45 |
1 − |
1 |
+ |
1 |
− |
|
1 |
+...+(−1)n−1 |
1 |
|
+ ... ε =0,01. |
2 |
2 |
|
2 |
(2n −1) |
2 |
||||||
|
|
3 |
|
5 |
|
7 |
|
|
|
||
1.3.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Определение Ряды, члены которых имеют произвольные знаки, называются знакопеременными рядами. Пусть
u1 +u2 +u3 + ...+un + ... |
(8) |
знакопеременный ряд.
Числа u1 , u2 , …, un ,...могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов ряда произвольное.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Если для знакопеременного ряда u1 +u2 +u3 + ...+un + ... сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т. е. u1 + u2 +...+ un +..., то данный знакопеременный ряд также сходится.
Определение Знакопеременный ряд u1 +u2 +u3 + ...+un + ... называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов u1 + u2 +...+ un +....
На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда
всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Определение Знакопеременный ряд u1 +u2 +u3 + ...+un + ... называется условно сходящимся (или неабсолютно сходящимся), если он сходится, а ряд u1 + u2 +...+ un +..., составленный из абсолютных величин его членов расходится.
Решение типовых примеров
Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить характер сходимости (абсолютная, условная)
46 ∑∞ ( −1)n
n=1 4
n5
Решение
18
Ряд знакочередующийся, поэтому применим признак Лейбница.
1) |
1 > |
|
|
1 |
|
|
|
> |
|
|
1 |
|
> |
|
|
1 |
|
|
|
> ...первое условие признака выполнено, |
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
25 |
|
4 |
35 |
|
4 |
45 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) |
lim |
|
|
1 |
|
|
=0 |
|
второе условие признака выполнено, значит, ряд сходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
4 n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Составим ряд из абсолютных величин данного ряда: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
+ ...+ |
1 |
|
+ .... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 25 |
|
4 35 |
4 45 |
4 n5 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Этот |
|
ряд |
|
|
обобщённо |
|
|
гармонический и |
|
при p = 5 >1 является |
|||||||||||||||||||||||||||||
4
сходящимся.
Значит, данный ряд сходится абсолютно.
47 ∑∞ ( −1)n+1 . n=1 10n +1
Решение
Применим признак Лейбница.
1) 111 > 211 > 311 > 411 > ...первое условие признака выполнено,
2) lim |
1 |
|
|
=0 второе условие признака выполнено, значит, ряд |
|
+1 |
|||
n→∞ 10n |
|
|||
сходится.
Составим ряд из абсолютных величин данного ряда:
111 + 211 + 311 + 411 +...+ 10n1+1 +....
Исследуем этот ряд с помощью интегрального признака Коши: f ( x ) = 10x1+1 ,
∞ |
dx |
|
= |
1 |
∞ d(10x +1) |
= |
1 |
ln(10x +1) |
|
1∞ = ∞. |
|
|
|
||||||||||
∫1 10x +1 |
10 |
∫1 10x +1 |
10 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Интеграл расходится, поэтому и ряд расходится. Значит, данный ряд сходится условно.
48 1,1 −1,01 +1,001 −...+( −1)n−1 1 +(0,1)n +....
Решение
Применим признак Лейбница.
19
1) |
1,1 >1,01 >1,001 > ...первое условие признака выполнено, |
|||
2) |
lim(1 + |
1 |
) =1 второе условие признака не выполняется. Значит, ряд |
|
10n |
||||
|
n→∞ |
|
||
расходится.
Задания для самостоятельного решения
Выяснить, какие ряды сходятся абсолютно, какие сходятся условно, какие расходятся
49−32 + 252 − 273 +...+(−1)п 2п2+п 1+...;
50−412 +712 − 1012 +...+(−1)п (3п1+1)2 +...;
51 |
− |
1 |
+ |
1 |
− |
1 |
+...+(−1)n−1 |
1 |
|
+...; |
|
ln2 |
ln3 |
ln4 |
ln( n +1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
52 |
|
22 |
33 |
44 |
п пп |
−1 + |
2! − |
3! + |
4! +...+( −1) п! +...; |
||
53 |
1 − |
1 |
|
+ |
1 |
|
− |
1 |
|
+...+(−1)п+1 |
|
1 |
|
|
+...; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
5 |
|
7 |
|
2п |
−1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
54 |
1 |
− |
22 |
+ |
32 |
− |
42 |
+...+(−1)п+1 n2 |
+...; |
|
1! |
2! |
3! |
4! |
|||||||
|
|
|
|
n! |
|
55 |
1 |
− |
1 |
+ |
1 |
+ ...+(−1) |
n+1 |
1 |
+ ...; |
2ln2 |
3ln3 |
4ln4 |
|
(n +1)ln(n +1) |
20