Потому эти функции записаны с мультипликативными остатками, а не с аддитивными. Для логарифма y находят параметры с помощью МНК как для линейной модели.

Затем проводится обратное преобразование (потенцирование). Интервальный прогноз получают для линейной модели Y , затем выполняют обратное преобразование.

Из перечисленных выше функций это степенная функция, экспоненциальная функция и показательная функция (простая экспоненциальная). В таблице 9.1 представлены формулы прямого и обратного преобразования функций для приведения к формуле (9.2) с примене-

нием натурального логарифма. Y = ln y .

Таблица 9.1 – Линеаризующие преобразования для нелинейных функций

Обратную функцию можно линеаризовать заменой Y =1 y .

К сожалению, подобные преобразования меняют свойства ошибок εi , и если для

ошибок v (формула 9.2) предполагалось нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием, то после логарифмирования оно таковым не останется, и актуальной является проблема интервального оценивания.

Выводы

Параметры квазилинейных моделей (моделей первого типа) можно найти с помощью обычного МНК. Для оценки параметров существенно нелинейных моделей (моделей второго типа) применяются приближенные итерационные методы, либо модель приводится к линейному виду, в основном, путем логарифмирования.

3. Выбор между линейной и нелинейной моделью

Вопрос о целесообразности применения нелинейной модели вместо линейной требует дополнительного исследования. Сравнение точности моделей можно выполнить путем сравнения коэффициента парной линейной корреляции r как показателя тесноты линейной связи и индекса корреляции R как показателя тесноты нелинейной связи.

Индекс корреляции определяется как корень из коэффициента детерминации (формула 9.3), принимает значения от 0 (при отсутствии связи) до 1 (при функциональной связи).

больше кривизна нелинейной регрессии, тем больше разность между R2 и r2. Существенность статистического различия между линейной и нелинейной регрессией

можно проверить по критерию Стьюдента:

где m R−r – ошибка разности между R и r , рассчитывается по формуле:

На практике, если разность R2 −r 2 <0,1 или значение t , рассчитанное по формуле (9.4), не превосходит 2, следует отдать предпочтение линейной модели.

Выводы

Для обоснования выбора между линейной и нелинейной моделью можно воспользоваться известными формулами.

Для выбора подходящей нелинейной модели следует изучить теорию той конкретной науки, на базе которой возникает задача построения модели связи между показателями.

При достаточно большом числе наблюдений и знания функций и их свойств можно подобрать формулу по внешнему виду эмпирического графика зависимости y от x.

Заключение

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1.Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.

2.Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по включенным переменным, приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

В общем случае для оценки параметров нелинейных моделей применяются численные методы решения задач на условный экстремум.

Вопросы для закрепления материала

1.Приведите примеры производственных функций.

2.Приведите примеры нелинейных функций одной переменной, которые используются в эконометрическом моделировании.

3.Два класса нелинейных регрессий. В чем их различие?

4.Как можно сделать выбор между линейной и нелинейной моделью регрессии?

5.Как оценивают параметры нелинейных моделей регрессии?

49

Лекция 10 Тема: Множественный корреляционный анализ

Рассмотрены понятия коэффициента детерминации и множественной корреляции, формула расчета коэффициента детерминации с помощью матрицы парных коэффициентов корреляции, проблема мультиколлинеарности и рекомендации по отбору факторов для построения модели множественной линейной регрессии.

Основные вопросы:

1.Множественная корреляция. Коэффициент детерминации.

2.Мультиколлинеарность.

3.Отбор факторов для построения модели регрессии. Частная корреляция

Основные понятия:

Коэффициент детерминации R2 (Y , X ) определяет долю общей вариации (изме-

нения) результативного признака Y, объясненную изменением признаков-факторов X(1), X(2), …, X(m).

Мультиколлинеарность – высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных.

Частный коэффициент корреляции измеряет степень тесноты линейной связи между двумя переменными при фиксированных значениях других (всех или части) переменных

Введение

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости переменной Y от нескольких объясняющих переменных – факторов X(1), X(2), …, X(m). Для исследования интенсивности, вида и формы связи широко применяется корреляционно-регрессионный анализ.

В парном корреляционном анализе исследуется связь изменений двух показателей без разделения на причину и следствие (например, связь изменения цены и спроса на некоторый товар). Во множественном анализе переменные делятся на входные (объясняющие, или независимые, или экзогенные), и выходные (объясняемые, или зависимые, или эндогенные). Используются также термины факторный признак (или фактор) и результативный признак.

Действуя на результативный признак в одном направлении, факторы могут усиливать влияние друг друга. Если часть факторов имеют взаимно обратное воздействие на объект, то их совместное действие ослабляется или сводится на нет. Потому актуальной является задача не только построить уравнение множественной регрессии, но и исследовать связи.

1. Множественная корреляция. Коэффициент детерминации

Рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции для множества показателей, включающего Y – объясняемый признак и X = (X(1), X(2), …, X(m)) – набор объясняющих признаков (в таблице 10.1 матрица выделена рамкой). На главной диагонали число 1 – показатель тесноты связи каждого показателя с самим собой. Корреляционная матрица симметрична.

Таблица 10.1 – Корреляционная таблица

50

признака Y, объясненную изменением признаков X(1), X(2), …, X(m).

При линейной форме связи между Y и X и (m+1)-мерном нормальном распределении переменных (Y, X(1), X(2), …, X(m)) коэффициент детерминации равен квадрату множественного коэффициента корреляции R(Y,X):

R2 (Y , X ) = (R(Y , X ))2 .

R(Y,X), как и R2 (Y , X ), изменяется в пределах от 0 до 1.

Для краткости R2 (Y , X ) обозначают также Rm2 или просто R2 .

где: C – матрица, обратная к матрице W ;

c00 – элемент с индексами (0, 0), то есть, первый элемент матрицы C .

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации проверяют основную гипотезу H0: КД = 0 при альтернативной гипотезе H1: КД > 0. КД – коэффициент детерминации в генеральной совокупности.

Для проверки используется F-критерий Фишера: если справедлива гипотеза H0, то случайная величина

подчиняется F-распределению с m и n–m–1 степенями свободы.

Если полученное по выборке значение F (формула 10.2) меньше, чем критическая точка F- распределения для заданного уровня значимости α , гипотезу H0 принимают, а если больше, гипотезу H0 отвергают с вероятностью ошибки, не превышающей α , и коэффициент детерминации (а также коэффициент множественной корреляции) считают значимым.

Выводы

Корреляционную матрицу можно использовать для расчета коэффициента детерминации. Для определения статистической значимости коэффициента детерминации проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента детерминации в генеральной совокупности. Для проверки используется F-критерий Фишера.

2. Мультиколлинеарность

Модель множественной регрессии можно строить, если коэффициент множественной корреляции является значимым. Но все ли факторы из множества X в него включать?

При построении регрессионной модели одной из предпосылок является требование возможно меньшей коррелированности включенных в модель признаков X(1), X(2), …, X(m) (отсутствие мультиколлинеарности). Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных X (коэффициент корреляции по абсолютной величине превосходит 0,7).

51

Примечание. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называют коллинеарными векторами.

Степень взаимной коррелированности признаков-факторов можно оценить по матрице парных коэффициентов корреляции, проверив для каждой пары факторов X ( j) и X (k) (j, k = 1, 2, …, m) соблюдение следующих неравенств:

То есть, при отсутствии мультиколлинеарности теснота связи каждой пары входных признаков X между собой должна быть меньше по абсолютной величине, чем у каждого из них с Y.

В случае линейной зависимости между факторами X система уравнений МНК для определения коэффициентов регрессии не будет иметь единственного решения, в результате чего коэффициенты регрессии окажутся неустойчивыми. Кроме того, наличие взаимосвязи факторов затрудняет экономическую интерпретацию коэффициентов регрессии, так как изменение одного из факторов влечет, как правило, изменение факторов, с ним связанных, а не напрямую влияет на изменение Y, и мы не сможем выделить «чистого» влияния изменения каждого из факторов на изменение Y.

Высокая степень мультиколлинеарности свойственна временным рядам, когда с течением времени одновременно изменяются значения всех переменных (неважно, увеличиваются или уменьшаются). Встречается она и в перекрестных данных, в особенности при измерении значений переменных в абсолютных единицах (в денежном или в натуральном выражении). Например, чем больше население в регионе, тем больше в этом регионе число родившихся, объем валового регионального продукта (ВРП), объем инвестиций, число занятых, объемы перевозок, строительных работ и т. д.

Причины возникновения мультиколлинеарности между признаками:

1.Изучаемые факторные признаки характеризуют одну и ту же сторону явления или процесса (например, показатели объема произведенной продукции и среднегодовой стоимости основных фондов одновременно включать в модель не рекомендуется, так как оба характеризуют размер предприятия).

2.Суммарное значение факторных признаков представляет собой постоянную величину (например, коэффициенты годности и износа).

3.Факторные признаки являются элементами друг друга (например, затраты на производство продукции и себестоимость продукции).

4.Факторные признаки по экономическому содержанию дублируют друг друга (например, прибыль и рентабельность продукции).

Таким образом, мультиколлинеарности можно избежать еще на этапе экономического анализа изучаемого явления.

Для уменьшения мультиколлинеарности рекомендуется переходить от абсолютных единиц измерения к относительным: использовать, например, число родившихся на 1000 человек населения (коэффициент рождаемости), ВРП на душу населения и т. п. Для временных рядов используют показатели динамики, например, индексы физического объема ВРП в постоянных ценах в процентах к предыдущему году и т. п. Однако эти приемы не гарантируют полного исключения мультиколлинеарности, поскольку экономике свойственно взаимное влияние факторов.

Для построения уравнения регрессии в условиях мультиколлинеарности разработан ряд методов. Метод главных компонент основан на формировании новых компонент, являющихся линейными комбинациями исходных факторов. При большом числе факторов

имультиколлинеарности применяются методы регуляризации регрессии (метод «лассо», гребневая регрессия и «эластичная сеть»). Однако наиболее часто применяется самый простой метод (правда, не всегда эффективный) – исключение из набора X части факторов.

52