Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Учебное пособие-1
.pdf
=
(
)
a
N
Составляем новую выборку выхода
y
y =
i
y
Величина
∧
y ⋅⋅=
∧
y
1
xf
теперь не зависит от первого фактора
1
==
)(
11
i
,
)(
xf
111i
⋅⋅⋅
)(
xf
11
Строим график зависимости
∧
( )
xfy
ние:
=
x
. Находим коэффициенты уравнения.
222
Составляем новую выборку, не зависящую от
y
i
y =
i
2
∧
y ⋅=
2
∧
y
1
==
)(
xf
22
1
,
)(
xf
i
22
⋅⋅
xf
22
y
:
1
Ni ,1
=
.
x
:
1
)()()(
xfxfxfa
332211
x
и
y
2
=
)(
. Выбираем уравне-
1
x
Ni ,1
;
)()(
xfxfa
3322
xfa
2
33
)()(
xfxfa
3322
:
)(
.
Данная процедура исключения функций и вычисления но-
вых выборок продолжается до получения последней выборки.
В общем случае:
y
,1
ik
−
= , Ni ,1= . (2.8)
)(
xf
,
ikk
:
N
y
∑
,
ik
==1
i
a
. (2.9)
При
3
k
расчет заканчивается после вычисления коэф-
фициентов функции
y
,
ik
xf и постоянного коэффициента
33
.
Этот метод еще называется методом последовательного
исключения функций.
31
x
y
m
m
(
)
1
m
−
=
2.3. Использование регрессионного анализа
при статистическом моделировании
После нахождения уравнения регрессии необходимо про-
вести статистический анализ. Анализ состоит в следующем:
- проверяется значимость коэффициентов уравнения рег-
рессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости;
- устанавливается адекватность полученной модели (ее соответствие реальному объекту).
Эти исследования называются регрессионным анализом.
Для проведения анализа необходимо выполнение следую-
щих условий:
- входной параметр
должен измеряться с пренебрежимо
малой ошибкой;
- результаты измерений выходного параметра
должны
представлять собой независимые нормально распределенные
случайные величины;
N
- при проведении эксперимента с объемом выборки
гда каждый опыт повторяется
2
2
1
22
,...,,
SSS должны быть однородными.
N
раз, выборочные дисперсии
, ко-
Для установления однородности выборочных дисперсий
вначале вычисляются частные средние из параллельных опытов:
m
y
∑
,
ui
==1
u
y
i
, Ni ,1= . (2.10)
Затем вычисляются выборочные дисперсии:
где 1
mf - число степеней свободы.
m
∑
2
=
S
i
,
1
=
u
2
−
yy
iui
, Ni ,1= , (2.11)
−
В общем случае, число степеней свободы любой характе-
ристики определяется числом измерений (опытов) за вычетом
32
i
−
p
N
числа оценок, рассчитанных по этим измерениям, и используемых при вычислении данной характеристики.
Следующим этапом является вычисление отношения
2
S
∑
=Ni
1
max
S
, где
2
i
2
S - максимальная дисперсия из значений
max
-ых
выборочных дисперсий.
По критерию Кохрена выборочные дисперсии считаются
однородными, если выполняется следующее условие:
2
S
N
∑
=
i
1
max
S
2
i
m
где
объема выборки
G
)1,(−mNGp - табличное значение критерия, зависящее от
N
, разности
роятностная характеристика выполнения гипотезы: при
( )
1
и уровня значимости p (ве-
1,
−<=
mNGp
, (2.12)
=0,01
или 1 % - в одном случае из 100 гипотеза не выполняется).
При невыполнении условия (2.12), дисперсии считаются
неоднородными и тогда статистический анализ проводить нельзя.
При однородности дисперсий
2
S вычисляется дисперсия
i
воспроизводимости:
N
2
S
∑
i
==1
i
, (2.13)
S
2
воспр
которая необходима для оценки значимости отдельных коэффициентов уравнения регрессии.
По критерию Стьюдента значимость коэффициентов урав-
нения регрессии проверяется по выполнению условия:
b
j
t
j
>=
S
bj
)( ft
, (2.14)
p
33
j
p
(
)
>
=
(
)
lNm
где
b
- j-ый коэффициент уравнения регрессии;
j
квадратичное отклонение
-ого коэффициента, определяемое по
S
- средне-
bj
закону накопления ошибок:
N
S
=
bj
)( ft
- табличное значение критерия Стьюдента.
p
∑
=
i
1
2
b
∂
j
y
∂
i
2
⋅
S
, (2.15)
воспр
Если проверяемое условие выполняется для выбранного
, то
b
уровня значимости
считается значимым для уравнения
j
регрессии.
Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения
регрессии, а оставшиеся коэффициенты вновь пересчитываются,
т.к. они взаимосвязаны между собой.
Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости:
1
−⋅=−⋅= mNNmNf
1
.
Проверка адекватности полученной модели может осуществляться по критерию Фишера.
Рассматриваются два случая:
1
m
m
).;
1
).
- при наличии параллельных опытов (
- при отсутствии параллельных опытов (
При наличии параллельных опытов сравниваются диспер-
2
S
сии адекватности
и воспроизводимости
ад
F
=
S
N
∑
где
2
S
ад
результатов параллельных опытов;
считанные по модели;
i
=
=
1
2
ˆ
−⋅
yym
ii
;
y
- частные средние значения из
−⋅
i
2
2
S
ад
2
воспр
ˆ
y
- значения отклика, рас-
i
lNmf −⋅=
- число степеней свободы
2
S
:
воспр
, (2.16)
дисперсии адекватности.
34
(
)
(
)
1
N
l
N
1
N
По критерию Фишера, если условие:
2
S
S
ад
2
воспр
),,(
<=
табл
ffpF
(2.17)
21
F
выполняется, то значит модель адекватна объекту
),,(
ffpF
(
табл
2
- табличное значение критерия,
21
lNmf −⋅=
).
1
1
−⋅= mNf
Чем меньше значение критерия Фишера (при наличии параллельных опытов), тем точнее полученная модель. Если неравенство не выполняется, то модель непригодна к использованию.
При отсутствии параллельных опытов дисперсия воспроизводимости не рассчитывается. Качество аппроксимации оценива-
2
S
ется сравнением остаточной дисперсии
2
S
сительно среднего
y
где
та);
- измеренные значения выхода (в результате эксперимен-
i
N
y
∑
i
1
=
i
=
y
- среднее значение, рассчитанное по эксперимен-
:
y
2
S
=
S
ост
N
∑
1
=
i
N
( )
∑
i
=
1
у
i
−
F
2
S
=
y
2
=
S
ост
и дисперсии отно-
ост
, (2.18)
2
yy
−
, (2.19)
2
ˆ
−
yy
ii
, (2.20)
−
−
тальным данным;
ˆ
y
- рассчитанные значения выхода по модели.
i
,
35
F
p
(
)
Дисперсия относительно среднего (2.19) характеризует отклонение экспериментальных значений выхода от среднего значения.
Остаточная дисперсия (2.20) характеризует отклонение
экспериментальных значений выхода от рассчитанных по модели.
Критерий Фишера (2.18) показывает, во сколько раз
уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения
регрессии по сравнению с рассеиванием относительно среднего
значения.
Чем больше рассчитанное значение
превышает таблич-
ное значение (при отсутствии параллельных опытов):
2
S
y
F
2
S
ост
при заданном уровне значимости
,
ff
21
,1
21
lNfNf −=−=
, тем точнее модель описывает
>=
( )
,, ffpF
(2.21)
табл
21
и числах степеней свободы
объект.
При невыполнении неравенства модель нецелесообразно
использовать (необходимо выбрать новую структуру модели для
аппроксимации).
2.4. Параболическая и трансцендентная регрессии
Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то коэффициенты этого полинома (при использовании МНК) находят решением системы линейных уравнений.
Например, для описания экспериментальной кривой выбрано уравнение параболы:
2
xbxbby ⋅+⋅+= . (2.22)
210
,, bbb
в критерий МНК
210
Для расчета коэффициентов
р
y
(2.5) вместо
подставляется выбранное уравнений:
i
ˆ
36
n
∑
i
=
i
1
22
xbxbbyФ
210
→⋅−⋅−−=
bbb
,,
210
min)(
. (2.23)
Находим первые производные по искомым коэффициентам
и приравниваем их к нулю:
∂
Ф
∂
b
0
∂
Ф
∂
b
0
∂
Ф
∂
b
0
[ ]
i
∑
1
=ni
n
[ ]
i
∑
1
=
i
n
[ ]
i
∑
1
=
i
2
( )
xbxbby
210
2
2
( )
( )
210
210
;
012
=−⋅⋅−⋅−−⋅=
; (2.24)
02
=−⋅⋅−⋅−−⋅=
xxbxbby
2
.
02
=−⋅⋅−⋅−−⋅=
xxbxbby
Выполнив аналитические преобразования, составляем систему нормальных уравнений:
N
0
0
i
i
1
N
2
i
1
i
N
10
1
1
i
1
i
N
2
i
i
1
N
3
i
1
i
N
2
i
N
2
i
N
2
1
i
N
2
=⋅+⋅+⋅
yxbxbNb
∑∑∑
i
3
i
4
i
i
===
i
11
N
(2.25)
⋅=⋅+⋅+⋅
∑∑∑∑
i
∑∑∑∑
i
xyxbxbxb
====
11
N
====
1
ii
2
⋅=⋅+⋅+⋅
xyxbxbxb
ii
Решая полученную систему уравнений, находим искомые
коэффициенты
,, bbb [11].
210
При повышении порядка полинома (2.1) и малом объеме
выборки
2
S , что может привести к неадекватности модели.
ост
N
, увеличивается значение остаточной дисперсии
Для уменьшения числа коэффициентов уравнения регрессии применяют трансцендентную регрессию. Однако, вычисление для нее коэффициентов может оказаться достаточно сложным, т. к. необходимо решать систему нелинейных уравнений.
Для упрощения расчетов используют методы линеаризации
(с помощью простых преобразований и замены переменных).
37
T
R
=
R
⋅−=
ˆ
=
y
Допустим, необходимо определить коэффициенты
E
−
TR
⋅
ekk
⋅=
в уравнении Аррениуса:
0
.
Ek ,
0
Логарифмируем левую и правую части уравнения:
lnln
kk
Выполняем замены:
В результате получаем уравнение прямой
E
−=
0
.
⋅
kz ln
,
ln
kb = , Tx1= ,
00
b −=
E
xbbz ⋅+=
10
.
, удоб-
1
ное для использования МНК. Для практического использования
уравнения Аррениуса необходимо провести обратный пересчет:
b
0
ek =
0
,
RbE
.
1
Другой пример (степенная функция):
bby
⋅= .
10
ln
ba = ,
00
+= .
10
x
lnln
bxby ⋅+= .
10
ln
ba =
.
11
xaaz
ln
ln
ˆ
ˆ
yz
,
После вычисления коэффициентов линеаризованного уравнения необходимо также провести расчет коэффициентов исходного уравнения.
2.5. Основы корреляционного анализа
Задача корреляционного анализа состоит в оценке тесноты
(силы) связи корреляционной зависимости выхода
и входа x
по величине рассеяния этих значений вокруг частных средних.
Для оценки тесноты связи линейной зависимости
ˆ
xbby ⋅+=
рассчитывается коэффициент парной корреляции:
10
38
r
r
(
)
≤
≤
θ
→
θ
=
θ
=
θ
N
где
[ ]
∑
∗
=
1
i
=
r
)1(
N
∑
2
i
1
=
==
SS
yy
N
2
)(
−
yy
i
,
1
−
−⋅−
xxyy
)()(
ii
⋅⋅−
SSN
xy
2
==
SS
xx
среднеквадратичные отклонения выхода и входа.
Откуда
N
[ ]
∑
i
=
=
∗
изменяется в следующем диапазоне:
1
N
i
1
2
i
Величина
10 ≤≤∗r
.
∗
r
Чем ближе значение коэффициента
−⋅−
xxyy
)()(
ii
N
−⋅−
xxyy
∑∑
i
==
1
)()(
i
∗
к единице
тем теснее связь между входом и выходом.
Если
∗
r
0→
, то связь отсутствует.
, (2.26)
N
∑
i
1
=
N
2
)(
−
xx
i
-
1
−
. (2.27)
2
∗
1→
r
,
Теснота связи для нелинейной зависимости
нивается по величине корреляционного отношения.
ξθ
−= 1
, (2.28)
2
)(
SlN
⋅−
где
ξ
=
Диапазон изменения:
ношения к единице
При
ост
.
2
)1(
SN
⋅−
y
10
. Чем ближе величина от-
1
, тем теснее связь между x и y.
1
между входом и выходом есть функциональная
связь.
При
0
связь между входом и выходом отсутствует.
ˆ
xfy =
оце-
39
(
)
y
∂
∂
∂
Оценка тесноты связи по величине корреляционного отношения называется корреляционным анализом.
Для оценки тесноты множественной регрессии
ˆ
=
xxxfy ,...,,
исследования проводятся по коэффициенту
k
21
множественной корреляции:
*'*'
rbrbrbR ⋅++⋅+⋅=
, (2.29)
yxkyxyx
''2'
,...,
bbb
- оценки ко-
k
где
выходом
*'
2
21 k
,...,,
rrr
yxyxyx
21 k
1
***
- коэффициенты парной корреляции между
и соответствующим входом;
...
1
эффициентов уравнения регрессии.
Для определения оценок проводят нормировку всех значений случайных величин (всех входов и выхода):
yyy−
i
,
S
y
xxx−
jji
,
Ni ,1=
;
kj ,1=
,
Ni ,1=
,
xy
,
- эксперименталь-
jii
где
0
=
i
0
=
ji
00
,
xy
- нормированные значения;
jii
S
xj
xy,
ные значения;
вующего входа (фактора);
- средние значения; j - номер соответст-
j
SS ,
- среднеквадратичные откло-
xjy
нения.
Уравнение регрессии для нормированных значений при отсутствии свободного члена:
'
0
ˆ
1
Для расчета оценок
N
( )
∑
=
1
i
'
0
2
1
,...,
1
00
ˆ
yyФ
ii
...
2
''2'
bbb
используется МНК:
k
2
→−=
,...,
bbb
1
0'0
xbxbxby ⋅++⋅+⋅=
.
kk
.
min
''2'
k
Определяются частные производные:
Ф
=
'
∂
b
1
Ф
0
,
∂
0
=
'
b
2
,…,
Ф
0'=
∂
b
.
k
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]