un+1

10n+1

10n+1

10n+1

=

=

=

.

(

2

(

n +1 −1 !

(

2n + 2 −1 !

(2n +1)!

)

)

)

Тогда l = lim

u

n+1

= lim

10n+1(2n −1)!

= lim

10

= 0 .

(2n +1)!10n

2n(2n

+1)

n→∞

un

n→∞

n→∞

1

n +1

n

1

1

n

e

l = lim n un

= lim

=

+

,

так как l <1, то данный

3

n

lim 1

=

3

n→∞

n→∞

3 n→∞

n

ряд сходится.

∞

n

10 Исследовать сходимость ряда ∑n=1

.

n2 +1

Решение

Воспользуемся интегральным признаком Коши:

n

x

∞

x

1

∞ 2x

1

2

∞

un =

,

f

(x) =

,

∫1

dx

=

2

∫1

dx =

2 ln

x

+1

1 = ∞.

n2 +1

x2 +1

x2 +1

x2 +1

Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.

Задания для самостоятельного решения

11 Записать 4-5 первых членов ряда, по известному общему члену Un.

а)

Un =

3п−2;

б)

Un =

2п+1

;

( п+1)2(п+ 2)2

п2 +1

в)

Un =

п

3

г)

Un =

1

;

;

( 2n −1)3

n−1

en

д)

Un =

1

;

е)

n

2

Un =

.

( 2п

−1)(2п+1)

n!

12 Написать простейшую формулу n–го члена ряда по указанным членам

а)

1 +

1

+

1

+

1

+...;

б)

1 +

1 +

1

+ 1 +...;

3

5

7

6

2

4

8

в)

1 +

2

+

3

+

4

+ ...;

г)

1

+

1

+

1

+

1

+

1

+...;

2

1 2

2 3

3 4

4 5

4 8

5 6

д)

1 +

1

+

1

+

1

+...;

е)

3 +

4

+

5

+

6

+...;

4

9

16

9

16

25

4

ж)

2 +

4

+

6

+

8

+...;

з)

1

+

1

+

1

+

1

+...;

14

2 +3

4 +3

8 +3

16 +3

5 8

11

и)

1 +

1

+

1

+

1

+....

1 2

1 2

3

1 2 3 4

13 Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости рядов

а)

2 +

4

+ 6

+...+

2п

+...

б)

1 +

3

+ 5 +...+ 2п−1+...

2п+1

3 5

7

4 9

п2

в)

∑cos 1

г)

1 + 3 + 5 +...+ 2n −1 +...

∞

п=1

n

2

4

6

2n

∞

n

∞

д)

∑

е)

∑arctg 1

3

n=1

( n +1)

n=1

n

ж)

2 + 5 + 10 +...+ n2 +3

1 +...

з)

∑n sin 1

∞

n

8

27

n

=

п 1

б)

1

+

1

+

1

+ ...+

1

+ ...;

1 2

2 3

3 4

п(п

+1)

16 Исследовать на сходимость, используя признак Даламбера

а) 1 +

1

+

1

+

1

+...;

б)

2

+

4

+

6

+

8

+...;

2 5

3 52

4 53

3

9

27 81

в) 1 +

2

+

4

+

8

+...;

г) 1 +

3

+

32

+

33

+....

2!

3!

4!

2 3

22 5

23 7