1.2.Знакочередующиеся ряды

Определение Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся.

Знакочередующийся ряд имеет вид

где un >0 для всех n N .

Для знакочередующегося ряда имеет место достаточный признак сходимости, который называют признаком Лейбница.

Признак Лейбница Если в знакочередующемся ряде (7) абсолютные величины членов ряда убывают u1 > u2 > ... > un > ...и общий член ряда un

стремится к 0 при неограниченном увеличении его номера, то есть lim un =0 ,

n→∞

то ряд (7) сходится, его сумма положительная и не превосходит первого члена ряда (0 < S <u1 ).

Замечание Если хотя бы одно условие признака Лейбница не выполняется, то ряд расходится.

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условию признака Лейбница, то можно оценить ошибку, которая получится, если заменить его сумму S частичной суммой Sn . Допускаемая при этом погрешность, оценивается для знакочередующегося ряда по признаку Лейбница.

При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с un+1 . Но отбрасываемые члены образуют знакочередующийся ряд, сумма которого меньше первого члена этого ряда, т. е. меньше un+1 .

Ошибка, совершаемая при замене суммы ряда S на частичную сумму Sn , равна δ = rn = S − Sn и не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов ряда, т. е. rn <un+1 .

Решение типовых примеров

37 Исследовать сходимость ряда

41 − 91 + 161 + ...+(−1)n+1 (n +11)2 +....

Вычислить приближенно его сумму, удержав три первых члена ряда, и оценить погрешность.

Решение

15

Проверим выполнимость условий признака Лейбница, т.к. un = ( n +11)2 ,

Оба условия выполняются. Следовательно, данный ряд сходится

S ≈ S3 = 41 − 91 + 161 =0,2014 .

Ошибка δ , получающаяся при замене суммы этого ряда суммой трёх первых членов, меньше абсолютной величины четвертого члена, то есть

Следовательно, n = 5.

Значит, это неравенство выполняется, начиная, с n = 5. Таким образом,

Ответ: S =0,28 .

16

Задания для самостоятельного решения

39 а) Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда

1 − 21 + 31 − 41 +...+(−1)п−1 п1 +...

суммой четырех первых его членов. Найти эту сумму.

б) Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда

0,1 − 0,12 2 + 0,13 3 − 0,14 4 +...

суммой трех первых его членов. Найти эту сумму.

Вычислить сумму ряда с точностью до ε

17