Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Учебное пособие-1
.pdf
y
3.5. Оптимизация настроек цифрового регулятора
в одноконтурной системе по критериям минимум
интегрально-квадратичной ошибки и минимум времени
регулирования
Одноконтурная схема (рис. 3.8) широко используется для
регулирования параметров технологических процессов. При этом
она также может входить в состав более сложных схем управления многомерными объектами. Поэтому задача оптимальной настройки регулятора в одноконтурной ЦСУ приобретает важное
значение.
Рис. 3.8. Структурная схема одноконтурной системы управления:
W W
,
- передаточные функции регулятора и канала управления;
P O
3
y
- задающее воздействие; e - величина рассогласования; u - управ-
ляющее воздействие;
- выход объекта
Задача оптимизации заключается в расчете таких настроек
цифрового регулятора (3.43), при которых внешние воздействия
на систему будут отрабатываться регулятором наилучшим (оптимальным) образом. Оптимизация выполняется по полученной
на этапе идентификации дискретной динамической модели объекта управления (3.21).
Наиболее общим критерием оптимизации качества управления является интегрально-квадратичная ошибка:
t
2
( )
∫
0
N
mci
N
32
( )
∑∑
i
==
mci
2
−=≈=
1
yyedtteS
, (3.44)
ii
1
В дискретной форме интегральной оценки отсутствует такт
квантования, т. к. в процессе оптимизации он не меняется.
83
mc
(
)
()(
)
=
()(
)
()()(
)
()(
)
где N - число тактов квантования, соответствующее времени
регулирования;
- переменная, принимающая наибольшее
значение из порядков моделей объекта и регулятора.
mlq
Настроечные параметры цифрового регулятора
,0=
l
(3.43) определяются в результате минимизации критерия (3.44),
для чего используется численная процедура оптимизации:
N
( )
∑
=
mci
3
2
yyS
ii
→−=
,...,,
qqq
10
m
. (3.45)
min
Рассмотрим алгоритм оптимизации настроек цифрового регулятора первого порядка с интегральной составляющей для модели объекта второго порядка с запаздыванием. Одноконтурную
ЦСУ можно представить следующей системой уравнений:
u u q y y q y y
= + − + −
i i i i i i
− − −
1 0
y a y a y b u
= + +
i d i d i d i
+ + + + −
1 1 2 1
3
3
1 1
, (3.46)
1
,
i mc N= ,
Расчет проводится при следующих начальных условиях:
<
mci
,0
3
=
y
i
ствия;
3
,
u i mc
= = −0 1 1, ,
i
(
≥
mciy
3
2012
+++
mc
ddd
3
2
),
y
- величина задающего воздей-
;
y i mc d
= = +0 1, ,
i
3
112
=++=
qyyqyyquu =−+−+=
,
01
bqubyayay
,
0212213
.
.
3
213
1 qbqqqyyqyyquu +−+=−+−+=
2 qbqqbbqaubyayay
3
−+−+=
yyqyyquu
,
11
ubyayay ++=
−++++
1211
NdNdNdN
1
−−−
NNNNNN
.
. . .
3
3023
ddd
+++
3
01
Необходимым условием минимума критерия будет выполнение следующих равенств:
,
10002
+−+=++=
,
10001322314
84
N
∂
S
∂
q
0
∂
S
∂
q
1
( )
=
N
( )
=
3
y y
i i
3
y y
i i
2 0= − −
∑
i mc
2 0= − −
∑
i mc
∂
y
i
=
∂
q
0
∂
y
i
∂
q
1
, (3.47)
=
.
Поскольку из системы уравнений (3.47) невозможно получить аналитические выражения для расчета настроек
q q
,
0 1
циф-
рового регулятора, воспользуемся градиентным численным методом оптимизации [8,11].
Поиск оптимума критерия (3.44) при использовании метода
градиента проводиться в два этапа. На первом - находятся численные значения частных производных (3.47) по каждой настройке.
Для этого рассчитываются динамические характеристики
замкнутой системы по заданию (по системе уравнений (3.46)) с
начальными заданными настройками регулятора (с учетом ограничений табл. 3.6).
∂∂∂
yqy
i i
,
Для вычисления
0 1
, дифференцируя уравнения
q
∂
(3.46), получим следующие квазианалитические рекуррентные
выражения:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
q
u
q
y
∂
y
∂
u
i i
0
i i i
1
i d i d i d i
+ + + + −
q
0
i d i d i d i
+ + + + −
q
1
1
− −
= + − − −
q
∂
0
∂
u
−
= − + − −
q
∂
1
1
= + +
a
1
a
= + +
y y q
( )
1
q
0
∂
y
1
q
∂
0
∂
y
1
q
∂
1
3
i i
y
∂
q
∂
1
a
a
2
2
∂
y
i i
0
q
∂
0
3
y y q
( )
i i
− −
1
∂
y
1
∂
q
0 0
∂
y
1
∂
q
1 1
q
1 1
∂
u
b
∂
q
∂
u
b
∂
q
∂
y
1
1
∂
q
0
y
∂
q
∂
,
,
, (3.48)
i
−
1
,
1
i mc N= ,
.
85
Начальные условия для расчета производных:
∂
u
i
0 1 1= = −, ,
q
∂
0
∂
y
i
q
∂
0
Покажем расчет численных значений:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
q
u
y
∂
y
∂
u
2
0
2
q
1
3
q
3
q
1
∂
q
0
∂
u
1
∂
q
1
∂
y
a
1
0
1
∂
y
∂
a
1
∂
i mc
i mc d
0 1= = +, ,
3
( )
2
∂
y
2
q
0
∂
q
1
2
a
q
2
q
2
0
a
2
1
∂
qyy
02
∂
3
( )
1
∂
y
1
ddd
+++
∂
q
0
y
∂
+++
ddd
1
q
∂
1
∂
u
i
,
q
∂
1
∂
y
i
,
q
∂
1
y
q
b
b
∂
2
0
y
1
q
1
∂
q
0
∂
y
1
qyy
11
∂
q
1
∂
u
2
b
=++=
∂
q
u
∂
q
∂
,
0
2
0
=++=
,
1
0 1 1= = −, ,
i mc
i mc d
0 1= = +, ,
1
=−−−+=
,
0
=−−+−=
,
,
.
∂
u
∂
u
3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
q
u
q
y
∂
y
∂
q
0
∂
u
3
∂
q
1
4
a
q
0
4
a
q
1
. . .
2
( )
0
3
q
1
∂
y
3
1
∂
q
∂
y
3
1
∂
q
3
3
∂
y
3
0
∂
q
1
a
2
0
a
2
1
∂
y
qyy
03
∂
q
3
( )
2
∂
y
ddd
+++
2
∂
q
0
∂
y
2
ddd
+++
∂
q
1
∂
3
0
b
b
y
2
q
1
∂
q
0
∂
y
2
qyy
12
∂
q
1
∂
u
3
∂
q
0
∂
u
3
a
=++=
∂
q
1
1
=−−+−=
,
1
( )
11 −−+=−−−+=
,
( )
22 bqbba
−+=++=
bqbq
,
00
,
01
86
u
∂
q
∂
u
∂
q
∂
y
∂
y
∂
u
∂
NN
q
∂
0
1
q
∂
q
∂
0
u
∂
q
∂
1
1
a
0
1
a
1
1
( )
−
1
q
y
∂
1
q
∂
y
∂
1
q
∂
3
y
∂
NNN
0
q
∂
1
0
1
qyy
NN
0
3
( )
1
y
∂
a
2
q
∂
y
∂
a
2
q
∂
−++++
−++++
После формирования массивов
y
∂
q
∂
0
NN
1
b
++=
1
b
++=
y
∂
NN
−−
q
−−−+=
−−
u
∂
q
∂
u
∂
q
∂
1
∂
qyy
11
,
.
y
q
0
y
∂
q
∂
∂∂∂
, ,
i
,
N
−
1
,
1
yqy
i i
∂
0 1
q
(
i mc N= ,
1
−−+−=
NdNdNdN
00
NdNdNdN
11
рассчитываются численные значения частных производных кри-
j j
терия по каждой настройке
∂
∂
S
q
0 1
∂
S
,
на j-ом шаге приближе-
∂
q
ния к оптимуму по формулам (3.47) и норма градиента:
j
∇ =
S
∂
q
∂
0
2
j j
+
∂
2
S
∂
q
. (3.49)
1
На втором этапе осуществляется шаг по каждой настройке
в направлении, обратном направлению градиента, т. е. в направлении убывания критерия:
j
∂
S
j
∂
q
0
S
∂
j
q
∂
1
j
, (3.50)
j
j
,
где
j j
H H
,
0 1
j j
1
+
q q H
= − ∇
0
j j
q q H
1
0 0
1
+
= − ∇
1 1
- переменные коэффициенты шага на j-ой итерации
по настройкам.
)
87
<
<
<
<
j
При выполнении шага одновременно изменяются значения
двух настроек. Каждая из них получает приращение, пропорциональное соответствующей составляющей градиента.
Стратегия изменения коэффициентов шага определяется
правилом:
jj
1
−
∂
S
>⋅
∂
q
00
∂
S
q
∂
∂
S
∂
q
11
∂
S
q
∂
11
0,
jj
00
jj
−
jj
−
; (3.51)
−
1
<⋅
0,
1
>⋅
0,
,
1
<⋅
0,
где
1 2
Hk
j
=
H
0
Hk
Hk
11
j
=
H
1
Hk
12
k
;
1
0 1
k
2
.
∂
S
1
j
−
01
∂
q
∂
j
02
j
−
j
−
S
1
−
q
∂
∂
S
1
∂
q
∂
S
1
q
∂
Такой алгоритм изменения обеспечивает высокую скорость
сходимости на крутых участках изменения критерия (3.44) за
счет увеличения коэффициентов шага и быстрое достижение оптимума в его окрестности за счет уменьшения коэффициентов
шага при смене знака производных.
Следует отметить, что коэффициенты шага
первой итерации приближения (
=1) не могут быть рассчитаны
j j
H H
,
0 1
на
в соответствии с правилом (3.51). Поэтому в качестве начального
приближения коэффициенты обычно рассчитывают по формуле:
88
1
m
÷
=
ε
1
j
H
=
. (3.52)
+
Момент окончания поиска оптимума определяется при выполнении предварительно заданного условия:
где ε - точность (окрестность) определения оптимума критерия
j
∇ <
ε
, (3.53)
(
1,0001,0
).
Если условие (3.53) не выполняется, то вычисляются новые
1
1
++
jj
,
qq
приближения настроек
0
по формулам (3.50). Для этого
1
необходимо повторить процедуру вычислений массивов
∂
∂
y
y
y
i
∂
ii
∂
q
q
∂
∂
S
S
,,,,
и значения нормы градиента ∇.
∂
∂
q
q
1010
На рис. 3.9 приводится укрупненная схема алгоритма расчета оптимальных настроек цифрового регулятора 1-го порядка с
интегральной составляющей.
89
НАЧАЛО
2
3
=
4
5
∂
∂
6
7
8
1
111
qqdbaa
,,,,,,
021
3
NykkT
,,,,,
ε
210
3
y
=
i
3
20
iпри
<
2
iприy
≥
Ввод исходных данных
0
u
1
0...
===
yy
21
+d
Задание начальных условий
∂
u
u
∂
1
1
=
∂
q
∂
0
y
1
==
q
∂
0
y
∂
1
==
q
∂
1
0
=
q
1
y
2
+
d
0...
=
q
∂
0
y
∂
2
+
d
0...
=
q
∂
1
1=j
Рис. 3.9. Схема алгоритма расчета настроек цифрового регулятора
(см. также с. 89, 90 и 91)
90
8
∂∂∂∂∂∂∂
9
10
7
22
11
12
13
Да
Нет
Нет
14
15 23
yu
,
dii
1=++
yququ
q
0110
∂
∂
S
,
∂
∂
q
Ni
,2
y
1
didiii
++++
,,,
q
∂
1
Ni
,2
=
jj
S
q
10
Расчет динамических характеристик
ЦСУ по уравнениям (3.46)
Расчет численных значений частных
производных по системе (3.48)
Вычисление производных (3.47) интегрального критерия качества по настройкам на j-ом шаге приближения к
оптимуму
j
∇
Да
j
ε
<∇
Расчет нормы градиента (3.49)
Проверка условия (3.53) достижения оптимума критерия
1=j
Проверка номера итерации
приближения к оптимуму
Рис. 3.9. Продолжение
91
16
17
15
Нет
13
13
14
рации
?
19
20
18
Нет
21
21
1
5,0
=
H
0
1
5,0
=
H
1
Коэффициент шага на первой
итерации (3.52)
Да
−
jj
S
∂
∂
∂
0
<
⋅
qSq
∂
010
jj
HkH
⋅=
010
Изменился знак производной крите-
рия по настройке
на j-ой ите-
q
0
Расчет коэффициента шага
∂
⋅
∂
jj
HkH
⋅=
020
Да
−
jj
SqS
∂
0
<
q
∂
111
jj
HkH
⋅=
111
Изменился знак производной крите-
рия по настройке
на j-ой ите-
q
1
рации?
Расчет коэффициента шага
j
H
0
j
H
1
jj
HkH
⋅=
121
Рис. 3.9. Продолжение
92
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]