Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Учебное пособие-1
.pdf
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
i
i
Для бинарной системы “вода – этиловый спирт” коэффици-
γ
енты активности
рассчитываются по следующим зависимо-
ji ,
стям:
=
γ
lg
i
1,
( )
=
γ
lg
i
2,
( )
γγ
где
на
-ой тарелке;
сящие от температуры;
- коэффициент активности воды и этилового спирта
2,1,,ii
2
2,1212
2
1,
2
1,2121
2
2,
2
2,12
2
1,21
ccbbaa
xx
- мольные доли воды и спирта на
2,1,,ii
⋅⋅+⋅+
,,,,,,
- коэффициенты, зави-
211221122112
11
2
xxbxax
iiii
2,1,12
11
2
xxbxax
⋅⋅+⋅+
iiii
2,1,21
-ой тарелке.
При давлении в ректификационной колонне, близком к ат-
мосферному:
exp
a
12
b
exp
12
2112
=
a
21
a
b
=
b
21
a
где
A
12
=643,7;
1
A
=1112,4714;
12
Давление паров чистого компонента
A
T
1
A
12
T
2732.0
== cc
1
, (4.21)
12
12
, (4.22)
12
B
=-143350,0;
12
B
1212
+=
+=
, (4.18)
2
T
ii
1
B
12
, (4.19)
2
T
ii
, (4.20)
1
B
=-264382,77.
12
0
P
определяется по
, ji
уравнению Калингерта-Дэвиса (4.16).
⋅−++⋅⋅⋅⋅⋅
⋅−++⋅⋅⋅⋅⋅
2
xbxxaxbc
iiii
2
xbxxaxbc
iiii
1,121,2,12
, (4.17)
2,212,1,21
,
171
=
γ
const
N
Коэффициенты относительной летучести определяются по
Алгоритм 5
формулам (4.14) – (4.16). Коэффициенты активности
маются постоянными (
j
,
kj ,1
=
). Однако температу-
γ
прини-
ji ,
ра при этом на каждой тарелке рассчитывается исходя из условий
равновесного состояния системы “жидкость – пар” для неидеальных систем (нелинейный температурный профиль):
0
⋅⋅
y
Общее давление
γ
=
,
ji
k
γ
∑
=
1
j
P
над i-й тарелкой складывается из сум-
i
xP
,
,,
jijiji
. (4.23)
0
⋅⋅
xP
,
,,
jijiji
мы парциальных давлений:
k
∑
j
γ
=
1
0
⋅⋅=
xPP
, (4.24)
,
,,
jijijii
тогда
0
xP
γ
y
=
ji
,
−
PP
N
0
где
−=
PP
i
0
последней тарелке колонны, кгс/см
i
⋅
,
⋅⋅
jijiji
,
,,
P
i
,
Ni ,0=
;
0
2
.
kj ,1=
, (4.25)
PP ,
- давление в кубе и на
N
Давление на каждой контактной ступени разделения рассчитывается по линейной зависимости, учитывая, что перепад давления
на каждой ступени одинаков.
Используя стехиометрическое соотношение
(при фиксированном составе жидкости
и давлении
jix,
∑
1
=kj
P
y
,
ji
на та-
i
1
=
релке), система алгебраических уравнений (4.25) может быть
T
сведена к уравнению с одним неизвестным
, если просуммиро-
i
вать левую и правую части (4.25):
172
=
N
(
)
(
)
n
(
)
()(
)
=
ξ
(
)
0
xP
⋅⋅
,
,,
jijiji
=−
01
P
,
i
Ni ,0=
. (4.26)
( )
Tf
i
k
γ
=
∑
=
1
j
Для решения уравнения (4.26) и определения температур-
T
ного профиля
На первой итерации вычислений (
воспользуемся численным методом Ньютона.
i
1
n
) начальное приближение по температурному профилю определяется по линейной зависимости:
−
n
i
−=
TT
0
TT
N
0
i
⋅
,
Ni ,0=
. (4.27)
На последующих итерациях:
n
+1
n
TT
i
где
n
Tf
- значение функции (4.26) при начальном значении
i
температуры или на
i
-й итерации вычислений.
Первая приближенная производная
n
i
n
T
на i-й тарелке считается закон-
i
где
001,0
Расчет температуры
n
′
≅
Tf
( )
i
n
,
T⋅
ξ
- приращение по температуре.
i
Tf
n
ξ
ξ
i
−=
i
⋅
T
, (4.28)
n
′
( )
Tf
i
n
′
Tf
вычисляется как
i
n
n
i
n
−⋅+
TfTTf
i
,
ченным, при выполнении условия:
*
n
ε
<
где
ε
филя,
Tf
i
*
- заданная степень точности расчета температурного про-
*
ε
01,0001,0
÷=
.
, (4.29)
Такая процедура расчета температуры осуществляется для
каждой контактной ступени (
Ni ,0=
).
173
Расчет коэффициентов относительной летучести
α
(при
ji ,
нелинейном температурном профиле) отличается от алгоритма 5
Алгоритм 6
γ
только тем, что коэффициенты активности
не принимаются
ji ,
постоянными, а рассчитываются по формулам (4.17) – (4.22).
4.3. Методика пересчета концентраций компонентов
из массовых долей и массовых расходов в мольные
Концентрация компонента в жидкой фазе в мольных долях
рассчитывается по формуле
Mx
jj
,
Mx
1
jj
kj ,1=
, (4.30)
где
xx ,
кой фазе;
m
=
x
j
k
∑
=
j
m
- массовые и мольные доли j-го компонента в жид-
jj
M
- молекулярная масса j-го компонента; k - число
j
компонентов разделяемой смеси.
Обратный пересчет из мольных долей в массовые:
m
⋅
Mx
j
j
=
x
j
k
m
∑
j
=
1
j
,
⋅
Mx
j
kj ,1=
. (4.31)
Для газовой фазы:
My
m
y
=
j
k
∑
=
1
j
=
y
j
k
∑
j
=
1
jj
,
My
jj
m
⋅
My
j
j
m
j
,
⋅
My
j
kj ,1=
. (4.32)
kj ,1=
. (4.33)
174
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
где
m
yy ,
- массовые и мольные доли j-го компонента в газо-
jj
вой фазе.
Мольный расход жидкой и газовой фаз рассчитывается по
формуле:
k
yx
jj
, (4.34)
M
1
j
где
m
FF
⋅=
∑
=
j
m
FF ,
- массовый и мольный расходы, кг/ч, кмоль/ч.
4.4. Алгоритмизация решения математической
модели
При известных потоках пара
V
и жидкости
i
L
, рассчитан-
i
ных по формулам (4.4) – (4.8), уравнения покомпонентного баланса (4.9) представляют собой систему
относительно
yx
,
.
jiji
,,
При этом общее число неизвестных концентраций
kN ⋅+ 2
каждой тарелке равно
kN ⋅+1
. Таким образом, общее число неизвестных
kN ⋅+⋅ 32
превышает число уравнений. Используя уравнение
, а концентраций
kN ⋅+ 2
уравнений
на
jix,
jiy,
-
Генри (4.10), можно заменить
через
jiy,
и свести число не-
jix,
известных к числу уравнений, что приведет исходную систему
(4.9) к нелинейному виду относительно неизвестных. Для решения нелинейной системы необходимо использовать итерационные методы.
Одним из способов решения поставленной задачи является
метод независимого определения концентраций (метод ЛьюисаМатиссона), согласно которому система уравнений (4.9) приводится к линейному виду относительно определяемых концентра-
ций
заменой (4.10):
jix,
175
i
0
1
+
1
+
VW
y
,0
V
V
j
0
x
,0
j
y
,1
j
1
x
,1
j
y
,0
j
⋅+−
0
x
,0
j
j
j
VLx
VLx
xLx
y
,1
j
⋅+−⋅⋅
11,0
x
,1
j
y
,2
j
⋅+−⋅⋅
22,1
x
,2
j
0
=⋅+⋅
,11,0
jj
xLx
,22,1
xLx
………………………….
y
ji
,1
V
−
i
1
− jiiji
x
ji
,1
−
………………………….
y
jf
,1
V
V
−
f
1
− ,11,
x
jf
,1
−
⋅−=
XF
Fj
y
jf
,
f
x
jf
,
,1
VLx
,1
VLx
ffjf
y
ji
,
⋅+−⋅⋅
iiji
x
ji
,
y
jf
,
VLx
ffjf
⋅+−⋅⋅
11,
++ jfijf
⋅+−⋅⋅
x
jf
,
y
jf
,1
+
x
jf
,1
+
=
………………………….
y
jNb
,1
V
Nb
−
1
−
x
jNb
,1
−
0
=⋅+
xL
jNbNb
,11
++
………………………….
y
jN
,1
V
N
V
N
−
1
− jNNjN
x
−
y
,
jN
x
,
jN
jN
,1
,1
( )
,1
y
jNb
VLx
,
NbNbjNb
x
L
Nb
jNb
,
VLx
NNjN
xDLx
y
jN
,
⋅+−⋅⋅
x
jN
,
0
=⋅+−⋅⋅
,11,
++ jNNjN
Номер тарелки
0
=⋅+⋅
jj
0
=⋅+⋅
,33,2
jj
(4.35)
0
=⋅+⋅
xLx
,11,
++−
=⋅+⋅
xLx
jfijf
++−
=⋅+⋅
xLx
,22,1
+++
y
jNb
,
⋅
⋅+⋅+−⋅⋅
1
+−
x
x
jNb
,
jNb
,
0
=⋅+⋅
xLx
,11,
++−
0
1
2
f
f
Nb
N
N
176
(
)
k
Систему уравнений (4.35) нужно записать по каждому из
kj ,1=
компонентов исходной смеси (
). Решение этих систем
относительно
колонны для всех компонентов. Число неизвестных
kN ⋅+ 2
, что соответствует числу уравнений. Перед решением
даст распределение концентраций по высоте
jix,
равно
jix,
системы уравнений (4.35) надо заранее вычислить коэффициенты
при неизвестных
L
жидкости
по секциям колонны по формулам (4.4) – (4.8) и
i
. Для этого рассчитывают потоки пара
jix,
принимают начальный профиль концентраций
считываются
(для алгоритма 1
ji ,
α
постоянны). После чего
ji ,
α
определяются константы фазового равновесия
. Затем рас-
jix,
(4.10).
jiK,
V
и
i
Используемый алгоритм слабо чувствителен к начальному
приближению, поэтому в качестве начального распределения
принимаются концентрации, равные составу исходной смеси или
k
обратно пропорциональны количеству компонентов
Xx =
или
x
=
Fjji
,
,
ji1,
1,0 += Ni
:
,
kj ,1=
. (4.36)
Ввиду произвольности начального профиля концентраций
получаемые в результате решения системы (4.35) составы
jix,
для каждой ступени разделения в сумме не равны единице (или
100 %). Поэтому последние корректируются (с помощью нормирования) и используются в качестве нового приближения для последующей итерации вычислений. Нормирование производится
по формуле:
x
,
ji
x
=
,
ji
∑
j
,
k
x
,
ji
=
1
1,0 += Ni
,
kj ,1=
. (4.37)
177
ε
÷
=
ε
Критерием окончания решения задачи является выполне-
ние стехиометрических соотношений
∑
x
1
=kj
(
,
ji
1,0 += Ni
1
=
с заданной степенью точности для всех ступеней разделения:
k
ε
<−
ji
,
,
1,0 += Ni
, (4.38)
где
x
∑
j
=11
- задаваемая точность расчета состава смеси,
01,0001,0
.
При выполнении условия (4.38) процедура вычислений заканчивается и рассчитанные концентрации
kj ,1=
) являются распределением по высоте колонны.
(
jix,
1,0 += Ni
Матрица коэффициентов, формируемая из системы уравнений (4.35), является трехдиагональной и вычисляется следующим образом:
00000...000
dcb
00000...00
dcba
00000...00
dcba
....................................
)
,
000
1110
2221
0000......00
dcba
1
−
iiii
....................................
00......0000
dcba
1
−
0......00000
ffff
dcba
ffff
111
+++
....................................
dcba
1
−
...00000000
NNNN
dba
NNN
11
++
178
(
)
VWb
y
j
,0
Va
⋅=
00
x
j
,0
y
j
,1
Va
11
………………………….
;
⋅=
x
j
,1
y
⋅=
Va
ii
11
−−
x
………………………….
y
Va
⋅=
ff
11
−−
x
y
Va
………………………….
………………………….
Va
,
⋅=
ff
x
,
Va
⋅=
NbNb
−−
11
Va
⋅=
NN
−−
11
y
,
⋅=
NN
x
,
00
;
−
−
jf
jf
y
x
jN
y
2
j
,0
⋅+−=
ji
,1
ji
,1
−
−
;
y
x
−
−
jN
;
;
x
j
,0
;
jf
,1
jf
,1
−
−
,1
,1
;
jNb
,1
;
jNb
,1
jN
;
jN
;
Lc =
10
y
j
,1
VLb
111
VLb
222
;
⋅+−=
x
j
,1
y
j
,2
⋅+−=
;
x
j
,2
y
ji
,
VLb
⋅+−=
iii
x
ji
,
y
VLb
⋅+−=
fff
x
y
⋅+−=
VLb
+++
fff
111
x
VLb
;
jf
,
jf
,
+
,1
+
,1
NbNbNb
;
Lc =
21
;
Lc =
32
Lc
;
jf
;
jf
y
,
x
,
VLb
NN
++ 11
NNN
;
DLb
+−=
y
jN
,
⋅+−=
;
x
jN
,
;
1
+=ii
+1
jNb
jNb
=
;
Lc
1+=ff
Lc =
ff
L
⋅+⋅+−=
Nb
1
+
Lc
1+
NbNb
=NNLc
1+
Для эффективного решения системы уравнений (4.35) относительно
формируются массивы
jix,
dcba ,,,
. Текущие кон-
.
00=d
.
01=d
.
02=d
.
0=id
.
XFd ⋅−=
Fjf
;
d
y
x
;
d
Nb
;
d
N
d
N
.
01=
+
f
jNb
,1
+
;
jNb
,1
+
.
0=
.
0=
.
0=
центрации компонентов
вычисляются одним из методов ре-
jix,
шения систем нормальных уравнений.
2
Из материального баланса колонны:
0
.
DFLW −==
179
2
3
5
6
7
4
1
12
Можно использовать стандартные функции математических пакетов (например,
Mathcad, Mathlab, Maple
) [16-18] или
самостоятельно разработать подпрограмму решения системы.
На рис. 4.4 приведена укрупненная схема алгоритма расчета стационарного распределения концентраций для рассматри-
ваемого выше примера (по алгоритму 4 расчета
НАЧАЛО
α
).
ji ,
,,,,,,,
TXWFbDRF
0
Fj
ε
,,,,,,
CMNbfNT
jjN
mmm
RFX
Fj
,
T
,,,
mmm
WFbD
,,
m
Xx
=
Fjji
),1,1,0(
kjNi
=+=
LV
ii
)1,0(,+=
Ni
i
)1,0(+=Ni
Ввод исходных данных
Пересчет в мольные доли
и мольные расходы (4.30),(4.34)
Задание начального профиля
концентраций (4.36)
Расчет расходов пара и жидкости
в секциях колонны (4.4) – (4.8)
Расчет температурного профиля
по высоте колонны (4.13)
Рис. 4.4. Схема алгоритма расчета распределения концентраций
(см. также с. 181 и 182)
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]