Моделирование систем. Методические указания для проведения лабораторных работ по дисциплине «Моделирование систем»

УДК 519.71

ББК 22.18

С30

Сёмина, В.В.

С30 Моделирование систем [Текст]: метод. указ. для проведения лабораторных работ по дисциплине «Моделирование систем»/ В.В. Сёмина. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2016. – 17 с.

Методические указания предназначены для студентов физико-

технологического факультета направления 270303 «Системный анализ и управ-

ление» и профиля подготовки «Теория и математические методы системного анализа и управления в технических, экономических и социальных системах».

Табл. 5. Библиогр.: 9 назв.

© ФГБОУ ВО «Липецкий государственный технический университет», 2016

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

Моделирование разомкнутой линейной системы

Цель работы: освоение методов моделирования и анализа одномерной линейной непрерывной системы с помощью среды MATLAB.

Краткие теоретические сведения

Для описания линейных систем могут применяться несколько способов:

дифференциальные уравнения, модели в пространстве состояний, передаточ-

ные функции, модели вида «нули-полюса».

Первые два способа называются временныَми, поскольку описывают по-

ведение системы во временной области и отражают внутренние связи между сигналами. Передаточные функции и модели вида «нули-полюса» относятся к

частотным способам описания, так как непосредственно связаны с частотны-

ми характеристиками системы и отражают только вход-выходные свойства (то есть, описывают динамику не полностью). Частотные методы позволяют при-

менять для анализа и синтеза алгебраические методы, что часто упрощает рас-

четы. С другой стороны, для автоматических вычислений более пригодны ме-

тоды, основанные на моделях в пространстве состояний, так как они использу-

ют вычислительно устойчивые алгоритмы линейной алгебры.

Исходные уравнения динамики объектов, которые строятся на основе за-

конов физики, имеют вид нелинейных дифференциальных уравнений. Для при-

ближенного анализа и синтеза проводят их линеаризацию в окрестности уста-

новившегося режима и получают линейные дифференциальные уравнения.

Линейное уравнение

y 2y 3y 4u 5u

можно записать в операторной форме

( p2 2 p 3) y (4 p 5)u или D( p) y N( p)u ,

3

где u(t) – входной сигнал, y(t) – сигнал выхода, p dtd – оператор дифферен-

цирования, D( p) p2 2 p 3 и N( p) 4 p 5 – операторные полиномы.

Передаточная функция W (s) линейной стационарной системы от ком-

плексной переменной s определяется как отношение преобразования Лапласа

выхода к преобразованию Лапласа входа при нулевых начальных условиях:

то есть, совпадает с отношением операторных полиномов N( p) / D( p) при за-

мене переменной p на s .

Передаточная функция в среде Matlab вводится в виде отношения двух многочленов от комплексной переменной s. Полиномы хранятся как массивы коэффициентов, записанных по убыванию степеней. Например, передаточная функция

F (s) 2s 4

s3 1,5 s2 1,5 s 1

вводится следующим образом:

>>f = tf ( [2 4], [1 1.5 1.5 1] )

Впамяти создается объект класса tf, описывающий передаточную функ-

цию. Точка с запятой в конце команды подавляет вывод на экран. По переда-

точной функции можно легко построить модель в форме «нули-полюса»:

>> f_zpk = zpk(f) Zero/pole/gain:

2 (s+2)

-----------------------

(s+1) (s^2 + 0.5s + 1)

4

Нулями называются корни числителя, полюсами – корни знаменателя.

Эта функция имеет один нуль в точке s 2 и три полюса в точках s 1 и s 0,25 0,9682i . Паре комплексных полюсов соответствует квадратный

трехчлен.

Модель в пространстве состояний связана с записью дифференциальных

уравнений в стандартной форме Коши (в виде системы уравнений первого по-

рядка):

x A x B u y C x D u .

Здесь x – вектор переменных состояний размера n 1, u – вектор вход-

ных сигналов (вектор управления) размера m 1 и y – вектор выходных сигна-

лов размера p 1. Кроме того, A, B,C и D – постоянные матрицы. Согласно правилам матричных вычислений, матрица A должна быть квадратной размера n n , матрица B имеет размер n m , матрица C – p n и матрица D – p m .

Для систем с одним входом и одним выходом матрица D – скалярная величина.

Для преобразования передаточной функции в модель в пространстве со-

5

Это означает, что матрицы модели имеют вид

Одна из важнейших характеристик линейной системы – коэффициент усиления в установившемся режиме или статический коэффициент усилении

(static gain, DC-gain). Его можно определить как установившееся значение сиг-

нала выхода при постоянном входном сигнале, равном единице. Размерность этой величины равна отношению размерностей сигналов выхода и выхода.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

y 2y 3y 4u 5u .

Полагая все производные равными нулю, получаем

3y 5u y 53 u .

Статический коэффициент усиления равен ks 5/ 3 . Если задана переда-

точная функция, для вычисления ks надо подставить в нее s 0, поскольку пе-

ременная s соответствует оператору дифференцирования. Рассмотренному

выше уравнению можно сопоставить передаточную функцию

имеет полюс в точке s 0), этот предел равен бесконечности, то есть, при по-

стоянном сигнале выход бесконечно увеличивается или уменьшается, не дости-

гая установившегося режима.

Тот же результат можно получить с помощью эквивалентной модели в пространстве состояний. С помощью среды Matlab находим

6

Полагая x 0 , получаем модель, определяющую установившийся режим

откуда следует

ks C A 1B D .

Чтобы найти статический коэффициент усиления модели f в Matlab, ис-

пользуется команда

>> k = dcgain ( f )

При подаче на вход линейной системы гармонического (синусоидально-

го) сигнала u(t) sin t с частотой (она измеряется в радианах в секунду), на выходе будет также гармонический сигнал той же частоты, но другой амплиту-

ды и фазы

y(t) Asin( t ) ,

где A – амплитуда и – сдвиг фазы.

Частотная характеристика определяется как реакция системы на ком-

плексный экспоненциальный сигнал

cos t j sin t .

Для ее построения надо использовать подстановку s j в передаточной функции W (s) . Выражение W ( j ) называется частотной передаточной функ-

цией или амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы (АФЧХ).

Зависимость модуля величины W ( j ) от частоты называется амплитуд-

ной частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость аргумента комплексно-

го числа (фазы) W ( j ) от частоты – фазовой частотной характеристикой

(ФЧХ):

A( ) W ( j ) , ( ) argW ( j ) arctg ImW ( j ) . ReW ( j )

7

АЧХ показывает, насколько усиливается амплитуда сигналов разных ча-

стот после прохождения через систему, а ФЧХ характеризует сдвиг фазы сигна-

ла.

Чтобы построить частотные характеристики в Matlab, надо сначала со-

здать массив частот в нужном диапазоне. Для этого можно использовать функ-

ции linspace (равномерное распределение точек по линейной шкале) и logspace

(равномерное распределение точек по логарифмической шкале). Команда

>> w = linspace (0, 10, 100)

строит массив из 100 точек с равномерным шагом в интервале от 0 до 10, а ко-

манда

>>w = logspace (-1, 2, 100)

–массив из 100 точек с равномерным шагом по логарифмической шкале в ин-

тервале от 10 1 до 102 .

Частотная характеристика на сетке w для линейной модели f (заданной как передаточная функция, модель в пространстве состояний или в форме «ну-

ли-полюса») вычисляется с помощью функции freqresp: >> r = freqresp(f, w)

Функция freqresp возвращает трехмерный массив. Это связано с тем, что она применима и для многомерных моделей (с несколькими входами и выхода-

ми), передаточная функция которых представляет собой матрицу. Первые два индекса обозначают строку и столбец в этой матрице, а третий – номер точки частотной характеристики. Для системы с одним входом и одним выходом удобно преобразовать трехмерный массив в одномерный командой

>> r = r(:)

Для вывода графика АЧХ на экран можно использовать команды Matlab:

>>plot ( w, abs(r) )

>>semilogx ( w, abs(r) )

>>loglog ( w, abs(r) )

8

В первом случае масштаб обеих осей координат – линейный, во втором случае используется логарифмический масштаб по оси абсцисс (частот), в по-

следнем – логарифмический масштаб по обеим осям. Для вычисления фазы (в

градусах) используется команда

>> phi = angle(r)*180/pi

после чего можно строить ФЧХ, например:

>> semilogx ( w, phi )

Многие динамические свойства системы (например, быстродействие, пе-

ререгулирование) определяются полюсами передаточной функции (или, что то же самое, собственными числами матрицы A модели в пространстве состоя-

ний). Передаточную функцию можно записать как произведение передаточных функций элементарных звеньев первого и второго порядков. Таким образом,

множество полюсов передаточной функции устойчивой системы составляют полюса передаточных функций двух типов простейших звеньев: апериодиче-

ских и колебательных.

Для нахождения полюсов передаточной функции f можно использовать функцию

>> p = pole ( f )

Вызов функции

>> [w0,zeta,p] = damp ( f )

позволяет найти не только полюса p, но также соответствующие им собствен-

ные частоты w0 и коэффициенты демпфирования zeta в виде массивов.

Нули передаточной функции f вычисляются как

>> z = zero ( f )

Устойчивость системы не зависит от расположения нулей, но они суще-

ственно влияют на переходные процессы. Команда

>> pzmap ( f )

9

строит карту расположения нулей (они обозначаются кружками) и полюсов

(крестики) системы на комплексной плоскости.

табл. 1).

2. Построить эквивалентные модели в пространстве состояний и в форме

«нули-полюса».

3. Определить коэффициент усиления в установившемся режиме и поло-

су пропускания системы.

4.Научиться строить импульсную и переходную характеристики, карту расположения нулей и полюсов, частотную характеристику.

5.Научиться использовать окно LTIViewer для построения различных характеристик.

6.Научиться строить процессы на выходе линейной системы при произ-

вольном входном сигнале.

10