Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Пример. Найти округленную среднюю продолжительность оставшейся
жизни для мужчины в возрасте 80 лет.
1374312098⋯15,37года.
Вероятности, связанные с жизнью одного или нескольких лиц
Вероятность для лица в возрасте лет умереть в возрастном интервале
от до лет определяется следующим образом:
│
. (1.8)
Таким образом:
│
. (1.9)
Вероятность прожить еще лет и умереть на протяжении 1-го
года для лица в возрасте лет составит:
│
Эту характеристику можно определить и как разность вероятностей
дожития:
│
(1.11)
В некоторых актуарных расчетах необходимы вероятности дожития
и смерти для нескольких лиц, например супружеских пар.
Предположим, что возраст супруга лет, а супруги лет.
Вероятности прожить еще лет составляют:
,
, (1.12)
где
и
– число доживших до соответствующего возраста согласно
данным из таблицы смертности для мужчин и женщин.
Вероятности умереть для каждого из супругов составляют:
. (1.10)
1 , 1
11
. (1.13)
Для актуарных расчетов, относящихся к совместной жизни двух лиц,
необходимо определить некоторые дополнительные вероятности. Предварительно следует принять две рабочие гипотезы:
1. Оба супруга достигают возраста и лет в один день;
2. смерть одного супруга – страховое событие, независимое от
смерти другого супруга.
Первая дополнительная вероятность – вероятность проживания супругов
вместе еще лет (вероятность сохранения супружеской пары) – рассчитывается
как вероятность двух независимых событий:
. (1.14)
В актуарной практике фигурирующие в формуле произведения числа
доживших принято обозначать следующим образом:
и
.
Теперь вероятность сохранения супружеской пары можно записать как:
(1.15)
Еще один показатель – вероятность того, что оба супруга умрут в
течение лет:
. (1.16)
Вероятность того, что хотя бы один из супругов умрет в течение
лет составит:
1
. (1.17)
Она может быть определена и непосредственно как сумма трех показателей: вероятности для супруга прожить лет, а для супруги – умереть в
этом периоде, вероятности противоположной ситуации и, наконец, вероятности
смерти обоих супругов:
. (1.18)
Вероятность того, что хотя бы один супруг умрет в 1 -м году,
равна:
12
|
. (1.19)
Теперь найдем вероятность того, что супруг (заключивший договор
страхования в возрасте лет, когда его супруге было лет) не доживет до
лет, а супруга, напротив, доживет до лет (в этом случае может
идти речь о пенсии вдове):
│
. (1.20)
Приведенные выше вероятности можно рассчитать для любой пары
лиц, а не только для супругов.
Обобщим полученные выше результаты для группы, состоящей из
лиц в возрасте от
до
лет:
…
…
Вероятность сохранения группы в течение лет равна:
…
…
Вероятность противоположного события (один или несколько членов
группы умрут в течение лет) представляется в виде:
…
1
…
. (1.23)
Вероятность, что группа не сохраниться в 1-м году, составит:
│
…
…
…
1.2. Страхование на чистое дожитие
. (1.21)
. (1.22)
. (1.24)
Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах: страхование сумм (капитала) и страхование рент (аннуитетов). В первом случае
при наступлении страхового события (смерти или дожития) выплачивается
единовременно определенная сумма денег, во втором – страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного периода времени или
пожизненно. В классическом страховании жизни имеют место только
страховых события: дожитие до определенного срока и смерть в период
действия договора.
13
два
Ожидаемая текущая стоимость выплат
Наиболее простым вариантом является страхование на чистое дожи-
тие, которое заключается в страховании определенной суммы денег на опре-
деленный срок. В случае смерти страхователя в период действия договора
страховая сумма не выплачивается и взносы не возвращаются.
Определим текущую стоимость страховых выплат на момент заключения договора страхования. Пусть группа страхователей численностью
в возрасте заключила со страховщиком договор страхования на дожитие
сроком на лет. Дожившие до окончания срока страхования должны получить
страховую сумму . Очевидно, суммарная выплата, которую должен осуще-
ствить страховщик по окончании срока договора, равняется числу доживших до
возраста x+n, умноженному на страховую сумму:
этой суммы на момент заключения договора:
∙. Текущая стоимость
∙, где
, –
дисконтный множитель, –годовая процентная ставка, или годовая норма
доходности. В расчете на каждого страхователя, заключившего договор,
это составляет величину:
∙
(1.25)
Очевидно, такова величина единовременного взноса, который должен
заплатить каждый страхователь при заключении договора. Величину в
правой части формулы (1.25) называют актуарной текущей стоимостью
страховой суммы или ожидаемой текущей стоимостью.
Пример. Определить стоимость контракта на дожитие сроком на 5 лет
на сумму 10000 руб. для мужчины в возрасте 40 лет исходя из
годовой
нормы доходности 10%.
Годовой дисконтный множитель
82165. Вычисляя по формуле текущую стоимость контракта, получим
,∙∙
5877,65руб.
,
0,9091; 86800,
Прибыль от смертности
Перераспределение взносов умерших в пользу доживших дает дополнительную прибыль от смертности. Определим годовую норму доходности с
учетом прибыли от смертности. Если в начале года величина страхового
фонда составляет
ального страхового фонда (в расчете на одного застрахованного) –
, численность застрахованных –
, величина индивиду-
то в конце года величина страхового фонда увеличится за счет процентного
роста до значения
величину
, а величина индивидуального страхового фонда станет равной
1, численность застрахованных уменьшится на
. Годовая норма доходности для возраста x будет равна:
,
14
. (1.26)
Эту норму доходности естественно назвать актуарной годовой нормой
доходности, хотя этот термин и не является общепринятым.
Для актуарной нормы доходности можно ввести также актуарный
годовой множитель наращения и актуарный годовой дисконтный множитель:
1
;
. (1.27)
Годовая процентная ставка, используемая в расчетах по страхованию
жизни, носит название технической процентной ставки или технического
процента. Технический процент выбирается страховщиком в таком размере,
чтобы при самых неблагоприятных обстоятельствах обеспечить выбранную
доходность инвестиций. Обычно величина технического процента ниже той
фактической нормы доходности, которую поучает страховщик.
Поскольку динамика приращения капитала и
демографические процессы
никак не зависят от величины страховой суммы, в актуарной математике
принято производить все расчеты для страховой суммы, равной единице.
Величину страхового взноса с единицы страховой суммы называют тарифной
ставкой или тарифом.
При страховании на чистое дожитие ожидаемая текущая стоимость
страховых выплат в расчете на одного страхователя со страховой
суммы,
равной единице, обозначается следующим символом:
:
∙
. (1.28)
Данная формула (1.28) определяет ожидаемую текущую стоимость
единичной суммы, т.е. является актуарным дисконтным множителем за
лет.
Свойство данной величины: актуарное дисконтирование на срок
от возраста до возраста эквивалентно последовательному
актуарному дисконтированию сначала на лет, от возраста до
возраста , а затем еще на
лет, от возраста до возраста .
Пример. Определить ожидаемую (актуарную) текущую стоимость
единичной суммы при страховании на дожитие сроком на 5 лет для мужчины
в возрасте 40 лет исходя из годовой нормы доходности 10%.
Годовой дисконтный множитель
82165. Вычисления по последней формуле дают
,∙
1,5245.
,
0,9091; 86800,
:
15
Коммутационные функции
Для упрощения актуарных расчетов часто используют так называемые
коммутационные функции, для которых составлены специальные таблицы.
Первая из этих функций, используемая в страховании на дожитие, определяется формулой:
(1.29)
Смысл этой функции достаточно прост. Если при рождении группы
детей численностью
их страхуют на дожитие с условием выплаты единичной
страховой суммы по достижении возраста x, то последняя формула дает ожидаемую текущую стоимость суммы страховых выплат, т.е. суммарную страховую
премию. С помощью коммутационной функции можно переписать (1.27)
формулу:
:
(1.30)
Пример. Определить величину взноса при страховании на дожитие
ребенка (мальчика) до 18 лет ему предполагается выплатить 10000 руб.
годовая процентная ставка – 5%.
100 000, 40 750,
:
0,407501.
10000∙
10000∙0,4075014075,01 руб.
1.3. Страхование рент
Страховая рента (аннуитет) – это регулярная выплаты через равные
промежутки времени. Страховая рента отличается от обычной финансовой
ренты тем, что выплачивается только при условии, что ее получатель жив,
иными словами, является условной рентой.
Обыкновенная пожизненная рента
Обыкновенная пожизненная рента является наиболее распространенным видом страховой
ренты. Она выплачивается в конце каждого года
дожития в течении всей жизни застрахованного. Так как платежи осуществляются в конце каждого временного периода, то обыкновенную ренту называют еще рентой постнумерандо. Определим ожидаемую текущую стоимость ренты на начало контракта, а также на начало каждого года в течение
срока действия
контракта.
16
Пусть
лиц в возрасте заключают договор страхования, предусматри-
вающий регулярные выплаты размером в единицу в конце каждого года пожиз-
ненно. Тогда в конце первого года страховщик выплатит сумму
второго года
и т.д. до тех пор, пока будет жив хотя бы один страхователь.
, в конце
Последняя выплата будет осуществлена лицам в возрасте w; суммарная выплата
составит
договора составит соответственно
дельный возраст таблиц смертности (
. Текущая стоимость страховых выплат на момент заключения
,
0).
,…,
, где – пре-
Суммарная текущая стоимость всех выплат ренты:
⋯
∑
(1.31)
В расчете на одного страхователя, заключившего договор в возрасте
, это составляет:
∑
(1.32)
∑
Формула (1.32) определяет ожидаемую текущую стоимость пожиз-
ненной ренты с выплатами в конце каждого года, равными единице, для
страхователя в возрасте .
Пример. Определить стоимость контракта с выплатой равной 1000$
в конце каждого года для мужчины в возрасте 90 лет, при годовой процентной
ставке 10%.
1
0,9091,
10,1
0,9091∙20960,9091
∙1608⋯0,9091∙1
2,0657
2732
Приведенная пожизненная рента
Наряду с обыкновенной рентой часто используется приведенная рента
(авансированная рента, рента пренумерандо), когда платежи осуществляются в
начале каждого временного периода. Ожидаемая текущая стоимость ренты
пренумерандо вычисляется так же, как и для ренты постнумернадо:
∑
(1.33)
:
∑
∑
Приведенные ренты широко используются при расчете страховых
взносов, уплачиваемых в рассрочку. Сравнивая формулы (1.32) и (1.33),
легко видеть, что выполняется соотношение:
1 (1.34)
17
Коммутационные функции
Для упрощения актуарных расчетов по страхованию ренты используют
также соответствующую коммутационную функцию:
∑
≡
∑
(1.35)
Смысл этой функции следующий. Если при рождении группы детей
численностью
заключается договор страхования с условием пожизненной
выплаты ренты размером в единицу в начале каждого года начиная с возраста ,
то формула (1.35) дает текущую стоимость страховых выплат или суммарную
величину единовременного страхового взноса. С помощью коммутационной
функции можно переписать формулы (1.33) и (1.32) в более компактном виде:
(1.36)
(1.37)
Пример. Определить стоимость пожизненной ренты с выплатой
10000 руб. в конце каждого года для мужчины в возрасте 60 лет. Годовая
процентная ставка – 5%.
27 938,3 180. Тогда
8,7866руб.
Стоимость ренты составляет 80 850 руб.
Срочные ренты
Если выплата ренты ограничена определенным сроком, например n
лет, то рента называется срочной. Стоимость обыкновенной срочной ренты:
:
∑
:
∙
(1.38)
Стоимость приведенной срочной ренты определяется формулой:
:
∑
:
∙
(1.39)
Пример. Молодой человек в возрасте 18 лет планирует получить высшее
образование. Срок обучения – 5 лет, стоимость года обучения 10000 руб.
Какую сумму ему необходимо внести в страховую компанию перед началом
обучения, чтобы компания взяла на себя оплату его учебы, процентная
ставка – 5%.
18
Поскольку плата вноситься перед началом каждого года обучения, то
мы имеем дело с рентой пренумерандо. Стоимость ренты с единичными
выплатами:
:
720 922536397
40750
4,5282
Стоимость ренты: 10 000·4,5282=45 282,17 руб.
Пример. Условия те же. Платит за поступление в возрасте 17 лет.
Ставка – 10%:
:
,
,
,
,
,
4,1568
98212
Стоимость ренты: 10000·4,1568=41567,63 руб.
Отложенные ренты
Рассмотренные выше ренты называются немедленными, так как срок
их действия начинается сразу после заключения контракта. Срок действия
отложенных (или отсроченных) рент запаздывает относительно этого момента
на период отсрочки. Ниже приведены стоимости отложенных на m лет рент.
Отложенная пожизненная рента постнумерандо:
∑
:
∙
(1.40)
Отложенная пожизненная рента пренумерандо:
∑
:
∙
(1.41)
Отложенная срочная рента постнумерандо:
:
:
∙
:
(1.42)
:
∑
Отложенная срочная рента пренумерандо:
:
:
∙
:
(1.43)
:
∑
19
Пример. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 50000 руб. пожиз-
ненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет.
Какова величина ежегодной выплаты? Процентная ставка – 5%:
17643
12330
1,4309
50000
34942,15руб.
Таблица 1.1
Актуарная стоимость регулярных страховых рент. Стоимость годовых рент
Вид ренты Постнумерандо Пренумерандо
Немедленная
(обыкновенная)
пожизненная
Немедленная
срочная рента
(выплаты в течение
:
:
n лет)
Отложенная на m
лет пожизненная
рента
Отложенная на m
лет срочная рента
(выплаты в течение
:
:
n лет)
На практике применяется некоторые варианты функции
, к которым
обращаются тогда, когда регулярные платежи производятся раз в год.
Так для платежей постнумерандо (выплата в конце каждого периода)
с достаточной для практических расчетов точностью имеем:
. (1.44)
Для платежей пренумерандо:
. (1.45)
Пример: для ежемесячных выплат постнумерандо и пренумерандо
находим:
11
,
24
11
24
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]