2x |
|
102 f ( x ) = x2 −3x + 2 |
по степеням х. |
103 f ( x ) =ln(1 − x −6 x2 ) по степеням х.
104 Разложить функцию y =ln x в ряд Тейлора в окрестности точки х=1 (при х0=1).
105 Разложить в ряд Маклорена функцию f (x)=(1 + x)4 .
106 Разложить функцию y = sin 2x в ряд Тейлора в окрестности точки
х = 0
1.7.Некоторые приложения степенных рядов
Вычисление значений функций
Пусть требуется вычислить значение функции f ( x ) при x = x1 с заданной точностью. Предположим, что эту функцию можно разложить в
степенной ряд: f ( x ) = a |
+ a ( x − x |
) +...+ a ( x − x |
)n +... на интервале ( −R;R ) |
||||
|
0 |
1 |
0 |
n |
0 |
|
|
и x1 ( −R;R ). |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда f ( x |
) = a |
+ a ( x |
− x |
) +...+ a ( x |
− x |
|
)n +.... Взяв достаточное |
1 |
0 |
1 1 |
0 |
n 1 |
0 |
|
|
число первых членов ряда, получим
f ( x1 ) = Sn (x1 )= a0 + a1( x1 − x0 ) +...+ an( x1 − x0 )n
33
|
|
Абсолютная |
погрешность этого приближенного равенства, |
то |
есть |
|||||||||||||
|
f ( x1 ) − Sn( x1 ) |
|
равно модулю |
остатка ряда ∆ = |
|
f ( x1 ) − Sn( x1 ) |
|
= |
|
rn( x1 ) |
|
, |
где |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
r ( x |
) = a |
( x |
|
− x |
)n+1 + a |
( x − x )n+2 +... Чтобы вычислить значение |
f ( x ) с |
|||||||||||
|
n 1 |
n+1 |
1 |
0 |
n+2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
точностью ε >0 , нужно взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы f ( x1 ) − Sn( x1 ) = rn( x1 ) ≤ε .
Оценить погрешность можно с помощью остаточного члена ряда Тейлора. Если функция f ( x ) разложена в степенной ряд, то этот ряд является ее рядом Тейлора (или Маклорена). В этом случае
|
|
|
|
|
|
|
f ( n+1 )( c ) |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f ( x ) − S |
( x ) |
= |
R ( x ) |
= |
|
|
|
( x |
− x ) |
, |
|
|
|
||||||||||
1 |
n |
1 |
|
n 1 |
|
|
( n +1)! |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где c = x0 +θ( x1 − x0 ), 0 <θ <1.
В зависимости от конкретного случая применяется тот или иной метод оценки остатка ряда (или оценки погрешности).
Решение типовых примеров
107 Вычислить с точностью до 0,001 число e Решение
Запишем ряд Маклорена для ex : |
|
|
|
|
|
|
ex =1 + x + |
x2 |
+ |
x3 |
+...+ |
xn |
+.... |
|
|
n! |
||||
2! |
3! |
|
|
|||
При x =1 получим
e =1 +1 + 2!1 + 3!1 +...+ n!1 +....
Запишем приближенное равенство
ex ≈1 +1 + 2!1 + 3!1 +...+ n!1 .
Оценим погрешность приближения с помощью остаточного члена ряда Маклорена.
Так как f ( n+1 )( x ) = ex , то R ( x ) = |
ec |
xn+1 , |
где c =θx , 0 <θ <1. |
||||||
|
|||||||||
|
|
n |
|
( n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x =1 R ( 1) = |
eθ |
|
|
, 0 <θ <1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
( n + |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что eθ < e < 3 , получим R (1) < |
|
3 |
. |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
( n +1)! |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
34
При n = 5 |
3 |
|
= |
|
1 |
|
>0.001. |
|||
( 5 +1)! |
240 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
При n =6 |
|
3 |
= |
|
|
1 |
<0.001. |
|||
7! |
1680 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
Поэтому для достижения требуемой точности достаточно взять n =6 . Итак,
e ≈1 +1 + 2!1 + 3!1 + 4!1 + 5!1 + 61! =
=1.0000 +1.0000 +0.5000 +0.1667 +0.0417 +0.0083 +0.0014 = 2.7181.
Следовательно, e ≈ 2.7181 с точностью до 0,001.
108 Вычислить sin18o с точностью до 0,0001. Решение
sin18o = sin |
π |
− |
π3 |
+ |
π5 |
−.... |
|
10 |
3!103 |
5!105 |
|||||
|
|
|
|
Полученный ряд знакочередующийся, члены которого убывают по абсолютной величине. Поэтому его остаток не превосходит первого отброшенного члена ряда.
Так как |
|
|
π |
3 |
>0.0001, а |
π5 |
|
<0.0001, |
то с точностью до 0,0001 |
||||
3!103 |
5!105 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin18o ≈ |
π |
− |
|
π3 |
= |
( 3.14159 ) − |
( 3.14159 )3 |
=0.314159 −0.00517 =0.30899. |
|||||
10 |
3!103 |
|
3!103 |
||||||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|||||||
Итак, sin18o ≈0.3090 .
Вычисление определенных интегралов
Сущность метода поясним на конкретном примере
1
109 Вычислить ∫3 e−x2 dx с точностью до 0,001.
0
Решение
35
|
Так |
|
как |
ex |
=1 + x + |
x2 |
+ |
x3 |
+...+ |
xn |
+..., |
то |
положив |
x = −x2 , |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e−x2 =1 − |
x2 |
+ |
x4 |
− |
x6 |
+... этот ряд сходится при x ( −∞;+∞) значит, его можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
: |
почленно интегрировать на любом отрезке и, в частности, на отрезке 0; |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
5 |
1 |
|
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
3 |
|
x |
|
3 |
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫e−x2 dx = |
∫(1 − |
|
+ |
|
|
− |
|
+ ...)dx |
= x |
|
03 − |
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
+... = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1! |
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
5 2 |
|
0 |
|
7 6 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
1 |
− |
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
5 2 3 |
5 |
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Искомый |
|
интеграл представлен |
знакочередующимся |
рядом. |
Так |
как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
= |
|
|
|
1 |
|
|
<0.001, то с точностью до 0,001 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 2 35 |
2430 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e−x2 dx ≈ |
|
=0.3333 |
−0.0123 =0.3210 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1
Итак ∫3 e−x2 dx ≈0.321.
0
Применение рядов к решению дифференциальных уравнений
Пусть требуется найти решение уравнения
|
|
y′′ = F( x,y,y′), |
|
|
|
(27) |
|
удовлетворяющее начальным условиям при x = x0 , |
y = y0 , |
y′= y0′. |
|||||
Допустим, что решение y = f ( x ) и его можно представить рядом |
|||||||
|
|
|
′′ |
) |
|
|
|
|
′ |
|
f ( x0 |
2 |
|||
y = f ( x ) = f ( x0 ) |
|
|
|
|
( x − x0 ) |
+.... |
|
+ f ( x0 )( x − x0 ) + |
2! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
), f |
′′ |
|
|
|
|
|
Нужно найти f ( x0 ), f ( x0 |
( x0 ), …, то есть значения производных от |
||||||
частного решения при x = x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Из начального условия следует, что f ( x0 ) = y0 , f |
′ |
′ |
. Из уравнения |
||||
( x0 ) = y0 |
|||||||
(27) получаем
y0′′ = f ′′( x0 ) = F( x0 ,y0 ,y0′ ).
Дифференцируя обе части уравнения (27) по x , получим y′′′= Fx′( x,y,y′) + Fy′( x,y,y′)y′+ Fy′′( x,y,y′)y′′.
36