Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Для возраста лет получим:
11
24
,
11
24
Если платежи осуществляются раз в год, то значения формул стра-
ховых рент примут следующий вид:
Для платежей пренумерандо:
Обыкновенная пожизненная рента:
, (1.46)
11
24
Обыкновенная срочная рента:
:|
, (1.47)
.
:|
1.4. Страхование жизни
Наряду со страхованием на дожитие весьма популярным является
страхование жизни, когда страхование выплата осуществляется в случае
смерти застрахованного. Страхование жизни имеет две основные формы:
а) пожизненное страхование; б) страхование на срок, когда страховая сумма
выплачивается только в том случае, если застрахованный умрет, не дожив до
срока
окончания договора.
Пожизненное страхование
Пусть
лиц возраста заключили договор на пожизненное страхо-
вание. Спустя год после заключения договора в живых остаются только
лиц, а
умрут в течение года. Будем считать для простоты,
что страховые выплаты осуществляются в конце года смерти застрахованного.
Тогда текущая стоимость выплат первого года страхования будет равна
второго года –
, третьего года –
и т.д. (как и выше, расчеты
производятся для единичной страховой суммы).
,
21
Очевидно, текущая стоимость страховых выплат по всем договорам
составляет:
∑
(1.48)
В расчете на один договор страхования получим:
∑
/
(1.49)
Формула (1.49) определяет ожидаемую текущую стоимость пожиз-
ненного страхования с выплатой в конце года смерти.
Перепишем формулу (1.49) в несколько ином виде, учитывая, что
∙
∙
,
тогда
∑
(1.50)
Из формулы (1.50) видно, что вклад за 1-й год страхования в
стоимость полиса по страхованию жизни равен текущей стоимости выплат,
умноженный на вероятность умереть в течение 1-го года, которая в свою
очередь равна вероятности дожить до начала этого года, умноженной на вероятность смерти в течение года.
Страхование
жизни на срок
При страховании жизни на срок ( лет) ожидаемая текущая стоимость
выплат будет, очевидно:
:
∑
/
(1.51)
Коммутационные функции
Для упрощения расчетов по страхованию жизни (на случай смерти)
вводится вторая пара коммутационных функций:
(1.52)
∑
(1.53)
22
Тогда формулы (1.49) и (1.51) можно переписать в виде:
/
(1.54)
:
(1.55)
Пример. Страхователь в возрасте 45 лет приобрел контракт на 10 лет,
по которому в случае его смерти, наследники должны получить 10000 руб.
Какова стоимость этого контракта, если годовая процентная ставка равна 5%.
Из таблиц коммутационных функций получим значения:
3381, 2247, 9145
:
33812247
9145
0,12401
Стоимость контракта равна 100000,124011240,122 руб.
Страхование с выплатой в момент смерти
Выше мы для простоты предполагали, что страховые выплаты осуществляются в конец года смерти застрахованного. На практике, как правило,
договор страхования предусматривает выплату страховой суммы сразу после
установления факта смерти. Поэтому при вычислении текущей стоимости
страховой выплаты
а не от конца года, что реализуется заменой
следует осуществлять дисконтирование от момента смерти,
→
, где – интервал
времени от начала 1-го года страхования до момента смерти (в долях года).
Более сложная задача – вычисление ожидаемого количества смертей
в течение года. Дело в том, что таблицы смертности дают информацию
только об общем количестве смертей лиц данного возраста за год, не детализируя их распределение по
месяцам или неделям года. Поэтому для вычисления количества смертей в определенном временном интервале внутри года
необходимо принять какую либо-гипотезу о характере этого распределения.
Наиболее простым и естественным является предположение о равномерном
распределении смертей внутри года. Если разбить 1-й года страхования на
m равных интервалов времени длительностью 1/, то
любой интервал времени составит
/. Будем считать, что все выплаты по
количество смертей за
страховым случая, происшедшим в соответствующем временном интервале,
осуществляются в конце этого интервала, т.е. совокупность страховых выплат
представляет собой m-срочную ренту постнумерандо. Тогда ожидаемая
текущая стоимость страховых выплат за этот год составит:
23
∑
/
/
. (1.56)
При выводе этого соотношения мы использовали формулу для суммы
геометрической прогрессии. Переходя ко все более и более кратким интер-
валам времени (→∞), получим:
1 →
.
→
/
≡exp
→
→
1
;
В результате текущая стоимость страховых выплат за год равна:
.
Ожидаемая текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в
момент смерти, для пожизненного страхования (
) равна:
∑
/
. (1.57)
В актуарной математике обозначения с чертой сверху относится к
непрерывным выплатам. В данном случае страховые выплаты происходят
достаточно часто, т.е. практически непрерывно в течение каждого года
страхования.
Данная формула отличается от соответствующей формулы для страхования с выплатой в конце года смерти наличием дополнительно множителя.
Величина этого множителя при
небольших значения годовой процентной
ставки определяется приближенной формулой:
1
. (1.58)
Аналогичным образом для стоимости срочного контракта по страхо-
ванию жизни сроком на лет получим:
∑
/
:
. (1.59)
:
На рисунке 1.1 представлена зависимость ожидаемой текущей стоимости
от времени для страхования жизни сроком на 3 года со страховыми выплатами
непосредственно после установления факта смерти застрахованного. В момент
времени 0 страховщик получает взнос в размере
в расчете на одного
:
|
24
застра
х
щ
р
м
с
о
о
н
н
и
т
ы
ш
е
с
–
л
т
с
р
т
е
р
п
а
н
т
б
р
н
н
е
и
е
о
с
с
д
в
л
м
д
о
к
р
д
о
прира
непре
приче
срока
ованног
ение эт
ывное е
послед
трахова
Р
, затем в
й сумм
е умень
ий проц
ия полно
сунок 1.1
с вып
ечение в
(в силу
ение в
сс являе
тью исч
Схема ст
атами не
сего срок
начисле
езульта
ся прео
рпывают
ахования
осредстве
срахова
ия проц
е страхо
ладающ
ся получ
жизни ср
но после
ия прои
нто), с о
ых вып
м. К мо
нные сре
ком на 3 г
мерти
ходит не
ной сто
ат – с
енту ок
ства.
да
оторое
оны, и
ругой,
нчания
25
ГЛАВА 2. СТРАХОВЫЕ ПРЕМИИ
2.1. Основные определения
На предыдущих занятиях нами была определена единовременная
текущая стоимость страховых контрактов как ожидаемая текущая стоимость
страховых выплат на момент заключения договора. Однако долгосрочные
контракты по страхованию жизни оплачиваются единовременным взносом
только в редких случаях – слишком велика их стоимость. Как правило,
страховая премия уплачивается
в рассрочку – ежегодно, ежеквартально,
ежемесячно. Если при единовременной оплате страхователь полностью
выполняет свои обязательства в момент заключения договора, то при периодической уплате взносов они выполняются в рассрочку. Очевидно, что от способа
уплаты страховой премии страхователем стоимость обязательств страховщика
никак не зависит.
При расчете величины периодически уплачиваемых взносов необходимо
учитывать как
процентный доход от их инвестирования, так и демографические
факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на
величину взносов, поскольку далеко не все страхователи успевают до
наступления смерти уплатить все предусмотренные страховым контрактом
взносы. Если величина периодически уплачиваемых взносов постоянна, то
совокупность этих взносов представляет собой постоянную ренту платежей,
детально изученную
в предыдущей главе. В связи с тем, что договор страхования вступает в силу только после получения первого взноса, рента страховых
платежей всегда является приведенной (рента постнумерандо).
Основа для расчетов величины страховых взносов – условие равенства
обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора:
ожидаемая текущая стоимость предстоящих страховых выплат должна быть
равна ожидаемой текущей стоимости предстоящих страховых взносов. Если
договор страхования сроком на лет заключен в возрасте , ожидаемая
текущая стоимость страховых выплат равна , а неизвестная величина
ежегодных страховых взносов обозначена через , тогда:
, (2.1)
:│
где
– ожидаемая текущая стоимость ренты с годичными платежами
:│
единичной величины.
Отсюда ежегодный взнос:
. (2.2)
:│
26
Данная формула показывает, во сколько раз величина ежегодного
взноса меньше величины единовременно уплачиваемого взноса, поэтому
величину
часто еще называют коэффициентом рассрочки. Если
:│
уменьшение численности страхователей и процентный доход от взносов
равны нулю (
, 0), то коэффициент рассрочки будет в точности
равен продолжительности срока платежей .
Часто период уплаты страховой премии составляет лишь часть срока
действия договора страхования. В течение периода уплаты страховой премии
страхователь обязан полностью внести подлежащие уплате взносы, т.е.
полностью выполнить свои обязательства. Срок уплаты премий обозначается
буквой . Первая
премия вносится в начале первого года страхования,
последняя – в начале года . Величина ежегодного взноса определяется
тогда формулой:
. (2.3)
:│
Период от даты уплаты последнего взноса до первой (или единственной) страховой выплаты называют выжидательным. При страховании
капитала на дожитие выжидательный период продолжается до окончания
срока договора страхования. При страховании ренты выжидательный период
заканчивается с началом периода выплат ренты.
2.2. Нетто-премии для элементарных видов страхования
Страхование на чистое дожитие
Самая простая ситуация, когда выжидательный период отсутствует и
уплата страховой премии происходит в течение всего срока действия договора
страхования. Пусть возраст застрахованного лет, срок страхования лет равен
периоду уплаты премии. В соответствии с формулой (2.1) величина страхового
взноса с единичной страховой суммы равна единовременной стоимости страхования (1.26), деленной на
соответствующий коэффициент рассрочки:
:
:
│
│
. (2.4)
:│
Пример. Определить величину годовых взносов при страховании на
дожитие сроком на 5 лет на сумму 10000 рублей человека в возрасте 40 лет
исходя из годовой нормы доходности 5%.
Единовременная стоимость такого контракта для мужчин (женщин):
:
│
914510425
1233013527
27
0,7420,771.
Из таблиц коммутационных функций получим значения
для
женщин (мужчин):
1233013527,914510425.
Используя формулу, выражающую коэффициент рассрочки через
первую пару коммутационных функций, а также значения этих функций,
получим:
176001227234,121052166112.
:│
4,45674,5185.
Величина годового взноса с единичной страховой суммы:
:
:
│
:│
│
0,16640,1706.
Годовой взнос со страховой суммы в 10000 рублей равен
16641706 рублей.
Период уплаты взносов может совпадать со сроком действия договора,
либо быть меньше его. В последнем случае на полисе указывается возраст
застрахованного, по достижении которого полис должен быть полностью
оплачен.
Если продолжительность периода уплаты страховой премии равна m лет,
то величина ежегодного взноса в соответствии с (2.3) определяется формулой:
:
:
│
│
. (2.5)
:│
Страхование рент
Страхование рент является разновидностью страхования на дожитие,
когда вместо единовременной выплаты по дожитию до срока окончания
договора предусмотрен ряд регулярных страховых выплат в течение некоторого
периода времени или пожизненно (при условии дожития до сроков выплат).
Поэтому в дополнение к периоду уплаты страховой премии и выжидательному
периоду, предусмотренным
при страховании на дожитие, здесь выделяют также
период страховых выплат, в течение которого страховщик выполняет свои
финансовые обязательства по отношению к страхователю.
28
Рассмотрим случай, когда выжидательный период отсутствует. Будем
считать, что период выплат пожизненной ренты (пенсии) начинается по
достижении человеком определенного возраста , а договор страхования
заключен в возрасте x и предусмотрен период уплаты взносов в течение
лет. Тогда ожидаемая текущая стоимость этой отсроченной на
лет ренты на момент заключения
│
где ,
– соответствующие коммутационные функции.
договора страхования:
, (2.6)
Коэффициент рассрочки, соответствующий заданному периоду
уплаты страховой премии, согласно формуле:
:│
,(2.7)
Разделив (2.6) на (2.7), получим:
│
│
:│
. (2.8)
Пример. Страхователь в возрасте 40 лет заключил договор страхования
пенсии, согласно которому, начиная с 65 лет пожизненно будет выплачиваться пенсия в размере 10000 рублей в начале каждого года. Определить
размер годовых взносов, которые будут уплачиваться страхователем, начиная
с 40 и до 65 лет.
Согласно таблице коммутационных функций получаем значения
для мужчин (женщин):
176001227234,1764336122.
Годовой взнос с единичной страховой суммы (годовой суммы выплат):
:
0,11140,1890.
│
Очевидно, годовые взносы со страховой суммы 10000 рублей равны
для женщин 1890 рублей, для мужчин – 1114 рублей.
Страхование жизни (на случай смерти)
В отличие от страхования на дожитие в страховании на случай смерти
отсутствует выжидательный период, т.е. период, когда страховая премия уже
полностью внесена, а обязанность страховщика осуществлять страховые
29
выплаты еще не наступила. Это связано с тем, что страховым случаем,
обязывающим произвести выплату, является смерть застрахованного, которая
может наступить в любой момент после заключения договора.
Наиболее простой случай пожизненного страхования, когда взносы
уплачиваются страхователем, пока он жив (т.е. период уплаты взносов
совпадает со сроком страхования), а страховая выплата
производится
непосредственно после смерти. Величина страхового взноса с единичной
страховой суммы равна единовременной стоимости полиса, деленной на
соответствующий коэффициент рассрочки:
. (2.9)
Пример. Страхователь в возрасте 45 лет заключил пожизненный договор
страхования с условием ежегодной уплаты страховых взносов, пока он жив.
Страховая сумма составляет 10000 рублей, годовая норма доходности – 5%.
Определить величину годовых взносов.
Из таблицы коммутационных функции находим значения
для
женщин (мужчин):
33812514,121052166112.
Тогда
1,025
0,02860,0155.
Годовой взнос со страховой суммы 10000 рублей равен 155 рублей –
для женщин, 286 рублей – для мужчин.
Если период уплаты взносов при пожизненном страховании на случай
смерти ограничен (до возраста ), то коэффициент рассрочки:
:│
, (2.10)
а величина годового взноса с единичной страховой суммы определяется
формулой:
:│
. (2.11)
Для страхования жизни на срок лет:
:│
:│
:│
.(2.12)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]