Моделирование систем. Учебное пособие-1

n

=

1

=

2

=

3

n

=

τ

4

0

3

0

3

0

1

Таблица 3.1

0

T

1

2

0

2

0

2

0 2

3

+ + +

4

+ + + −

T T T T T T T

4

T T T T T T T T

4 3 2

3

0

2

0

2

0

1

0 1

2

+ +

3

+ + −

T T T T T

3

T T T T T T

3 2

3 1

2

0

2

0 2

3

+ +

3

4

T T T T T

6 3

4

0

3

1

0

2

0

3

2

+

4

0 2

4

T T T

3

4

3

+ + +

T T T T T T T

4

−

2 1

0

2

+

2

3

T T T

3

0

0 1

2

2 1

3

T

2

+ +

3

T T T T T

3

−

3

0

1

2

0

2

4

T

0 2

3

+ + +

T T T T T T T

4

−

0

0 1

2

+ +

3

T T T T T

0

3

1

0

0 2

3

+ + +

4

T T T T T T T

0

1

2

0

2

4

0

kT

3

0

kT

0

T

0 2

3

+ + +

4

T T T T T T T

2

0

1

0

0 1

T

2

+ +

3

T T T T T

63

2

по параметрам непрерывных моделей с заданным тактом квантования

Формулы расчета параметров дискретных динамических моделей 1-го-4-го порядков

Порядок модели

0

0 0

1

+

2

+ −

2

T T T

2

T T T T

2

0

1

−

T

1

T T

1

a

0

1

2

T

+

2

T T T

−

-

2

a

- -

3

a

- - -

4

a

0

1

0

1

2

0

kT

0

kT

T

+

2

T T T

0

1

T

1

T

Параметры

64

n

=

1

=

3

n

=

)

(

Таблица 3.2

0

T

2 3 4 0

a a a T

+ + +

1 2 3

2

3

4

3 6

+ +

1 2 3 4

2 3 4 0

a a a a

a a a T

− − − −

1

+

3 4 0

1 2 3 4

a a T

a a a a

− − − −

1

−

4

4 0

a T

1 2 3 4

a a a a

− − − −

1

−

b

1 2 3 4

a a a a

− − − −

1

0

dT

1 2 3 4

a a a a1

− − − −

по параметрам дискретных моделей с заданным тактом квантования

Формулы расчета параметров непрерывных динамических моделей 1-го-4-го порядков

Порядок модели

2 3 0

a a T

+ +

1 2

2 0

a T

+

1

a

0

T

1−

1

T

Параметры

2

3

+

1 2 3

2 3 0

a a a

a a T

− − −

1

−

2

2 0

1 2

a T

a a

− −

1

−

1

-

2

T

3

3 0

1 2 3

a T

a a a

− − −

1

1 2

a a

− −

1

1 2 3

a a a

1− − −

- -

3

T

- - -

4

T

b

0

dT

1 2 3

a a a1

− − −

0

1 2

b

dT

a a1

− −

1

0

a1

b

−

dT

(

)

⋅

)

=

⋅

=

)

∂

⋅

=

)

∂

⋅

+

=

1

z

−

⋅

)

=

)

1

(

)

(

)

=

τ

1

−

1

za

−

⋅−

zb

1

⋅

Таблица 3.3

bzW

функция

o

,

ii

Уравнение Передаточная

kb

uby

1

=

zW

( )

o

0

Tk

⋅

,

111 −−

iii

=

ubyay

b

,

0

TT

−

1

=

a

где

ksW

функция

o

где

1

+⋅

sT

k

1

=

sW

( )

o

=

( )

W z

1

T

,

11 −−

iii

ubyy

1

T

1

=

sW

( )

o

−

⋅+= zbbzW

−

21

d

−

zzW

65

=

o

*,

121 −

iii

ububy

k

1

0

1

T

b =

где

sT

⋅

sksW

1

o

0

T

21

bb =−=

где

,

uy

τ

⋅−

p

0

T

dii

−

=

d

где

esW

=

o

tukty

Непрерывная форма записи Дискретная форма записи Динамические

Типовые динамические звенья в непрерывной и дискретной формах описания

tukty

Уравнение Передаточная

звенья

Усилительное

( ) ( )

ty

⋅

1

T ⋅=+

Апериодическое

первого порядка

tu

( )

ty

⋅

1

T =

Интегрирующее

(идеальное)

tu

⋅=

kty

tuty

( )

Дифференци-

ное)

рующее (идеаль-

Запаздывания

* для дискретизации дифференцирующего звена применяется метод левых разностей

n

+

3.2. Идентификация дискретных динамических моделей методом наименьших квадратов по кривым разгона каналов объекта

Параметрическая идентификация заключается в расчете

dbaaa

,,,...,,

параметров

21

выбранной структуры (уравнения

где ния

uy ,

- выход и вход модели объекта на i-м такте квантова-

ii

T

.

0

разностного уравнения (3.21) для

n

-го порядка) [6].

n

∑

k

+=

buyay

kiki

−

=

, (3.21)

11−−

di

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК), широко применяющимся для параметрической идентификации моделей объектов управления.

Например, для модели (3.14) критерий МНК определяется выражением:

где

N

э

∑

i

3

i

=

N

- число точек кривой разгона;

э

i

э

i

2

э

buyayayФ

12211

i

−−−

uy ,

i

 →−−−=

,,

baa

21

эiэ

- выходные и вход-

min)(

, (3.22)

ные экспериментальные значения, полученные при снятии динамической характеристики (кривой разгона), при нулевых начальных условиях (для расчета в приращениях):

10

iпри

э

i

2,1,0 == iy

;

э

u

=



i

э

 

э

u

- величина входного ступенчатого воздействия. При обработке экспериментальных данных

нулевому значению кривой разгона присваивается номер

э

y

(

y

массиве

), который устанавливается в зависимости от

1

+

n

=

,2

Niприu

=

э

y

первому не-

i

,

1

n

в

порядка идентифицируемой модели.

При идентификации можно не учитывать целое число так-

тов запаздывания

d

. Оно определяется по кривой разгона для

66

τ

[

]

[

]

[

]

A

B

выбранного такта

T

по формуле

0

dT=

.

0

Необходимым и достаточным условием экстремума крите-

рия МНК является равенство нулю первых производных по искомым параметрам:

∂

Ф

∂

a

∂

Ф

∂

a

∂

Ф

∂

b

N

э

i

∑

3

=

i

1

N

э

i

∑

i

3

=

2

N

э

i

∑

3

=

i

э

i

э

i

э

1

i

1

э

i

э

i

э

i

2

э

i

э

i

э

i

э

( )

yubyayay

112211

−−−−

i

э

( )

yubyayay

i

212211

−−−−

э

( )

uubyayay

112

−−−−

i

0)(2

=−−−−=

,

0)(2

=−−−−=

, (3.23)

.

0)(2

=−−−−=

После преобразования:

N

i

=

N

i

=

N

=

i

2

э

( ) ( ) ( ) ( )

i

−

11

3

( ) ( ) ( ) ( )

i

3

( ) ( ) ( ) ( )

i

3

N

=

3

i

эiэ

−−

211

эiэ

−−

111

эiэ

−−

i

N

э

i

−

i

22

=

3

N

=

3

N

212

2

э

−−

122

iэi

i

=

3

i

N

i

=

3

N

э

−

i

=

3

i

N

эiэ

=++

∑∑∑∑

−−

11

=

i

эiэ

=++

∑∑∑∑

−−

12

i

N

2

=++

∑∑∑∑

1

=

i

эiэ

,

yyuybyyaya

−

1

i

3

N

=

3

эiэ

, (3.24)

yyuybyayya

i

−

3

2

эiэ

.

uyubuyauya

−

1

i

Параметры

baa ,,

находятся решением системы линей-

21

ных уравнений (3.24) (например, по правилу Крамера) [11]. Для этого формируется матрица коэффициентов ных членов

 

 

=

A

  

 

:

N

i

=

N

i

=

3

N

i

=

3

2

э

( ) ( ) ( )

i

−

111

3

эiэ

( ) ( ) ( )

i

−−

2121

эiэ

( ) ( ) ( )

i

−−

1131

N

i

=

3

i

N

i

=

3

эiэ

i

−−

2112

N

=

2

э

i

−

222

3

эiэ

i

−−

1232

и вектор свобод-

N

===

∑∑∑

i

=

3

N

===

∑∑∑

i

=

3

N

===

∑∑∑

=

3

i



эiэ

uyAyyAyA



i

−−

1113

 

эiэ

,

uyAyAyyA

i

−−

1223

 

2

э



uAuyAuyA

i

−

133

 

67

∆

F

Находим параметры

AAA

131211

AAA

232221

AAA

333231

AAB

1

a

AAB

ABA

2

a

ABA

BAA

b

BAA

=

21

N

( )

∑

i

=

3

N

( )

∑

i

=

3

N

( )

∑

=

3

i

baa ,,

:



эiэ

yyB



i

−

11

 

эiэ

. (3.25)

yyB

i

−

22

 

эiэ



uyB

−

13

i

 

AAAAAAAAA

213213312312332211

−−−

AAAAAAAAA

213312322311312213

BAABAAAAB

−++

232133231233221

BAAAABBAA

233123223132213

ABAAABABA

−++

213133123133211

AABBAAABA

213313231131213

AABABABAA

−++

213213121232211

.

ABAABAAAB

213123221131221

−++

;

(3.26)

;

 

 

=

B

  

 

==∆

13121

==∆

23222

33323

13111

==∆

23221

33331

11211

==∆

22221

33231

1

=

1

∆

2

=

∆

baa

.,,

=

baa (3.27)

∆

После получения параметров разностного уравнения 2-го

порядка необходимо проверить адекватность модели объекту.

Для этого предварительно рассчитывается переходный

baa ,,

процесс по уравнению (3.14) при найденных

.

21

Адекватность устанавливается по критерию Фишера при

отсутствии параллельных опытов, для чего рассчитывается дисперсионное соотношение

:

68

(

)

1

−

N

l

N

1

N

=

F

(

)

(

)

(

)

−=−

=

22

SSF = , (3.28)

остy

2

S ,

где

S - дисперсии относительно среднего и остаточная.

y

ост

N

∑

2

3

=

i

=

S

y

N

( )

∑

2

S

ост

N

э

y

∑

э

y

=

i

3

=

i

- среднее значение выхода объекта; l - число свя-

3

=

i

=

2

ээ

−

yy

i

, (3.29)

2

э

−

yy

ii

,

(3.30)

−

зей, наложенных на выборку, равное числу определяемых параметров (для уравнения 2-го порядка

Полученное разностное уравнение модели (3.14) считается

адекватным объекту, если расчетное значение рого критического значения

табл

неравенства:

2

S

y

где

табл

от чисел

F

,, ffpF

- критическое значение критерия, зависящее

21

, ff

степеней свободы для дисперсии

21

,1

21

lNfNf

и от уровня значимости p.

2

S

ост

Критическое значение Фишера выбирается из таблиц рас-

пределения Фишера (см. Приложение). Уровень значимости принимается равным

01,0

p

. При невыполнении условия (3.31)

уравнение модели не адекватно объекту и требуется изменить порядок модели.

Например, при идентификации кривой разгона по каналу

«расход флегмы - температура на верхней контрольной тарелке» дискретной динамической моделью 2-го порядка (объект иссле-

3

l

).

больше некото-

,, ffpF

, т. е. при выполнении

21

( )

>=

табл

,, ffpF

, (3.31)

21

S

2

y

и

2

S

ост

69

=

−

=

y

дования - колонна ректификации) получаем следующие результаты (табл. 3.4, рис. 3.3).

Таблица 3.4

Параметры дискретной динамической модели 2-го порядка,

полученные в результате идентификации кривой разгона

Параметры модели

объекта управления

W

O

501454,11=a

571428,02−=a

b

0907,0

°С/т/ч)

Така кванто-

вания

сигналов

0,10=T

мин

Критерий Фишера

(расчетный / табличный)

F

табл

3,132

1142,2=

Рис. 3.3. Кривые разгона по каналу «расход флегмы - температура на

э

y

верхней контрольной тарелке»:

- расчетная (по модели);

э

u

- ступенчатое входное воздействие

- экспериментальная;

70

(

)

Т. к. расчетное значение критерия Фишера намного пре-

вышает табличное (табл. 3.4), то считаем, что модель адекватна и ее можно использовать для дальнейших исследований.

Если кривая разгона идентифицируется моделями различ-

ных порядков и рассчитанные значения критерия Фишера превышают табличные, то выбирается модель с наибольшим значением критерия.

Следует отметить, что при идентификации модели обра-

ботка экспериментальных данных

i

Ni ,3=

была прове-

эiэ

uy ,

дена в приращениях при нулевых начальных условиях, а на графике (рис. 3.3) кривые построены по абсолютным значениям параметров.

Для этого принимаем:

нэ

i

Niuuuyyyyyy

,1,,, =+=+=+=

,

где

э

i

нн

yu ,

- начальные значения параметров, при которых нано-

нэ

i

н

ii

i

силось ступенчатое воздействие.

3.3. Дискретное динамическое описание объектов

управления со связанными параметрами

При необходимости учета в объекте управления внутрен-

них связей между параметрами составляется дискретное динамическое описание связного объекта. Для этого составляется описание объекта по отдельным каналам управления и возмущений (в результате структурной и параметрической идентификации моделей по кривым разгона), а затем формируется общее описание с учетом внутренних связей.

Например, для синтеза каскадной схемы управления опи-

сание объекта состоит из моделей внутреннего и внешнего каналов (рис. 3.4).

71

u

Рис. 3.4. Структурная схема объекта управления в каскадной ЦСУ:

21

,OOWW

- передаточные функции внутреннего и внешнего каналов

211

,, yyu

управления;

- вход и выходы каналов объекта

При этом входом для внутреннего канала является ступен-

1

u

чатое управляющее воздействие

, формируемое при снятии

кривой разгона, а входом внешнего канала - выход внутреннего

1

y

. Таким образом, общее запаздывание τ объекта управления

представляет собой суммарное значение запаздываний по внутреннему и внешнему каналам.

Такой объект (см. рис. 3.4) может быть описан следующей

системой разностных уравнений (например, 2-го порядка):

где

u

1

11 idididi

2

1

- входное управляющее воздействие;

i

111

1

2

1

221 +++++++++++

−++++

2

121

111111

ubyayay ++=

, (3.32)

11122212

++=

ybyayay

2

diddiddiddi

21

,iiyy

- выходные

,

управляемые параметры внутреннего и внешнего каналов;

1

лей

1121

1,,,

dbaa

и

1

21=n

и

2222

2,,,

dbaa

- параметры моделей (порядки моде-

22=n

).

Начальные условия для исследования модели объекта:

0



u

=



i



- величина входного ступенчатого воздействия; mc - пе-

где ременная, принимающая наибольшее значение из порядков

2n

(в данном случае mc=2);

mciпри

<

,

mciприu

≥

1n

и

72