва на начало -го года:
:|
0;
1;
. (9.22)
Для вычисления величины цильмеровского резерва в произвольный
момент времени в течение -го года, как правило, достаточно линейной
интерполяции между значениями:
1
. (9.23)
Величина части ежегодной премии, предназначенной для создания
цильмеровского резерва, равна ежегодной брутто-премии за вычетом её
части, предназначенной для покрытия административных расходов и расходов
на инкассацию. Согласно, получим:
П
:|
;
;П;
:|
, (9.24)
:|
где – текущая стоимость ожидаемых страховых выплат;
– ежегодно нетто-взнос;
П
– ежегодный цильмеровский взнос.
Рассмотрим в качестве иллюстрации вычисление цильмеровского резерва
для страхования на дожитие, считая, что взносы выплачиваются ежегодно в
течение всего года страхования (). Величина цильмеровского резерва
в начале первого года страхование равна разности между цильмеровским
взносом и издержками приобретения:
П. (9.25)
Единовременный способ оплаты издержек приобретения накладывает
естественные ограничения на их величину – очевидно, они не могут превышать величины первого взноса (уменьшенного на сумму издержек по инкас-
139
сации и отчислений на административные расходы): П
. Определим
величину цильмеровского взноса и цильмеровского резерва для максимальной
величины издержек приобретения. Приравнивая к нулю начальный цильмеровский резерв и подставляю в, получим:
П
:|
1
:|
:
. (9.26)
|
:|
:|
≡
Согласно, ежегодно цильмеровская премия равна ежегодной неттопремии при страховании сроком на год меньше и начинающимся на год
позже. Этот результат можно было ожидать заранее, так как первая цильмеровская премия целиком расходуется на оплату издержек приобретения,
а создание страхового фонда начинается только со второго года страхования.
Очевидно, что и
цильмеровский резерв также равен нетто-резерву страхо-
вания, начинающемуся на год позже и сроком на год меньше:
:
. (9.27)
|
При страховании на случай смерти для определения максимально
допустимой величины издержек приобретения требуется более детальный
анализ. Дело в том, что в отличие от страхования на дожитие здесь нетторезерв к концу первого года страхования убывает почти до нуля, поэтому
наиболее жёсткое ограничение на величину издержек приобретения накладывает условие н
отрицательности цильмеровского резерва к концу первого
года. Иными словами, от первого взноса следует оставить ровно столько,
чтобы хватило на выплаты в течение первого года. Максимальная величина
издержек приобретения определяется из условий равенства нулю цильмеровского резерва в конце первого года:
:|
;
:|
:|
. (9.28)
Отметим, что соотношение, как и, справедливо не только для страхования
на случай смерти, но и для любого вида страхования.
Долгосрочное прекращение договора, выкуп полиса
Если страхователь желает досрочно прекратить договор страхования,
то возникает вопрос: какую часть оплаченных ранее взносов страховщик
должен ему возвратить? Возврат средств при досрочном прекращении
договора
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]