Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страховые и актуарные расчеты. Учебное пособие
.pdf
Очевидно, что расчёты современной стоимости наследства и стоимости
страхования жизни не отличаются друг от друга. Стоимость пожизненных
выплат равна стоимости немедленного пожизненного ежемесячного аннуитета. Обе характеристики были определены выше, поэтому сразу напишем:
,
где – размер ежемесячной выплаты пренумерандо;
– «чистая» стоимость наследства;
– единовременные затраты в начале сделки (выплата разовый суммы
и расходы на оформление);
– уровень процентной ставки, принятый в расчёте.
Процентная ставка, при которой 0, и является внутренней нормой
доходности (ВНД) сделки.
Пример. Определим величину для мужчины в
возрасте 64 года. С этой
целью вычислим необходимые коммутационные функции, соответствующие
четырём значениям процентной ставки:
Таблица 2.4
20 0,435605 1,855534 0,093082
15 6,637895 33,78316 1,834685
12 36,03618 208,0983 11,97092
9 204,8313 1367,615 84,16055
Допустим, что400тыс.руб., 1тыс.руб., 40тыс.руб.
Для 20% получим:
1,855534
4041,2141тыс.руб.
0,435605
400∙
0,093082
1∙
0,435605
Этот результат можно трактовать следующим образом: при нормативе
доходности 20 % годовых страховщик имеет доход, который равен 41,2 тыс.
руб. При снижении уровня ставки этот «неучтенный» остаток увеличивается.
2.10. Премия, нагруженная на издержки. Брутто-премия
Проведённые выше расчёты размера страховой премии были основаны
на равенстве ожидаемых текущих стоимостей страховых выплат и страховой
нетто-премии. Нетто-премия обеспечивает лишь покрытие ожидаемых
страховых выплат. Операции по страховому договору требуют определённых
издержек (издержки страхования), для покрытия которых сверх нетто-премии
взимается ещё нагрузка. Сумма нетто-премии и нагрузки называется бруттопремией. Часто её называют также офисной премией.
51
Обычно различают три вида издержек.
1. Издержки приобретения (аквизиционные расходы) часто ещё
называют начальным издержками. Они связаны с приобретением полиса и
складываются из комиссионных страхового агента, затрат по оформлению
и регистрации полиса, стоимости консультации, медицинского осмотра,
рекламы и так далее.
Для простоты часто к издержкам приобретения относят только комиссионные
страхового агента (брокера), остальные же издержки, которые в
постоянно действующей страховой компании имеют регулярный характер,
относят к административным. Такое разделение удобно, поскольку оплата
издержек приобретения полиса происходит в момент поступления первого
взноса, оплату прочих издержек трудно привязать к какому-то конкретному
моменту времени. Ещё одно преимущество такого разделения в том, что
все
издержки приобретения относятся на счёт конкретного агента (брокера) по
конкретному договору с конкретными сроками действия и страховой суммой,
а прочие издержки носят общий учрежденческий характер и практически не
зависит от характеристик договора.
2. Издержки сборов (издержки возобновления) связаны с рассылкой
напоминаний об оплате премии, а также с выплатой регулярных
комиссионных агенту или брокеру, продавшим полис. Издержки взимаются в дни
уплаты регулярных взносов.
3. Административные издержки включает в себя расходы по
обеспечению функционирования страховой компании (зарплата, аренда,
оплата за коммунальные услуги, стоимость обработки данных, налоги,
плата за лицензию и тому подобное), а также иные расходы, не вошедшие
в предыдущие пункты
.
По способу расчёта различают три типа издержек:
1) прямо пропорциональные страховой сумме;
2) прямо пропорциональные премии (например, расходы по инкас-
сации страховых платежей);
3) не зависящие от премии или страховой суммы (например, стои-
мость изготовления полисов, администрирования, медицинского осмотра и
тому подобное).
Издержки могут также представлять произвольную комбинацию пере-
численных
выше типов.
Для простоты мы в дальнейшем будем пользоваться величиной издержек
на единицу страховой суммы; соответствующие издержки приобретения
обозначим буквой , расходы по сбору страховых платежей – , ежегодные
административные издержки – .
Будем считать, что издержки приобретения оплачивается полностью
при получении первого взноса, административные расходы производятся
равномерно в течение всего срока действия
договора ( лет), расходы по
сбору платежей – в течение периода уплаты взносов ( лет). Уравнение
для определения размера ежегодной брутто-премии с единичной страховой
52
суммы имеет вид баланса: ожидаемая текущая стоимость страховой бруттопремии равна сумме ожидаемых текущих стоимостей страховых выплат и
издержек на момент начало договора:
П
П
:|
:|
, (2.50)
:|
где и – продолжительность периода уплаты взносов и срок действия
договора, П – ежегодная брутто-премия, – текущая стоимость ожидаемых
страховых выплат.
Ежегодная брутто-премия:
П
;
:|
;
:|
;
:|
. (2.51)
:|
Три слагаемых в скобках в (2.51) обозначают соответственно неттопремию, ежегодную часть оплаты издержек приобретения и ежегодную часть
оплаты административных издержек. Отсюда ясно что страхователь оплачивает
издержки приобретения в рассрочку в течение всего периода уплаты взносов,
хотя комиссионные за продажу полиса уплачиваются агенту (брокеру) полностью при заключении договора. Это означает, что
вышеупомянутые расходы
несёт страховщик, как бы предоставляя страхователю долгосрочную суду,
а последний погашает задолженность в течение периода уплаты взносов.
Если договор страхования прекращается до окончания периода уплаты
взносов, страховщик удерживает непогашенную задолженность.
Ввиду большого разнообразия типов страховых контрактов и способов
представления различных издержек не имеет особого смысла продолжать
изложение этого
вопроса в общем виде, целесообразнее рассмотреть
конкретный пример и показать, как производить расчёты.
Пример. Вычислить единовременную брутто премию для чистого
дожития сроком на 5 лет для мужчины возрасте 40 лет со страховой суммы
10000 руб. для годовой процентной ставки 5 %. Издержки приобретения
составляют 2% от страховой суммы (0,02), расходы по сбору платежа –
3% от величины
платежа (0,03), административные расходы – 0,3% от
страховой суммы каждый год действия полиса (0,003).
Имеем
:
│
0,742;
:│
4,4567.
1
П
10,3
0,7420,020,003∙4,45670,7993.
Сумма платежа равна 7993 руб. Структура брутто-премии: нетто-
премия – 92,83%, нагрузка – 7,17%, в том числе и сборов – 2,97%, издержки
приобретения – 2,5%, административные издержки – 1,7%.
53
ГЛАВА 3. ТАБЛИЦЫ ВЫБЫТИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ
КОММУТАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
3.1. Таблицы выбытия
В групповом пенсионном и медицинском страховании, а также в
страховании по инвалидности для расчёта актуарных стоимостей аннуитетов
применяют таблицы изменения числа застрахованных, или декрементные
таблицы. Для краткости будем их называть таблицами выбытия. Они отличаются от таблиц смертности тем,
что у них помимо смертности учитывается
прекращение страхования и по другим причинам. Частным случаем таблица
выбытия является таблица смертности, в которой представлены данные о
числе умерших по различным причинам.
Таблицы выбытия разного назначения применяются в тех случаях,
когда страхование распространено на ограниченную совокупность (группу)
людей, относящуюся к отдельной организации, которая обычно
является
страхователем. Выход из организации (например, увольнение) одновременно
означает досрочное прекращение страхования. Такое страхование названо
групповым. При индивидуальном страховании группы участников не учитывается их досрочный выход из числа застрахованных и, как было показано
ранее, расчёты основываются на таблицах смертности.
В таблицах выбытия в зависимости от их назначения принимаются
во
внимание от двух до четырёх независимых и взаимоисключающих причин
выбытия (факторов): смертность, увольнение с одновременным прекращением
страхования (далее для краткости этот фактор будем называть прекращением
страхования), постоянная потеря трудоспособности (инвалидность) и выход на
пенсию по старости. Досрочное прекращение страхования можно рассматривать только в рамках отдельного предприятия и группы предприятий. Причины
выбытия могут быть представлены в различных сочетаниях со смертностью:
смертность и инвалидность, смертность и выход на пенсию и так далее.
Верхняя возрастная граница в таблицы выбытия зависит от вида страхования и условий формирования контингента застрахованных. Очевидно,
что каждый фактор выбытия оказывает влияние только в определённом
возрастном диапазоне. Например, вероятности
прекращения страхования в
возрасте, близком к пенсионному, обычно пренебрежимо малы. Можно
также утверждать, что вероятности стать пенсионером по инвалидности в
молодом возрасте крайне незначительны. В таблице выбытия могут быть
возрастные диапазоны, в которых учитывается влияние только одного
фактора – смертности. На практике виды учитываемых факторов и диапазоны их влияния определяются правилами
конкретного вида страхования.
В приведённом ниже макете (таблица 3.1) отражены все упомянутые
выше четыре фактора, однако, как там показано, одновременно влияют не более
трёх. Предполагается что страхование охватывает участников с 18-летнего
54
возраста, на пенсию по старости уходят в возрасте от 60 до 65 лет, выход на
пенсию по инвалидности возможен в любом возрасте до 60 лет. В таблице
приняты следующие обозначения:
– число застрахованных (активных участников) в возрасте ровно лет;
– число умерших возрасте от лет до 1 года;
– число прекративших страхование в возрасте от лет до 1 года;
– число вышедших на пенсию по инвалидности в возрасте от лет
до 1 года;
– число вышедших на пенсию по старости в возрасте от лет до
1 года.
Очевидно, что в этой таблице:
и 0.
Таблица 3.1
Макет таблицы выбытия
18 + + + + 19 + + + + …
58 + + + + …
61 + + - - +
…
65 + - - - +
Абсолютные показатели выбытия (
,
, …) получают на основе
соответствующих вероятностей. Относительно последних необходимо сделать
следующие пояснения. Для каждой причины выбытия можно определить две
вероятности, которые условно назовём независимой и зависимой.
Под независимой вероятностей будем понимать вероятность, оценка
которой производится без учёта влияния других факторов выбытия (в актуарной литературе иногда употребляют термины абсолютной темп или
абсолютная вероятность выбытия). Примером независимой вероятности является
вероятность смерти, представленная в таблицы смертности для каждого
возраста. Что касается других вероятностей прекращения страхования, то
источников информации, аналогичных по степени надёжности таблице
смертности, нет. Необходимые данные могут быть оценены по результатам
многолетних статистических наблюдений с последующим их сглаживанием.
Обозначим независимые вероятности как
,
,
и
.
На самом деле перечисленные выше факторы выбытия воздействуют
на число застрахованных одновременно и в силу этого не могут рассматриваться как независимые (вышедший на пенсию по инвалидности не может
55
уволиться, умерший не выходит на пенсию и тому подобное). Для характеристики влияния каждого фактора с учётом воздействия на число застрахованных
,
остальных факторов применяют зависимые вероятности
,... По опреде-
лению вероятности соответствует отношениям:
,
,
,
.
Следует обратить внимание на то, что
здесь означает число оставшихся
в группе застрахованных, а не число доживших до возраста лет. Ещё раз
отметим, что испытывает влияние всех учтенных факторов.
независимой и зависимой вероятностей выбытия имеют следующий вид:
,
.
Для трех факторов (например, ,и) получим:
и т.д.
В знаменателе это и аналогичных формул (в том числе для четырёх
факторов выбытия) в скобках указывается сумма зависимых вероятностей,
за исключением вероятности, фигурирующий в числителе.
Обычно в молодом возрасте различия в уровнях независимых и зависимых вероятностей пренебрежимо малы, однако для старших возрастных
групп они уже довольно
существенны.
Независимые вероятности необходимы для расчёта абсолютных показателей выбытия и последующего заполнения таблицы выбытия. В свою очередь,
таблица выбытия используется для определения системы показателей вероятности страховых событий, необходимых для актуарных расчётов.
Ниже в иллюстративных целях приведён фрагмент таблицы выбытия
для мужчин (таблица 3.2) с двумя факторами – смертностью и прекращением
страхования. Помимо абсолютных показателей выбытия здесь показаны и
независимые вероятности, которые были использованы при их расчёте.
Вероятности смерти взяты из таблицы смертности городского населения
РФ, в которой
100000 человек.
Что касается темпа прекращения страхования, то в таблице он условно
задан следующим образом: для возрастного диапазона от 18 до 24 лет прекращает страхование 8%, далее этот параметр уменьшается и достигает 0,5% перед
выходом на пенсию.
56
В таблице 3.2 приняты следующие обозначения:
– число застрахованных, доживших до лет;
– независимая вероятность умереть в течение года после дости-
жения возраста лет;
– независимая вероятность прекращения страхования в возрасте
от лет до 1 года;
– число умерших в течение года после достижения возраста лет;
– число прекративших страхование в течение года после дости-
жения возраста лет.
Полагаем, что оба названных фактора влияют в пределах года на
число застрахованных одновременно и равномерно. В силу этого можно
записать:
, (3.1)
. (3.2)
Таблица 3.2
Фрагмент таблицы выбытия с двумя факторами
18 100 000 0,00124 0,08 119 7 995
19 91 886 0,00139 0,08 123 7 346
20 84 417 0,00150 0,08 1 122 6 749
21 77 547 0,00156 0,08 116 6 199
30 40 137 0,00231 0,06 90 2 406
40 22 079 0,00472 0,03 103 661
50 15 949 0,01124 0,01 178 159
60 12 473 0,02815 0,00 351 0
70 8 425 0,05423 0,00 457 0
80 3 769 0,11452 0,00 432 0
90 600 0,24498 0,00 147 0
100 7 1,00000 0,00 7 0
Решив эту систему уравнений относительно
и
, получим:
∙
∙
∙
, (3.3)
∙
∙
∙
. (3.4)
Аналогичные соотношения можно записать и для других пар показателей
выбытия –
, и ,
. Например, для последней пары получим:
57
∙
∙
∙
, (3.5)
∙
∙
∙
. (3.6)
Получить для первого табличного возраста значения
и
, далее
находим:
.
Одновременность влияния факторов на практике иногда не принимают
во внимание, и число выбывших определяют на основе независимых вероятностей выбытия, которые условно считают равными сумме вероятностей
и так далее. В некоторых случаях это может привести к заметным
смещениям в получаемых оценках.
Пример. На основе показателей таблицы 3.2 получим следующие
числа умерших и прекративших страхование для 20-летних мужчин:
∙,
∙,∙,
∙0,0015∙84417121,58122 человека,
∙,
∙,∙,
∙0,08∙844176748,76749 человек.
Оценки выбытия без учёта второго фактора таковы:
0,0015∙84417127 человек,
0,08∙844176753 человека.
Аналогичный подход применим и в ситуации с четырьмя факторами
выбытия. В число факторов включим смертность, прекращение страхования,
инвалидность и выход на пенсию по старости, однако три последних действуют
в разных возрастных диапазонах, поэтому в каждом возрасте учитывается не
более трёх факторов. Абсолютные показатели выбытия определим исходя из
предположения о
том, что факторы действуют одновременно в пределах
каждого возрастного интервала. Получим следующую систему уравнений
для числа выбывающих:
1
,
58
1
,
1
.
где
– независимая вероятность выхода на пенсию по инвалидности;
– число вышедших на пенсию по инвалидности.
Остальные обозначение объяснены выше.
Решим приведённую систему уравнений относительно абсолютных
показателей выбытия. Для упрощения будем полагать, что произведение трёх и
более вероятностей выбытия равны нулю. Получим следующие результаты:
∙
∙
∙
, (3.7)
1
∙
∙
∙
∙
, (3.8)
1
∙
1
∙
∙
∙
∙
, (3.9)
где
1
∙
∙
∙
. (3.10)
Величина близка к единице. В приведённой системе уравнений
определяются
, и
. Если вместо числа выходящих на пенсию по инва-
лидности необходимо найти число застрахованных, выходящих на пенсию по
старости, то вместо
и используют соответственно
и
.
Таблицы выбытия с четырьмя факторами разрабатываются для ограниченной группы участников пенсионного фонда. В связи с этим есть
смысл в качестве начального возраста принять наименьший возраст участников, а в качестве максимального – предельный возраст выхода на пенсию.
При разработке таблицы принято: начальный возраст – 18 лет, возраст выхода
на пенсию – с 60 по 65
лет включительно. В этой таблице вероятности взяты из
таблицы смертности. Вероятности прекращения страхования заданы таким же
способом, что и в таблице выбытия с двумя факторами, о который упоминалось
выше. Вероятности потери трудоспособности заданы в виде фиксированных
значений с учётом следующей правдоподобной закономерности: чем больше
возраст, тем выше вероятность.
Число умерших
относится только к участникам фонда, не вышедшим
на пенсию по старости и инвалидности. Относительно небольшое число выходящих на пенсию по старости объясняется в основном высокой вероятностью
прекращения страхования (особенно в молодом возрасте). Если предположить,
59
что возрасте 18-24 лет страхование прекращают не 8, а 6% лиц, то число выходящих на пенсию возрастёт почти на 2000 человек. Фрагмент таблицы с
четырьмя факторами выбытия (мужчины) приведён в таблице 3.3.
Таблица выбытия заканчивается придельным возрастом выхода на
пенсию (в таблице 3.3 это 65 лет). Однако для последнего диапазона возрастов в
ней нет никаких данных,
кроме чисел вышедших на пенсию. Вместе с тем для
актуарных расчётов необходимы показатели вероятности дожития и для этого
возрастного диапазона. Указанные вероятности можно получить по общей
таблицы смертности. Для инвалидов желательно разработать отдельную
таблицу смертности.
Таблица 3.3
Фрагмент таблицы выбытия с четырьмя факторами
18 100 000 119 7 995 10 - 8 124
19 91 877 123 7 345 9 - 7 478
59 12 808 326 63 2 - 391
60 12 417 228 - - 8 612 8 840
61 3 577 71 - - 2 479 2 550
62 1 027 22 - - 711 733
63 294 6 - - 233 239
64 55 1 - - 44 45
65 10 - - - 10 10
Число выбывших
Итого
Обычно в актуальных расчётах по групповому пенсионному страхованию
применяют таблицы выбытия с четырьмя факторами, по медицинскому –
с двумя.
3.2. Вероятности, получаемые по таблицам выбытия
Таблица выбытия содержит данные, которые позволяют рассчитать
вероятности тех или иных страховых событий, необходимых для проведения
актуарных расчётов. Методики нахождения этих вероятностей не отличаются
от
применяемых при расчёте вероятностей по таблице смертности. Определим
некоторые из них.
Вероятность для лица в возрасте лет остаться в числе застрахованных
через лет:
. (3.11)
Вероятность выбыть из числа застрахованных за лет после достижения
возраста лет:
∑
1
. (3.12)
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]