Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Учебное пособие-1
.pdf
≤
≤
→
После этого составляется система линейных уравнений, в
результате решения которой находятся искомые коэффициенты.
Диапазон изменения коэффициента множественной корре-
10
R
ляции:
1
R
, тем теснее связь.
. Чем ближе величина коэффициента к единице
Для практического использования уравнения регрессии необходимо перейти к натуральному масштабу:
S
y
0
bb ⋅=
jj
0
,
S
xj
k
∑
=
1
j
kj ,1=
;
⋅−=
xbyb
jj
- при наличии свободного члена.
2.6. Построение экспериментально-статистических
моделей методами планирования эксперимента
В случае, когда на объекте моделирования можно провести
активный эксперимент и необходимо большое число опытов по
многим параметрам, применяют методы планирования эксперимента [4]. К ним относятся: ортогональное, симплексное и оптимальное двухуровневое планирование. Рассмотрим оптимальное
двухуровневое планирование.
При планировании эксперимента условия опытов представляют собой фиксированное число значений уровней по каждому фактору.
При планировании по схеме полного фактора эксперимента
(ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех
выбранных для исследования уровнях. При этом общее число
опытов при проведении эксперимента рассчитывается по формуле:
k
lN =
, (2.30)
где
l
- число уровней для каждого фактора; k - число факторов.
Если эксперимент проводится только на двух уровнях (из
k
факторов), то постановка опытов по такому плану называется
41
2
2
z
x
÷
=
÷
=
÷
=
τ
оптимальным двухуровневым планированием (
N 2=
k
).
При этом уровни факторов представляют собой границы
исследуемой области по каждому технологическому параметру
(минимальное
min
z
и максимальное
j
max
z
значение по j-му фак-
j
тору).
По каждому фактору вычисляется центр плана и интервал
варьирования:
0
z
=
j
0
z
где
- координата центра плана;
j
От системы координат
теме
где
по формуле кодирования:
x
- значение факторов в безразмерной системе координат.
j
minmax
zz
+
jj
,
z
=∆
j
z
∆
переходим к безразмерной сис-
0
zz
−
x
=
j
jj
z
∆
j
minmax
zz
−
jj
,
0
- интервал варьирования.
j
,
kj ,1=
, (2.32)
kj ,1=
, (2.31)
В безразмерной системе верхний предел по каждому пара-
метру равен
+
1, а нижний предел равен -1 (
max
x
j
min
1
+=
,
x
j
1
−=
).
Рассмотрим построение двухуровневого плана и расчета
коэффициентов уравнения регрессии на примере процесса реакции.
Постановка задачи: необходимо установить зависимость
выхода продукта реакции от температуры, давления и времени
пребывания в аппарате
3010
мин.
T
200100
°С,
P
62
МПа,
Записываем минимальные и максимальные значения пара-
метров:
42
2
+
2
+
2
+
2
−
2
−
2
−
x
50
−
50
−
2
−
2
−
10
−
10
−
min
z
=100 °С,
1
min
z
=2 МПа,
2
min
z
=10 мин,
3
max
z
1
max
z
2
max
z
3
Координаты центра плана:
0
=z
1
0
=z
2
0
=z
3
100200
26
=
1030
=
4
МПа;
20
=
150
мин.
°С;
Интервалы варьирования:
=∆z
1
=∆z
2
=∆z
3
100200
26
=
1030
=
2
МПа;
10
=
50
°С;
мин.
Переходим к безразмерной системе
min
1
=x
150100
1
−=
,
=200 °С;
=6 МПа;
=30 мин.
:
max
1
min
2
max
2
min
3
max
3
=x
=x
=x
=x
=x
150200
42
−=
46
2010
2030
1
+=
;
1
,
1
+=
;
1
−=
,
1
+=
.
43
u
j
≠
∂
∂
∂
Составляем матрицу планирования (табл. 2.3), причем для
N
выбранного примера число возможных комбинаций
823=
факторов будет равно
.
для трех
Кодированная матрица в безразмерной системе обладает
тремя свойствами, если дополнительно ввести в нее столбец фиктивной переменной (
10+=x
) (эти свойства будут использовать-
ся для расчета коэффициентов уравнения регрессии).
Свойства матрицы планирования:
n
1.
∑
i
,
01=⋅
xx
=
uiji
kuj ,0, =
,
.
Свойство ортогональности матрицы планирования (равен-
ство нулю скалярных произведений всех вектор-столбцов).
N
2.
∑
i
x
=
,
01=
ji
kj ,1=
.
Сумма значений в столбцах равна нулю.
N
3.
∑
=
i
2
ji
1
,
Nx
=
kj ,0=
.
Сумма квадратов значений в столбцах равна числу воз-
можных комбинаций
N
.
Выбираем следующее уравнение регрессии:
ˆ
3322110
xbxbxbxbby ⋅+⋅+⋅+⋅+= ...
.
kk
Тогда матричная форма для системы нормальных уравне-
ний получается из условия МНК:
∂
∑
Ф
b
N
( )
=
1
i
00=
,
2
ˆ
yy
ii
Ф
∂
01=
b
,…,
→−=Φ
,...,,
bbb
k
10
Ф
∂
b
k
min
0=
.
.
Решение системы нормальных уравнений в матричной
форме можно представить следующим образом:
44
y
x
y
45
Таблица 2.3
3
x
2
-1 -1 2
x
1
x
-1
системе координат
Значения факторов в безразмерной
Набор экспериментальных данных
0
x
3
z
Таблица 2.4
Набор составляющих факторов
321
xxx ⋅⋅
32
xx ⋅
31
xx ⋅
21
xx
⋅
в безразмерной системе № оп.
3
Значения
x
2
z
2
x
масштабе
1
Значения факторов в натуральном
1
z
x
…
1 100 2 10 +1
2 200 2 10 +1 +1 -1 -1 6
3 100 6 10 +1 -1 +1 -1 8
4 200 6 10 +1 +1 +1 -1 10
5 100 2 30 +1 -1 -1 +1 4
6 200 2 30 +1 +1 -1 +1 12
7 100 6 30 +1 -1 +1 +1 6
№
оп.
8 200 6 30 +1 +1 +1 -1 2
… … … … … … … … …
где
x
X
X
⋅
X
B
Y
**
)(
xxx
...
k
11101
xxx
...
k
X
=
21202
- матрица значений
YXBXX ⋅=⋅⋅
,
............
xxx
...
10
xxx
...
00201
xxx
...
*
=
11211
kNNN
N
N
- транспонированная матрица;
............
xxx
...
21
b
0
b
1
=
- вектор искомых коэффициентов уравнения регрессии;
kNkk
...
b
k
y
1
y
2
=
- вектор значений выхода объекта.
...
;
y
N
Благодаря первому свойству резко уменьшаются трудно-
сти, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии
для матрицы планирования. Это связано с тем, что матрица
*
становиться диагональной (все элементы такой матрицы,
за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, а
диагональные элементы, согласно последнему свойству, будут
N
равны объему выборки
).
1**
−
)()(
⋅⋅⋅= XXYXB
,
46
N
N
+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+=
N
N
где
равны
B
1*
)(−⋅ XX
- обратная матрица (элементы главной диагонали
1
, остальные элементы равны 0).
N
∑
0
1
i
=
N
⋅
∑
=
1
1
i
=
1
⋅
yx
ii
N
1
0
yx
ii
N
O
...
N
⋅
∑
i
=
yx
1
iki
O
...000
N
N
0...00
∑
=
i
N
∑
=⋅
=
i
...
0
N
1
∑
=
i
y
i
x
⋅
0
i
N
1
y
i
x
⋅
1
i
N
1
x
ki
1
.
y
i
⋅
N
Отсюда формула для вычисления коэффициентов:
N
yx
⋅
∑
=
1
i
b
=
j
iji
,
kj ,0=
. (2.33)
Пользуясь последней формулой и планом, представленным
в таблице, вычисляются коэффициенты линейного уравнения.
Аналогично выполняется расчет коэффициентов для более
полных уравнений регрессии (при введении в модель следующих
членов ряда Тейлора):
ˆ
xxbxbxbxbby
21123322110
(2.34)
xxxbxxbxxb
⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+
.
32112332233113
Если в выбранной структуре модели присутствуют коэффициенты взаимодействия, в этом случае матрицу планирования
необходимо расширить (табл. 2.4).
Эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам:
N
yxx
⋅⋅
)(
21
∑
=
1
i
b
=
12
ii
,
N
yxx
⋅⋅
)(
31
∑
=
1
i
b
=
13
ii
, (2.35)
47
N
N
N
yxx
⋅⋅
)(
32
∑
=
1
i
b
=
23
ii
b
,
123
N
yxxx
⋅⋅⋅
)(
321
∑
=
1
i
=
ii
.
Если поставить дополнительно параллельные опыты, то
можно рассчитать дисперсию воспроизводимости, выявить значимость коэффициентов уравнения регрессии и проверить адекватность модели по критерию Фишера.
Этот метод позволяет свести к минимуму число необходимых опытов и значительно упростить вычисление коэффициентов уравнения регрессии.
Контрольные вопросы
1. В чем особенность экспериментально-статистического
подхода к моделированию?
2. Какие параметры технологических процессов относят к
факторам, а какие к откликам? Приведите примеры.
3. Что такое корреляционное поле?
4. Что такое эмпирическая линия регрессии?
5. В чем суть МНК при определении параметров регресси-
онной модели?
6. Какими методами можно описать зависимость между не-
сколькими входа и одним выходом?
7. Сформулируйте задачи регрессионного анализа.
8. Какие дисперсии вы знаете? Как они рассчитываются?
9. Что оценивается по критериям Стьюдента, Кохрена,
Фишера? Как они рассчитываются?
10. Сформулируйте задачу корреляционного анализа.
11. Какие показатели оценки тесноты связи между выходом
и входом Вы знаете? Как они рассчитываются?
12. В чем суть метода оптимального двухуровневого пла-
нирования?
13. Какими свойствами обладает матрица планирования?
48
y
y
Задание
Определение коэффициентов однопараметрических
моделей технологических процессов статистическими методами
Цель задания:
1) изучить методику обработки экспериментальных данных
и получить параметры модели технологического процесса МНК;
2) проверить адекватность полученной модели по крите-
рию Фишера.
Постановка задачи.
Для указанного варианта исходных данных (табл. 2.5) построить эмпирическую линию регрессии
по x. По виду по-
строенной линии подобрать уравнение регрессии (табл. 2.6). Используя МНК составить систему уравнений и решить ее относительно определяемых коэффициентов. Составить схему алгоритма и программу расчета коэффициентов модели, оценить адекватность модели по критерию Фишера (см. Приложение), а также
оценить тесноту связи между
и x по величине корреляцион-
ного отношения (если подобранное уравнение регрессии прямая,
то вычисляется коэффициент парной корреляции).
Содержание отчета:
1. Название и цель задания, номер варианта.
2. Математическая формулировка задачи, содержащая все
формулы, выводы и пояснения для решения поставленной задачи.
3. Схема алгоритма расчета с комментариями.
4. Листинг программы.
5. Анализ результатов (приводятся численные значения коэффициентов модели, критерия Фишера, величины корреляционного отношения, графики экспериментальной и расчетной кривых) с конкретными выводами.
49
50
Таблица 2.5
Варианты заданий к выполнению лабораторной работы
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13, 0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
3,95 7,95 11,95 15,95 19,95 23,95 27,97 32,0 36,03 39,95 44,03 48,04 52,03 55,67 60,0 63,98 68,01 72,05 75,94 8 0,02 x 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7, 0 7,5 8,0 8,5 9, 0 9,5 10,0 1 0,5 11,0 11,5
4,95 6,45 7,95 9,45 10,95 12,45 13,96 15,5 17,03 18,35 20,03 21,54 23,03 24,47 26,0 27,48 29,01 30,55 31,96 33, 52 x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2, 0 2,1 2,2 2,3 2, 4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
12,95 14,95 16,78 18,46 20,02 21,47 22,84 24,15 25,38 26,43 27,59 28,62 29,6 30,46 31,38 32,27 33,08 33,48 33,91 34,58 x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2, 0 2,1 2,2 2,3 2, 4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
6,95 7,47 8,03 8,63 9,27 9,95 10,69 11,48 12,31 13,07 14,03 14,95 1 5,91 16,85 17,92 18,98 20,13 21,33 22,44 23, 74 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13, 0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
1,25 2,0 3,12 4,81 7,35 11,16 16,01 23,61 38,6 57,41 88,66 129,9 194,8 291,8 437,9 6 56,8 985,3 1478 2216 2485 x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2, 0 2,1 2,2 2,3 2, 4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
9,95 10,67 11,44 12, 26 13, 15 14,1 15,12 16,23 17,44 18,61 20,03 21,47 23,01 24, 59 26,38 28,27 30,33 32,57 34,78 37, 54 x 1,0 1,07 1,14 1,21 1,28 1,35 1,42 1,49 1,56 1,63 1,7 1,77 1,84 1,91 1,98 2,05 2,12 2,19 2,26 2,33
10,82 11,61 12,45 13,3 14,34 15 ,38 16, 51 17,75 19,07 20,37 21,92 23,32 25,22 26,38 28,97 31,05 3 3,34 35,73 38,29 41,13 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13, 0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
0,385 0,412 0,44 0, 454 0, 469 0,493 0,508 0,5 0,485 0,47 0,465 0,454 0,441 0,427 0,412 0,398 0,384 0,371 0,359 0,348 x 0,01 0,09 0,17 0,25 0,33 0,41 0,49 0,57 0,65 0,73 0, 81 0,89 0,97 1,05 1,13 1,21 1, 29 1,37 1,45 1,53
24,89 24,3 23,6 22,81 21,94 21,02 20,09 19,16 18,23 17,2 16,5 15,48 14,63 13,75 13,01 12,27 11,62 11,01 10,32 9,81 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13, 0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
19,95 33,28 42,81 49,95 55,51 59,35 63,7 66,67 69, 26 71,38 73,37 75,08 76,5 77, 74 78,95 79,98 80,97 81,87 82,57 83, 56 x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1, 2 1,3 1,4 1,5 1, 6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1
900 450 287,5 210 166,6 139,8 121,8 109,3 100 92,9 87,5 83,2 79,6 76,6 74,2 72,1 70,4 68,9 67, 5 66,3 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13, 0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
4,12 3,59 3,39 3,28 3,2 3,18 3,16 3,17 3 ,18 3,09 3,16 3,15 3,13 3,14 3,07 3,08 3,07 3,06 3,08 3,07 x 0,16 0,26 0,36 0,46 0,56 0,66 0,76 0,86 0,96 1,06 1, 16 1,26 1,36 1,46 1,56 1,66 1, 76 1,86 1,96 2,06
37,9 59,1 77,9 94,2 107,9 119,3 128,4 135,7 141,1 145,0 147,8 149,4 150,2 150 ,1 149,6 148,6 147,2 145,6 143,6 14 3,6
x
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
№вар\№оп
13
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]