Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Учебное пособие-1
.pdf
3
9
51
Окончание табл. 2.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9, 0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
0,95 1,56 1,91 2,16 2,35 2,51 2,64 2,76 2,86 2,95 3,04 3,11 3,18 3,25 3,31 3,36 3,42 3,47 3,51 3,56 x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1, 8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2, 6 2,7 2,8 2,9
129,7 128, 1 126, 7 125, 3 12 4,1 122, 9 121, 7 120,4 119,2 117,9 116,5 114,9 1 13,3 111,3 108,9 105,9 102,0 96,62 88,25 73,3 x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, 9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1, 7 1,8 1,9 2,0
1,21 4,79 10,62 18, 49 28,06 38,96 50,75 62,96 75, 1 86,69 97, 26 106,4 113,7 118,9 121,9 122, 4 120,5 116,2 109,7 101,
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1, 6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3, 2 3,4 3,6 3,8
2,28 2,26 2,19 2,09 1,97 1,85 1,74 1,65 1,56 1,58 1,6 1,65 1,71 1,78 1,84 1,87 1,88 1,86 1,8 1, 74 x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0, 8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1, 6 1,7 1,8 1,9
7,0 7,05 7,1 7,2 7,2 7,28 7,36 7,16 7,59 7,76 7,99 8,35 8,95 10,12 13,61 37,21 32,2 10,65 7,28 6,21 x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5, 5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9, 5 10,0 10,5 11, 0
29,5 29,6 29,7 29,8 29,9 31,0 31,1 31,8 32,6 33,8 34,7 35,8 36,8 37,7 38,3 38,7 38,9 39,2 39,3 39,3 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9, 0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
11,0 12,3 13,2 14,1 14,0 11,5 11,2 12,0 12,8 14,0 14,1 11,6 11,0 12,1 13,6 14,3 12,1 11,1 12,2 13,7 x 0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2, 4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,2 4,5 4, 8 5,1 5,4 5,7
24,89 23, 2 21,69 20,36 19,18 18,14 17,21 16,4 15, 66 14,88 14,1 11,6 11,0 12,1 13,6 14,3 12,1 11,1 12,2 13,7 x 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29
1040 856 734,4 613, 7 5 50,2 481 ,4 430, 6 386, 6 387 348,7 290 266,8 246,6 229 213 199,9 188 17 7,2 167,5 158,
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20
1003 504 337,3 254 204 170,6 146,8 129 115,1 104 94,9 87,4 81 75,4 70,7 66,5 62,8 59,6 56,6 54 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
71 71,6 71, 9 72,6 73, 4 74,2 75 75,6 76,2 76,6 77,1 77,5 77,8 78,2 78,4 78,6 78,8 78 ,9 79 79,1 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9, 0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
14 12,8 11, 2 11 10,8 10,8 10,8 10,8 10,8 10, 8 10,8 10,8 10,8 10,8 10,8 10,8 11 11,2 12,8 14 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9, 0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0
17,1 15 13, 1 12,6 12, 5 12,8 13 13,6 13,9 14,2 14,6 14,8 15,2 15,4 15,6 15,8 16 16,2 16,4 16,5
x
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
№вар\№оп
25
26
x
y
=
+⋅=
x
u
=
+⋅=
=
=
b
a
ln
+⋅=
=
+⋅=
Типы уравнений регрессии
Тип кривой Уравнение
регрессии
Замена
Замена
1 2 3 4 5
ˆ
bxay +⋅=
- - -
ˆ
a
xby
⋅=
xu lg
yzˆlgˆ=
ˆ
y
lg
lg
x
b
+=
lg
a
a
ˆ
yz
ln
=
ˆ
=
log
bxy
a
xu lg
ˆ
ˆ
yz
=
ˆ
bxay
ln
⋅=
xu ln
ˆ
ˆ
yz
=
bxay lgˆ⋅=
xu lg
ˆ
ˆ
yz
=
Таблица 2.6
Уравнение
в новых
координатах
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
z
ˆ
buaz lg
buaz ln
lg
b
u
lg
a
⋅+
lgˆ⋅+
+=
lg
a
uaz
uaz
ba
54
bxa
x
u
=
+⋅=
bxa
x
u
=
+⋅=
x
u
=
x
u
=
x
u
=
Продолжение табл. 2.6
1 2 3 4 5
y+⋅=
y+⋅=
y
y
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
x
2
22
=
=
1
2
x
2
сxbxay +⋅+⋅=
сxbxay +⋅+⋅=
сxbxa
+⋅+⋅
+⋅+⋅
сxbxa
- - -
1
ˆ
=
z
ˆ
y
x
ˆ
z
=
ˆ
y
ˆ
ˆ
yz =
1
ˆ
=
z
ˆ
y
x
ˆ
z
=
ˆ
y
ˆ
ˆ
2
buaz
buaz
55
x
с
=
с
=
с
=
с
xucos
=
с
tgx
u
=
Окончание табл. 2.6
1 2 3 4 5
ˆ
y ++=
b
a
2
x
с
x
u1=
ˆ
ˆ
yz
=
+
2
ˆ
xbxay
+⋅+⋅= lglg
xu lg
ˆ
ˆ
yz
=
+
2
ˆ
xbxay
+⋅+⋅= lnln
xu ln
ˆ
ˆ
yz
=
ˆ
+
2
xbxay
+⋅+⋅= sinsin
xu sin
ˆ
ˆ
yz
=
ˆ
+
2
xbxay
+⋅+⋅= coscos
ˆ
ˆ
yz
=
+
2
ˆ
tgxbxtgay
+⋅+⋅=
ˆ
ˆ
yz
=
56
()()(
)
dt
dt
dt
Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ, РАСЧЕТ И ИССЛЕДОВАНИЕ
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Интенсивное развитие средств вычислительной техники
(СВТ) привело к широкому распространению цифровых систем
управления (ЦСУ) [6,9]. Этому способствовало создание микропроцессоров и микропроцессорной техники. Методы проектирования ЦСУ существенно отличаются от классических методов,
применяемых для аналоговых систем. Основой математического
аппарата построения цифровых систем являются разностные
схемы, описывающие функционирование дискретных систем,
которые значительно проще с точки зрения их анализа и программной реализации, нежели дифференциальные уравнения,
применяемые для описания непрерывных систем.
При синтезе систем автоматического управления, реализуемых на средствах вычислительной техники, появляется возможность разработки достаточно сложных алгоритмов оптимального цифрового управления, что позволяет наиболее полно
учесть особенности объектов управления. Этого можно достичь
за счет исключения трудоемких аналитических преобразований,
т. к. при синтезе цифровых систем основные этапы расчета выполняются на ЭВМ с использованием численных методов.
3.1. Построение динамических моделей объектов
управления с помощью разностных уравнений
и дискретных передаточных функций
Из теории автоматического управления известно, что модели динамических объектов с запаздыванием (рис. 3.1) в непрерывном виде могут быть представлены дифференциальными
уравнениями или соответствующими передаточными функциями:
n
tyd
n
T
n
T
n
n
1
−
n
1
−
n
1
−
tyd
...
1
−
n
tdy
1
T
1
( ) ( )
τ
−=++++
tkuty
(3.1)
или
57
(
)
y
τ
n
=
1
n
=
2
n
=
3
(
)
i
s
τ
−
sW
( )
=
где
- выходной сигнал объекта; u - входной сигнал; k - коэф-
sy
==
su
( ) ( )( ) ( )
s
−
τ
ke
1
1
22
...1
2
ke
⋅+++
1...11
21
,
nn
sTsTsT
++++
n
n
=
sTsTsT
(3.2)
фициент усиления;
преобразования Лапласа;
- время чистого запаздывания; s- оператор
T T T
, ,...,
- постоянные времени объ-
n1 2
екта, по которым могут вычисляться коэффициенты
2
T T T
, ,...,
112
при
при
при
n
дифференциального уравнения (3.1):
n
1
T T
=
,
1
1
1
T T T
= +
1
1 2
1
T T T T
= + +
1
1 2 3
2
,
TTT =
,
2
21
2
,
2
3
TTTTTTT ++=
,
323121
3
TTTT =
.
321
Рис. 3.1. Динамическое звено с одним входом и выходом
Непрерывная модель (3.1), описывающая поведение объекта с сосредоточенными параметрами, представляет собой непре-
y t
рывную функцию
и может быть интерпретирована в виде
графика (рис. 3.2) [6].
Если весь диапазон времени разбить на равные интервалы период (такт) квантования
T
и обозначить текущий номер такта
0
, то получим ряд дискретных значений на непрерывной кривой
(рис. 3.2).
T
При малых тактах квантования
из дифференциальных
0
уравнений (3.1) можно получать разностные путем дискретизации. В частности, дифференциалы могут приближенно заменяться правыми, левыми или центральными разностями.
58
()()()(
)
()()()()(
)
()()()()()(
)
(
)
(
)
(
)
При использовании правых разностей:
+ −∆
y i y i
1
T
T
T
0
,
121
−+−+
iyiyiy
2
0
3
, (3.3)
iyiyiyiy
21331
−−−+−+
.
3
dt
dy t
y i
≈ =
dt
2
tyd
≈
2
dt
3
tyd
≈
3
iy
∆
3
T
0
T
0 0
2
∆
iy
=
2
T
0
=
Рис. 3.2. График функции
y t
Таким образом можно получить уравнение n-го порядка в
разностном виде при известных параметрах дифференциального
уравнения (3.1):
1
−
n
y
∆
n
T
i
n
+
n
T
0
n
n
T
1
−
n
i
...
1
n
−
T
0
y
∆
1
−
y
∆
1
i
T
++
1
T
0
kuy
=+
. (3.4)
dii
−
При этом непрерывной передаточной функции (3.2) будет соответствовать дискретная передаточная функция:
d 1
−−
( )
zW
zy
( )
zu
==
zzB
, (3.5)
( )
zA
59
где
()(
)
z
τ
τ
d
n
=
2
()(
)
dt
dt
−++
−
B z A z,
- полиномы числителя и знаменателя дискретной
передаточной функции;
- оператор сдвига;
d
=
T
- целое
0
число тактов запаздывания, соответствующее времени чистого
запаздывания
Если
.
при вычислении не является целым числом, то оно
округляется до ближайшего целого.
Например, апериодическое звено второго порядка (
с чистым запаздыванием представляется в виде дифференциального уравнения второго порядка
2
tyd
2
T
2
2
tdy
1
T
1
( ) ( )
τ
−=++ tkuty
, (3.6)
или соответствующей передаточной функцией
s
−
τ
sW
( )
=
ke
1
1
++
1
. (3.7)
22
sTsT
2
Из дифференциального уравнения (3.6) получим конечноразностное:
yyy
2
T
2
2
2
T
0
1
11
T
1
Преобразуя это уравнение, выразим из него
2
2
−+
TTTT
=
y
1 diiii
2
2
+
2
0
2011
TTT
011
−
y
2
T
2
2
+
2
yy
1
iiiii
+−+
T
0
+
y
1
TTT
011
kuy
=+
kT
2
+
2
y
i+1
2
0
. (3.8)
dii
−
:
u
−−+
TTT
011
.
(3.9)
Введем обозначения:
2
2
TTTT
−+
a
=
1
a
2
2
2
+
2
T
2
−=
2
+
2
0
2011
2
, (3.10)
TTT
011
, (3.11)
TTT
011
)
60
===
=
i
=
2
=
(
)
i
d
=
+
3
y
(
)
()(
)
2
kT
b
=
0
2
+
2
. (3.12)
TTT
011
Отсюда
++=
1211 diiii
(3.13)
−−+
.
buyayay
Уменьшая текущий индекс такта квантования на единицу в
левой и правой частях уравнения (3.13), получим конечноразностное уравнение второго порядка, удобное для практического использования:
++=
buyayay
.
12211
−−−−
diiii
(3.14)
Для расчета переходного процесса звена по разностному
уравнению (3.14) целесообразно принимать начальные условия
нулевыми (выполнять расчет в приращениях). При этом начальные условия определяются порядком уравнения:
y y
...
0
,
u
0
d1 2
+
. (3.15)
1
Если на вход модели подается единичное ступенчатое воз-
,
u
действие, то, начиная с такта квантования
i N=
2,
. N определяется временем переходного процесса
t
п
. (3.16)
=
T
0
Так как
N
t
заранее не известно, то число N выбирается экспери-
п
1
i
t
:
п
ментально подбором при расчете переходного процесса.
Расчет переходного процесса по рекуррентному уравнению
(3.14) начинается с такта
рицательных индексов в массиве
(во избежание появления от-
):
bbuyayay
=++=
. . .
ddd
+++
+++
ddd
+++
ddd
, (3.17)
212213
1
+=++=
abbuyayay
,
1322314
abababuyayay
++=
buyayay
,
12211
−+−+−+
NdNdNdN
11
+++=++=
,
211432415
61
z
s
z
(
)
buyayay ++=
.
+−+++
1211
NdNdNdN
По аналогии с формулами (3.10) - (3.12) получены зависимости прямой и обратной взаимосвязи между параметрами непрерывных и дискретных динамических моделей 1-го - 4-го по-
T
рядков с заданным тактом квантования
(табл. 3.1, 3.2) [6].
0
Использование табл. 3.1, 3.2 упрощает пересчет моделей в
ходе требуемых исследований.
Для систем, представленных линейными разностными
уравнениями с постоянными коэффициентами, также используется операционное исчисление, в котором входные и выходные
величины описываются оператором сдвига
:
тору Лапласа
0
,
yyzy
i
i
1
−
ni
−
==
1
−
,
yzy
=
...
n
−
,
yzy
=
i
−
i
Использование оператора сдвига
аналогично опера-
0
,
==
uuzu
−
1
,
=
uzu
1
=
uzu
−−
1
di
(3.18)
−−
1
d
.
позволяет получить из
конечно-разностного уравнения передаточную функцию. Например, для уравнения второго порядка (3.14) получим:
0 −−−−
1
1
++=
2
buzyzayzayz
12
d
.
(3.19)
Отсюда дискретная передаточная функция:
d
−−
1
zW
( )
zy
( )
zu
==
bz
1
1
−−
1
. (3.20)
2
−−
zaza
2
Аналогично можно получить разностные уравнения и дискретные передаточные функции объектов, описываемых интегродифференциальными уравнениями любого порядка (табл. 3.3).
62
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]