Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
В
посто
я
л
В
ы
н
м
с
и
н
Н
а
К
й
ч
т
л
д
н
е
с
т
о
е
и
а
н
а
с
с
б
п
н
к
н
ш
и
з
н
т
д
а
о
ш
г
н
о
о
о
х
н
а
п
б
и
е
ы
е
к
п
л
о
и
а
з
н
а
к
ю
н
е
ы
и
а
–
с
х
Ф
ч
в
н
о
в
о
м
о
Р
и
е
н
с
2
м
я
д
ж
е
х
Т
л
т
д
р
и
з
е
т
а
у
о
х
и
2
а
о
–
д
у
я
ж
в
з
е
е
л
и
д
е
у
и
а
е
в
н
л
о
о
е
л
2
ю
м
в
т
о
р
р
т
в
з
н
з
ы
с
р
т
ё
д
и
с
и
ы
р
и
м
к
в
н
о
е
о
ы
а
о
о
е
н
а
н
х
п
ыезе
о
П
о
е
ю
ю
р
и
е
н
п
р
накоп
котор
актив
функц
други
Их ме
ными
орган
актив
силу т
нно изм
ений не
состав
е (или з
ых чле
иониров
они до
то на ра
членами
зациях с
ых участ
го, что с
няется в
меет ст
участни
которы
ов и пе
ния фонд
тигают
оте зан
НПФ. Ч
остоянн
иков и п
став уча
времени
ль чётки
ков НП
) выпла
сионеро
все чле
енсионн
мают но
рез нек
м число
нсионер
тников
, картина
очертан
входят
ивают в
изменя
ы являю
го возр
ые сотр
торый д
заняты
в теорет
еального
динамик
й, как н
активны
нос, и п
тся со
ся актив
ста и по
дники, к
статочн
соотнош
чески до
НПФ по
сумм в
рисунке
е члены
нсионер
ременем
ыми. По
учают п
торые с
протяж
ние меж
жно стаб
полу и в
носов, в
4.1.
– работ
. Соотн
. В сам
тепенно
аво на п
ановятся
нный п
у числен
лизиров
зрасту
плат и
ющие,
шение
начале
дин за
нсию.
актив-
риод в
остью
ься.
показ
ников
лений
лет по
пенси
увели
разви
стаби
расхо
вается
элеме
внутр
балан
разби
а рисун
телей фо
(выбыв
() в зав
ак пока
сле созда
. Разнос
ивается
ия фонд
ьному с
ы превы
доходам
ты фонд
ннюю ло
неизбеж
ь на две
е 4.2 по
да с гру
ие воспо
симости
ано на р
ия фонд
ь исполь
о моме
до точ
стояни
ают вз
и от инв
а испыт
ику разв
о наруш
группы
азаны кр
повой сх
няются
т «возра
сунке 4.
. До мо
уется дл
та , а
и мо
. В «зр
осы. Не
стиций.
вают раз
тия, поэ
ется в бу
объекти
исунок 4.
вые, хар
емой и п
овыми),
та» фон
, пенсии
ента с
создани
алее его
но наз
лом» во
ватка ср
акова т
ичные в
ому дост
ущем. Д
вные и с
ктеризу
стоянны
взносо
а.
начинаю
ммы взн
инвести
уровень
ать «соз
расте (п
дств на
ория. Од
ияние и,
гнутый
стабили
бъектив
щие дин
числом
(), пен
выплач
сов прев
уемого
табилиз
евание
осле точ
екущие
ако все
кроме т
какой-то
ирующи
ые. Под
амику ос
активны
ии () и
ваться с
ышают в
рва, к
руется.
», перех
ки ) т
ыплаты
без искл
го, име
момент в
факторы
первым
овных
участ-
накоп-
устя
платы
торый
ериод
дом к
кущие
окрычения
т свою
емени
можно
будем
71
понимать факторы, которые не зависят от качества управления НПФ: демографические процессы, состояние экономики в стране, динамику денежнокредитного и инвестиционного рынков. Ко второй группе отнесём факторы
внутреннего характера: кадровую политику работодателя, изменение правил
НПФ, стратегию и тактику управления фондом, качество управления инвестициями.
На рисунке 4.2 отображён процесс развития сбалансированного
фонда.
Допустим теперь, что с некоторого момента начинается «проедание» резерва –
суммы выплат превышают поступления. В этом случае, можно говорить о
несбалансированности фонда. Если оно сохраняется продолжительное время,
то неизбежно наступает крах (кривая ).
В связи с наличием большого числа факторов актуарный анализ груп-
повых схем заметно сложнее, чем индивидуальных. На этапе
разработки
правил НПФ и пенсионных схем он нацелен на определение уровня взносов
в фонд, достаточного для обеспечения выплат в будущем. В дальнейшем
основная задача анализа – актуарное оценивание фонда, позволяющее судить
о его возможности отвечать по всем обязательствам перед участниками.
Для решения названных задач необходимо определить ожидаемую современную стоимость вносов
и современные стоимости каждого вида пенсионных выплат. Заметим, что эти выплаты относятся к разным диапазонам
возрастной школы участников. Так, выплаты пенсий по инвалидности и
возврат взносов при выбывании из фонда производятся только участникам
до стандартного возраста выхода на пенсию. Выплата страховых сумм по
случаю смерти кормильца также может быть произведена
этим возрастом.
Методики оценивания стоимостей аннуитетов можно разделить на две
группы в зависимости от особенностей выплат пенсий и пособий. К первой
группе отнесём методики, связанные с разовыми выплатами (возврат взносов
при выходе из фонда, выплаты в случае смерти участника до пенсионного
возраста), ко второй – с периодическими выплатами пенсий (по старости,
по инвалидности). В следующих параграфах данной главы обсуждаются
методики определения стоимостей взносов и сумм возврата премий, а в
следующий главе – методики второй группы.
4.2. Взносы в НПФ
Взносы в НПФ осуществляются работодателями, в зарубежных фондах –
и участниками в фиксированных пропорциях (в России – преимущественно
работодателями). Для определения современной стоимости взносов не
имеет
значения, кто вносит эти средства, важна лишь их величина. Последняя для
каждого участника равна некоторой доле заработной платы. Задача заключается в оценивании будущей заработной платы участников, а затем в расчёте
современной стоимости потока взносов. В связи с этим неизбежно возникает
проблема определения динамики заработной платы в связи с увеличением
возраста.
72
Примем условие, согласно которому средняя заработная плата изменяется с возрастом участника согласно шкале коэффициентов заработной
платы. Несомненно, что эта шкала если не целиком, то на отдельных
участках изменяется во времени. Вместе с тем не следует преувеличивать
влияние её погрешности (отставание от реальных измерений) на конечный
результат расчётов. Дело в
том, что школа оказывает влияние на стоимость как
взносов, так и выплат. Соответственно можно ожидать некоторой взаимной
компенсации погрешностей.
Для записи необходимых формул введём следующие обозначения:
– современная стоимость будущей заработной платы участника в
возрасте лет;
– годовая сумма заработной платы участника в возрасте лет;
и ∑ – актуарная стоимость взносов для участника в возрасте лет
и их суммарная актуальная стоимость для участников различного возраста;
– коэффициент заработной платы;
– число активных участников НПФ в возрасте лет (по таблице
выбытия);
– норма взносов в НПФ (десятичная дробь).
В отношении динамики заработной платы принимаются две альтер-
нативные рабочие гипотезы: она изменяется точно в возрасте лет или
равномерно в течение года после этого возраста.
Начнём с первой гипотезы. По определению
годовая сумма заработной
платы участника в возрасте лет через лет с учётом вероятности остаться
живым (определяется по таблицы выбытия) составит:
∙
∙
. (4.1)
Сумма заработной платы здесь проецируется в будущее с учётом её
роста и вероятности выплат.
Для 1,2,… имеем:
∙
∙
,
∙
∙
,…
Участники в возрасте лет, не выбывающие из фонда, получают заработную плату до выхода на пенсию по старости в возрасте лет. Если возраст
выхода на пенсию определен неоднозначно, то означает максимальный
возрастной предел выхода на пенсию.
Современная стоимость будущей заработной платы участника в возрасте
лет
равна сумме дисконтированных ежегодных величин, определяемых по
формуле (4.1):
∑
∙
∑
∙
∙
∙
∙
. (4.2)
73
Обратимся к множителю, на который умножается сумм заработной
платы
. Умножим и разделим соответствующую дробь на
результат как
функции
,
. Для расчёта этой функции используем коммутационные
,
, после чего:
. Обозначим
∑
. (4.3)
∑
∙
∙
∑
∙
∙∙
∙
Фрагмент таблицы для расчёта
представлен в таблице 4.1.
Формула (4.3) характеризует общий метод определения современной
стоимости будущей заработной платы участников. Для практического
применения в неё вносят некоторые уточнения. Будем полагать, что заработная плата выплачивается равномерно пределах года, а её изменения
происходит в возрасте ровно лет. Однако не все участники останутся в
фонде в течение
получит число участников, среднее между
применяют
18 100 000 21 199 1,00000 21 199 180 744 8,5259
19 91 877 17 869 1,03000 18 405 159 544 8,6684
20 84 401 15 060 1,06090 15 977 141 139 8,8340
… … … … … … …
59 12 808 79 5,98258 474 1 047 2,2059
60 12 417 71 5,98258 422 572 1,3558
61 3 577 19 5,98258 112 150 1,3468
62 1 027 5 5,98258 29 39 1,3158
63 294 1 5,98258 7,7 9 1,2015
64 55 0,2 5,98258 1,3 2 0,0000
65 10 - - - - -
года. Следовательно, установленную заработную плату
– среднее значение функции
Расчет коэффициентов
и
.
по формуле (4.3)
. Соответственно
Таблица 4.1
получим ещё две коммутационные функции –
На основе функции
и
. Подставим их в выражение (4.3):
∑
∙
∙
∑
. (4.4)
Определив множители
и
для каждого возраста активных
участников НПФ и зная объемы выплат заработной платы на момент оценки,
легко рассчитать современную стоимость будущей заработной платы соот-
ветствующих возрастных групп. Для возраста лет имеем:
∙
. (4.5)
74
Соответственно искомая величина современной стоимости будущих
взносов составит:
∙
. (4.6)
Величина не всегда постоянная. В некоторых фондах предусматри-
ваются различные доли взносов для разных возрастных групп участников.
Фрагмент таблицы для определения
согласно перечисленным
выше условиям представлен в таблице 4.2.
При выводе формул (4.3) и (4.4) предполагалось, что уровень зара-
ботной платы пересматривается в начале года (возрасте лет). Более правдо-
подобно его непрерывное изменение (вторая гипотеза). В этом случае логично
использовать средний коэффициент заработной платы:
. (4.7)
Тогда вместо соотношения (4.4) получим:
. (4.8)
Таблица 4.2
Расчет коэффициента
18 100 000 21 199 19 534 1,00000 21 199 19 534 167 386 7,8959
по формуле (4.8)
19 91 877 17 869 16 464 1,03000 18 405 16 958 147 852 8,0332
… … … … … … … … …
20 84 401 15 060 13 875 1,06090 15 977 14 720 130 894 8,1926
59 12 808 79 75 5,98258 473 448 810 1,7138
60 12 417 71 45 5,98258 425 267 362 0,8522
61 3 577 19 12 5,98258 114 70 95 0,8358
62 1 027 5 3 5,98258 30 19 25 0,8358
63 294 1 1 5,98258 6 5 6 1,0029
64 55 0 0 5,98258 0 0 0 0,0000
65 10 0 0 5,98258 0 0 0 0,0000
Это выражение в основном и применяется на практике. Поскольку
, то формула (4.8) в целом дает значения коэффициентов (таблица 4.3),
немного превышающие результаты, получаемые по (4.4).
75
Таблица 4.3
по формуле (4.9)
Расчет коэффициента
18 100 000 21 199 19 534 1,00000 19 534 1,0000 19 534 167 381 8,5687
19 91 877 17 869 16 465 1,03000 16 958 1,0150 16 711 147 847 8,8473
20 84 401 15 060 13 876 1,06090 14 721 1,0455 14 506 130 889 9,0233
… … … … … … … … … …
59 12 808 79 75 5,98258 449 5,8401 438 811 1,8507
60 12 417 71 45 5,98258 269 5,9826 269 362 1,3444
61 3 577 19 12 5,98258 72 5,9826 72 93 1,2917
62 1 027 5 3 5,98258 18 5,9826 18 21 1,1667
63 294 1 1 5,98258 3 5,9826 6 3 0,5000
64 55 0 0 5,98258 0 5,9826 0 0 0,0000
65 10 0 0 5,98258 0 5,9826 0 0 0,0000
Альтернативной (4.8) является формула:
. (4.9)
Фрагмент таблицы для расчёта
в соответствии с формулой (4.9)
приведён в таблице 4.4.
Таблица 4.4
Расчет коэффициента
по формуле (4.10)
18 100 000 21 199 19 534 1,0000 19 534 164 820 8,4376
19 91 877 17 869 16 465 1,0150 16 711 145 286 8,6940
20 84 401 15 060 13 876 1,0455 14 506 128 575 8,8638
… … … … … … … …
59 12 808 79 75 5,8401 438 803 1,8332
60 12 417 71 45 5,9826 269 365 1,3556
61 3 577 19 12 5,9826 72 96 1,3333
62 1 027 5 3 5,9826 18 24 1,3333
63 294 1 1 5,9826 6 6 1,0000
64 55 0 0 5,9826 0 0 65 10 0 0 5,9826 0 0 -
Как указывают некоторые источники, эта формула, полученная так
называемым непрерывным методом, хотя и более логичная, чем (4.8), редко
применяется на практике.
Пример. Годовая заработная плата сотрудников в возрасте 18, 19 и 20
лет составила в году, предшествовавшем актуарной оценке, соответственно
40, 60 и 160 тыс. руб. Взнос в фонд не зависит от возраста и равен 10% суммы
заработной
платы. Современная стоимость взносов (в тыс. руб.) для этой группы
участников согласно четырём представленным выше формулам составит:
76
по формуле () –
∑
∙
∑
∙
0,1∙40∙8,525960∙
8,66846160∙8,83399227,5;
по формуле () –
∑
∙
∑
∙
0,1∙40∙7,895960∙
8,0332160∙8,1926210,9;
по формуле () –
∑
∙
∑
∙
0,1∙40∙8,568760∙
8,8473160∙9,0233231,7;
по формуле () –
∑
∙
∑
∙
0,1∙40∙8,437560∙
8,6940160∙8,8638227,7.
Как видим, в последнем варианте получен практически такой же результат, как и в первом.
При определении современной стоимости взносов возможен учёт и
других условий, определяемых правилами фонда, которые выше не принимались во внимание. Актуарий должен разработать формулы для их учёта.
Рассмотрим, в связи с этим
три простых примера. Сначала допустим, что
взносы не поступают от участников старше, скажем, 55 лет. В этом случае:
. (4.10)
Другой вариант – при определении взносов не учитываются изменения
заработной платы после достижения некоторого возраста. Предположим, что
он составляет 50 лет. Соответственно для всех участников старше этого
возраста взносы начисляются по заработной плате 50-летних. В этом случае
искомый коэффициент можно разложить на две составляющие. Первая характеризует современную стоимость заработной платы участников
, которая будет
выплачена до достижения 50-летнего возраста, вторая – от 50 лет до выхода на
пенсию:
∙
.
Допустим теперь, что участник начиная с 50-летнего возраста упла-
чивает взносы из фиксированной суммы, равной рублей. Тогда
∙
.
В рассмотренных выше методиках предполагается, что известны повоз-
растные коэффициенты
. Однако сомнительно, что в современных россий-
ских условиях можно более или менее надёжно определить их. Этот вопрос
требует специального изучения. Вместе с тем несомненно, что заработная плата
77
с течением времени увеличивается под влиянием ряда факторов. Один из них –
инфляционные процессы, которые компенсируются (полностью или частично)
повышением заработной платы. В этом случае можно принять одинаковый
коэффициент роста заработной платы
для любого возраста
(кроме начального) и применить его в приведённых выше формулах.
4.3. Современная стоимость возврата взносов
при выбытии участника из фонда
Возврат взносов
Групповые пенсионные схемы иногда предусматривают возможность
возврата пенсионных взносов участнику при его выходе из фонда, если он
не приобрёл право на пенсию (например, при небольшом стаже) или по его
желанию даже при наличии права на неё. Здесь возможны разные варианты:
возвращаются взносы полностью или с некоторым удержанием и так далее.
Впрочем, для методики расчёта современной стоимости ожидаемого возврата
взносов не имеет значения, как определяется конкретная сумма возврата
(полностью или частично, только собственные или все
взносы и так далее).
Вне зависимости от того, используется в настоящее время правило
возврата взносов в российских НПФ или нет, целесообразно познакомиться
с применяемыми методиками оценки актуарной стоимости сумм возврата
(современной стоимости соответствующих выплат).
Предположим, что сумма возврата участнику, возраст которого в
момент оценивания составляет лет, равна
рублей. Выбыть из фонда
он может в любое время до стандартного возраста выхода на пенсию лет.
Если он покинет фонд после достижения возраста лет, то взносы в связи
с ростом заработной платы увеличатся на некоторую величину. Таким образом,
ожидаемая сумма возврата состоит из двух слагаемых: суммы
и будущих
взносов – в возрасте старше лет и до момента выхода из фонда. В зарубежных
фондах взносы участника возвращаются с начисленными на накопления
процентами или без них.
Таким образом, задача распадается на две части – определение современной стоимости возврата уже имеющихся накоплений и будущих взносов.
Начнём с определения первой
величины при условии, что проценты
не начисляются. Для этого сначала найдём для участника в возрасте лет
ежегодные вероятности выбытия до возраста лет. По таблице выбытия с
четырьмя факторами получим следующие вероятности выхода из фонда:
,
,…,
.
Напомним, что
1 года,
– число участников в возрасте лет.
– число выбывших из фонда в возрасте от лет до
78
Первое соотношение этого ряда характеризует вероятность выбытия
в первом году после возраста лет, второе – во втором и так далее. Поскольку
предполагается, что выбытие в пределах года происходит равномерно, то
возврат взносов допустимо отнести к середине года. Современная стоимость
выплаты 1 рубля лицу в возрасте от лет и выше с
учётом вероятности ухода
из фонда в каждом возрасте составит:
∙
∙
⋯
∙
⋯,0,…,65.
Дисконтирование произведём по принятой ставке (норме доходности).
Умножим и разделим каждый член ряда на
. Сумма таких величин до
пенсионного возраста и составит коэффициент для определения современной
стоимости возврата прошлых взносов:
∙
∑
∑
∙
∙
. (4.11)
Для приведения этой формулы к удобному для расчётов виду воспользуемся коммутационными функциями. Напомним, что
∙
/
, (4.12)
∑
. (4.13)
Искомый коэффициент, с помощью которого определяется современная
стоимость возврата прошлых взносов, теперь можно представить в виде:
. (4.14)
Он рассчитывается для каждого возраста до -летнего возраста.
Современная стоимость возврата для возрастной группы находится как:
∑∙
∑
.
Фрагмент таблицы расчёта коэффициента
представлен в таблице
4.5.
Пример. Накопленные взносы у группы 20-летних участников составляют 130 000 руб. Современная стоимость полного возврата взносов с учётом
вероятности их выплат равна:
∙
130∙0,4411457,348тыс.руб.
79
Перейдём ко второй части задачи – оценке современной стоимости
возврата будущих взносов без начисления процентов. Пусть группа участ-
ников в возрасте лет получила за год заработную плату в сумме
Взнос в пенсионный фонд этой группы составит ∙
оставшиеся в фонде члены этой группы внесут в фонд ∙
. В следующем году
рублей и так
далее. Современная стоимость возврата 1 рубля взноса с учётом вероятностей
выхода из фонда (выплаты отнесём к середине года) определяется за весь срок
пребывания в нём как
∙
Таблица 4.5
Расчет коэффициента
18 100 000 7 995 1 623 9 635 21 199 0,45449
по формуле (4.14)
.
19 91 877 7 345 1 368 8 012 17 869 0,44835
20 84 401 6 747 1 153 6 643 15 060 0,44114
… … … … … … …
55 14 143 70 1 2 124 0,01926
56 13 840 69 1 2 111 0,01617
57 13 518 67 1 1 99 0,01274
58 13 176 65 0 1 89 0,00895
59 12 808 63 0 0 79 0,00473
Однако приведённая формула не учитывает роста заработной платы
в возрасте свыше лет. В следующем году у участника, возраст которого
составит 1 год, она увеличится согласно шкале заработной платы.
Искомая сумма теперь имеет вид:
∑
∙
. (4.15)
Полученное выражение крайне удобно для расчётов. Умножим числитель
и знаменатель этого коэффициента на
онные функции
функций:
Для
,
справедливо соотношение:
и
,
(см. формулы (4.12) и (4.13)), а также пять новых
,
,
и применим знакомые коммутаци-
. Покажем, как они определяются.
∙
. (4.16)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]