1.4.Функциональные ряды

Определение Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:

n=1

Совокупность тех значений x , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси Оx.

Частичная сумма функционального ряда, т. е. сумма первых n его членов, является функцией переменной x :

21

В любой точке x из области сходимости функционального ряда (9) существует предел частичной суммы (10) при n →∞. В точках, не принадлежащих области сходимости функционального ряда частичная сумма Sn( x ) не имеет предела. Сумма функционального ряда является некоторой функцией от x , определенной в области сходимости ряда:

такое число N, что для всех n>N и для всех x D справедливо неравенство

Признак Вейерштрасса

(достаточный признак равномерной сходимости)

∞

Если для ряда ∑un( x ) на отрезке [a, b] существует сходящийся

n=1

∞

знакоположительный числовой ряд ∑Cn , удовлетворяющий условию

n=1

un( x ) ≤Cn ( n =1,2,...),

∞

то ряд ∑un( x ) сходится на отрезке [a,b] равномерно.

n=1

Решение типовых примеров

Решение По радикальному признаку Коши имеем:

22

23