Подставляя в это равенство x = x0 , найдём y0′′′= f ′′′( x0 ) = y′′′( x0 ).
Дифференцируя y′′′ еще раз по x , найдем f IV ( x0 ) = yIV ( x0 ) и т. д. Найденные значения производных подставим в ряд Тейлора решения y = f ( x ).
Для тех значений x , при которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.
Решение типовых примеров
110 Найти первые три члена разложения в степенной ряд частного решения уравнения y′′ = y cos x + x , удовлетворяющего начальным условиям:
y(0 ) =1,y′(0 ) =0 .
Решение
Ищем решение уравнения в виде ряда Маклорена (т. к. x0 =0 ) y = y(0 ) + y′(0 ) + y′′2!(0 ) x2 + y′′′3!(0 ) x3 +... .
|
Учитывая, что при x =0 , |
y =1 |
находим |
′′ |
|
|
|
|
||||||||||
|
y (0 ) =1cos0 +0 =1. |
|
||||||||||||||||
|
Для |
нахождения |
y′′′дифференцируем |
обе |
части |
данного уравнения |
||||||||||||
y′′′ = y′cos x − y sin x +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При x =0 |
получим |
|
′′′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y (0 ) = y (0 )cos0 + y( 0 )sin0 +1 =0 1 +1 0 +1 =1 |
|
||||||||||||||||
|
Подставляя значения |
|
y(0 ), |
|
|
′ |
′′ |
|
y |
′′′ |
в ряд для частного |
|||||||
|
|
|
y (0 ), y ( 0 ), |
(0 ) |
||||||||||||||
решения |
y( x ), |
получим приближенное выражение частного решения в виде |
||||||||||||||||
частичной суммы ряда y( x ) ≈1 |
+ |
x2 |
|
+ |
|
x3 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если дифференциальное уравнение линейное, то удобнее искать частное |
|||||||||||||||||
решение |
в виде степенного ряда |
y = a + a x + a x2 +...+ a xn +... |
или |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
n |
|
y = a + a ( x − x |
) + a ( x − x |
|
)2 +.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения коэффициентов a0 , a1 ,…, an |
решение в виде степенного |
||||||||||||||||
ряда подставляют в уравнение и приравнивают коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях x в левой и правой частях уравнения.
111y′′= 2xy′+4 y
y(0 ) =0,y′(0 ) =1
Решение
y = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 +...+ an xn +...
37
y(0 ) = a0 |
=0 |
y′= a1 + 2a2 x +3a3 x2 +... |
′ |
=1 |
|
y ( 0 ) = a1 |
|
Следовательно, y = x + a2 x2 + a3 x3 +...+ an xn +...
y′=1 + 2a2 x +3a3 x2 +...+ nan xn−1 +...
y′′= 2a2 + 2 3a3 x +...+ n( n −1)an xn−2 +...
Подставляем y,y′,y′′ в уравнение, получим
2a2 + 2 3a3 x +...+ n( n −1)an xn−2 +... =
|
= 2x(1 + 2a x +3a x2 |
|
+...+ na xn−1 |
+...) + 4( x + a x2 |
+ a x3 +...+ a xn |
+...), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2a2 =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 2a3 = 2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 3a4 = 4a2 + 4a2 a4 =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 2an−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n( n −1)a |
|
=( n −2 ) 2a |
+ 4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−2 |
|
|
|
n−2 |
|
n |
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
a =0 ; |
|
|
|
|
a |
|
= |
; |
|
|
a =0 ; |
a |
= |
2 |
= |
; |
a = |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2! |
|
|
6 |
|
|
7 |
6 |
3! |
|
9 |
4! |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a =0 ; |
|
|
|
a |
+1 |
= |
( k −1)! |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя найденные значения коэффициентов и искомое частное решение, получим
y = x + |
x3 |
+ |
x5 |
+ |
|
x7 |
+ |
...+ |
x2n+1 |
|
|||||
|
|
|
3! |
|
|||||||||||
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|||||
|
|
|
x |
4 |
|
|
x |
6 |
+...+ x |
2n |
|||||
y = x 1 + x2 + |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2! |
|
|
|
3! |
|
n! |
||||||||
y = xex2 .
+…
+...
Задания для самостоятельного решения
112 Вычислить cos100 ограничившись двумя членами ряда, оценить погрешность.
38
113 Вычислить: |
|
а) 4 90 с точностью до 10−4 ; |
б) 4 630 с точностью ε =10−4 ; |
в) sin90 с точностью до 10−4 ; |
г) 5 |
|
с точностью до 10−4 . |
34 |
114Вычислить ln1,2 .
115Вычислить e−0,2 с точностью ε =0,0001.
116Ограничиваясь первыми тремя членами разложения вычислить
1 |
|
0,5 |
|
x |
|
0,4 |
x2 |
|
а) ∫sin xdx ; |
б) ∫ |
e |
|
−1dx ; |
в) ∫e− |
|
dx . |
|
|
4 |
|||||||
0 |
x |
0 |
|
|
x |
0 |
|
|
117 Вычислить:
0,1 ln(1 + x ) |
с точностью ε =10 |
−3 |
; |
||
а) ∫ |
x |
dx |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
39
0,5 |
1 −cos x |
dx с точностью ε =10 |
−4 |
. |
|
б) ∫ |
x |
2 |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
118 С помощью разложения в ряд по степеням х проинтегрировать уравнения: y′ = x − 2 y, y( 0 ) =0.
119 Методом последовательного дифференцирования найти первых три члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения
y |
′′ |
= xy |
′ |
− y +e |
x |
′ |
|
|
|
, y(0 ) =1, y (0 ) =0, |
40
120 Найти решение уравнения y |
′′ |
+ y x + y = xcos x, |
y(0 ) =0, y ( 0 ) =1, |
|
′ |
′ |
используя метод неопределённых коэффициентов.
41