Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды. Учебное пособие-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

740 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

93	x −1	+	( x −1)2	+	( x −1)3	+....
	2		22		23

1.6.Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию f ( x ) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f ( x ) представлять в виде суммы степенного ряда.

Если функцию f ( x ) - любая функция, имеющая в некоторой окрестности точки x0 производные ( n +1)-го порядка включительно, справедлива формула

Тейлора:

′

)

′′

)

f ( x ) = f ( x0

) +

f ( x0

( x − x0

) +

f ( x0

( x − x0

)2 + +

f ( n )( x )

( x − x

)

+ R ( x ).

(16)

где R ( x ) =

f ( n+1 )( c )

n+1

остаточный член в форме

( x − x

)

c ( x;x )

( n +1)!

Лагранжа.

Если для некоторого значения

Rn( x ) →0,

n →∞,

то в

пределе

формула Тейлора преобразуется для этого значения x в ряд Тейлора:

′

)

′′

)

f ( x ) = f ( x0

) +

f ( x0

( x − x0

) +

f ( x0

( x − x0

)2 + +

f ( n )( x )

( x − x

)

+....

(17)

Если в ряде Тейлора положить x0

=0 , то получим ряд Маклорена:

′

′′

( n )

(0 )

f ( x ) = f (0 ) +

f (0 )

(0 )

xn +

(18)

Этот ряд называется рядом Маклорена функции f ( x ).

Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора

Если в некотором интервале, содержащем точку x0 , при любом n выполняется неравенство f (n)( x ) < M , где M - положительная постоянная, то

lim Rn =0 и функция разложима в ряд Тейлора.

n→∞

Разложения в ряд Маклорена типовых функций:

=1 + x +

+ +

+ x ( −∞;∞)

n+1

x2n−1

sin x = x −

− +( −1)

+ x (−∞;∞)

( 2n −1)!

n+1

x2n−2

cos x =1 −

− +( −1)

+ x (−∞;∞)

( 2n − 2 )!

n+1 xn

ln(1 + x ) = x

−

+ +( −1)

+ x ( −1;1]

n+1 x

2n−1

+ x [−1;1]

arctg x = x

−

−+ +(

−1)

2n −1

arcsin x = x +

1 3

1 3 5

+...+

2 3

2 4 5

2 4 6 7

( 2n −1)!!

x2n−1

+ ...,

x [ −1;1]

( 2n )!!

2n −1

m( m −1)

m( m −1) ( m −n +1)

+ x ) =1 + 1! x +

[

]

−1;1 ,m ≥

x ( −1;1],−1 < m <0

( −1;1),m ≤ −1

=1 + x + x2 + x3

+...+ xn +...

x ( −1;1)

1 − x

Решение типовых примеров

94 Разложить в ряд по степеням x функцию f ( x ) = 2x .

Решение

Найдём значения функции и её производных при x =0 :

f ( x ) = 2x ,

f (0 ) =1,

′

ln2,

′

f ( x ) = 2

f (0 ) =ln2,

′′

f ( x ) =

f (0 ) =ln

........................................................,

f ( n )( x ) = 2x lnn 2,

f ( n )(0 ) =lnn 2,

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Так как 0 <ln2 <1, то при фиксированном х имеет место неравенство f (n)( x ) < 2x для любого n. Следовательно, функция может быть представлена в

виде суммы ряда Маклорена:
2x =1 + xln2 +	x2 ln2 2	+	x3 ln3 2	+...	x ( −∞;∞)

2!		3!


Это решение можно	получить иначе: достаточно	в разложении (19)
заменить х на xln2 , так как	2x = eln 2x = exln 2 .
95 Разложить в ряд по степеням x функцию f ( x ) =		2	.

3 − x

Решение Воспользуемся формулой (26). Так как

то заменив х на

или

где −1 < 3x <1,

		f ( x ) =					2			=					2					=		2				1			,
		f ( x ) =				3 − x				=		3(1 −				x		)		=		3			1	−	x		,
						3 − x						3(1 −				3		)				3			1	−
																3											3
x	получим:
3	получим:
3
		2			2						x			x		2					x			3
				=				1 +					+						+							+...				,
				=				1 +					+						+							+...				,
		3 − x 3								3					3							3
		3 − x 3								3					3							3
		2	=	2	+		2		x	+			2		x2		+...+						2			xn		+...,
	3	− x	=	3	+		3		3	+			3		32		+...+						3			3n		+...,
	3	− x		3			3		3				3		32								3			3n

то есть −3 < x < 3.

96 Разложить в ряд по степеням x функцию f ( x ) = cos2 x .

				Решение
f ( x ) = cos2 x = 1	(1 +cos2x ),			поэтому достаточно разложить в ряд
2
функцию cos 2x, заменив в формуле (21) х на 2х:
cos2x	=1 −	22 x2	+	24 x4	−	26 x6	+ ,	x ( −∞;∞).
cos2x	=1 −	2!	+	4!	−	6!	+ ,	x ( −∞;∞).
		2!		4!		6!

Это разложение справедливо, как и в случае cos x , для всех x . В итоге получим:

cos2 x =

1 +1 − 2

−...+( −1)n

+... =

( 2n )!

−...+( −1)n 2

2 −

+... =

( 2n )!

2x2

23 x4

n 22n−1 x2n

=1 −

−...+( −1)

( 2n )!

+ ...

97 Разложить в ряд по степеням x функцию f ( x ) = e−x sin x . Решение

Ряд для функции e−x получается из ряда для функции ex заменой х на -х и абсолютно сходится на всей числовой прямой. Ряд для функции sin x также абсолютно сходится на всей числовой прямой. Поэтому, чтобы получить

разложение функции f ( x ) = e−x sin x в ряд, достаточно перемножить абсолютно

сходящиеся ряды для функций e−x и sin x .

e−x sin x = 1 −

−

+...

x −

−... = x − x2 +

−

x5 +...

Полученный ряд, по свойству сходящихся рядов, сходится на всей числовой прямой к функции f ( x ) = e−x sin x .

Задания для самостоятельного решения

98 Разложить функцию ряд Тейлора f ( x ) = 1x по степеням (х+2).

Разложить функцию ряд Тейлора, взяв три члена разложения

99f ( x ) = sin x по степеням x − π .

100	f ( x ) =		x2	по степеням х.

		4	−5x

101f ( x ) = 2xcos2 x − x по степеням х.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.2026896 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Рыночная экономика. Market Economy. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026892 Кб0Рыночные циклы как выявлять и использовать закономерности для успешного инвестирования.pdf
#
15.08.2026951 Кб0Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026847 Кб0Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.2026740 Кб0Ряды. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026762 Кб0Ряды. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026623 Кб0С английским языком в дорогу. Справочник.pdf
#
09.08.2026356 Кб0С того берега. Эссе.pdf
#
09.08.2026431 Кб0Сalorimetric measurements of thermal effects of chemical reactions and physicochemical processes. Laboratory training guidance.pdf
#
15.08.2026941 Кб0Садово-парковое искусство. История. Учебное пособие для вузов.pdf