1.ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

1.1.Числовые ряды

Общие сведения

Пусть u1,u2 ,u3,...,un ,...бесконечная числовая последовательность. Выражение вида

называются членами ряда; un при произвольном п называется общим членом ряда (иногда первый член ряда обозначают u0 , второй — u1 и т. д., то есть

∞

придают п значения 0, 1, 2, ...). Ряд часто записывают ∑un .

n=1

Числовой ряд задан, если известен его общий член un, или известен закон, по которому он может быть получен.

Сумму первых п членов числового ряда обозначают через Sn и называют

частичной суммой ряда :

S1=u1; S2= u1+ u2; S3= u1+ u2+ u3; … ; Sn= u1+ u2+…+un . (2)

Определение Ряд (1) называется сходящимся, если п-я частичная сумма Sn при неограниченном возрастании п стремится к конечному пределу, т.е.

lim Sn = S , где S называется суммой ряда (1).

n→∞

называется гармоническим рядом, он расходится. Ряд

5

называется обобщенным гармоническим рядом, при p>1 этот ряд сходится, а при p ≤1 он расходится.

Необходимое условие сходимости ряда

∞

Если ряд ∑un сходится, то его общий член un стремится к 0 при n →∞

Если общий член ряда un не стремится к 0 при n → ∞, то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов

1. Признаки сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами

1)Если члены ряда (*) не превосходят соответствующих членов ряда (**), т. е. un ≤ vn и ряд (**) сходится, то сходится и ряд (*).

2)Если члены ряда (*) не меньше соответствующих членов ряда (**), т.е. un ≥ vn и ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).

∞

и ∑vn сходятся и расходятся одновременно.

n=1

3. Признак Даламбера

Если для знакоположительного ряда u1 +u2 +... +un +... существует

lim un+1 = l , то если l <1 ряд сходится, если же l >1, то ряд расходится.

n→∞ un

6

Если l =1, то ряд может сходиться, а может и расходиться. В этом случае признак Даламбера ответа не дает, приходится исследовать на сходимость ряд с помощью других признаков.

4. Признак Коши (Радикальный признак)

Если l =1, то радикальный признак не дает ответа о сходимости ряда.

5. Признак Коши. (Интегральный признак).

сходится, а если он расходится, то и ряд расходится.

этой прогрессии bn = 4n . Знаменатели образуют арифметическую прогрессию 2,4,6,8,...; n-й член этой прогрессии находим по формуле an = a1 + d(n −1) , где

a1 = 2, d = 2 , поэтому an = 2n . Следовательно, общий член этого ряда un = 4n . 2n

7

Решение Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

Умножая обе части этого выражения на знаменатель, придём к тождеству

1≡ A(n +3) + B(n + 2) .

Полагая n = −2, находим 1 = А; значит A =1; n = −3, находим 1 = - В; значитB = −1.

Решение

8

геометрическая прогрессия). Применим предельный признак сравнения рядов:

Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд ∑∞ 1n сходится, то

n=1 2

сходится и данный ряд.

Решение

Сравним данный ряд с гармоническим рядом ∑∞ 1 (расходится).

n=1 n

9