Лекция 19 Тема: Системы одновременных уравнений

Основные вопросы:

1.Виды одновременных уравнений.

2.Методы оценки систем одновременных уравнений.

3.Проблема идентифицируемости системы одновременных уравнений.

Основные понятия:

Эндогенные переменные – зависимые (возможно, взаимозависимые) переменные, которые определяются внутри модели (системы), обозначаются Y .

Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы, обозначаются X .

К предопределенным переменным относятся лаговые и текущие независимые переменные, а также лаговые эндогенные переменные.

Структурной формой системы называется представление системы, в котором

вуравнениях может присутствовать более одной эндогенной переменной (в стандартной записи это означает, что в правой части уравнений, то есть в качестве регрессоров, имеются эндогенные переменные).

Приведённой (прогнозной) формой системы называется представление системы,

вкотором в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная, то есть эндогенные переменные выражены через экзогенные.

Введение

Многие экономические процессы не могут быть реально описаны с помощью одного уравнения. Объектом изучения часто является не одна, а несколько эндогенных переменных, и, соответственно, требуется несколько уравнений. Построения изолированных уравнений регрессии обычно недостаточно для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования, поскольку изменение одной переменной, как правило, не может происходить без изменения других. Систему следует дополнить уравнениями, в которые входят объясняемые переменные из других уравнений системы.

Необходимость использования систем одновременных уравнений возрастает при переходе с микроэкономического уровня к макроэкономическому. Так, в построении модели национальной экономики используются системы уравнений, включающие в себя: функции потребления, чистого дохода, инвестиций, заработной платы и т. д. Это объясняется, прежде всего, тем, что макроэкономические показатели, которые являются основополагающими показателями состояния экономики страны, тесно взаимосвязаны. Так, например, расходы на конечное потребление зависят от валового национального дохода, а он, в свою очередь, рассматривается как функция инвестиций.

Поэтому важное место занимает проблема описания структуры связей между переменными с помощью системы эконометрических уравнений.

1. Виды одновременных уравнений

Системы эконометрических уравнений включают множество зависимых (эндо-

генных) переменных и множество предопределенных переменных.

Как и эконометрические модели с одним уравнением, системы эконометрических уравнений направлены на объяснение текущих значений эндогенных переменных в зависимости от значений предопределенных переменных.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других – как экзогенные переменные. Неэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные.

99

Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования.

В эконометрическом моделировании выделяют два вида систем уравнений: система внешне не связанных между собой уравнений и система взаимосвязанных (совместных) уравнений.

1. Система внешне не связанных между собой уравнений представляет собой k

регрессионных уравнений вида:

εi –вектор ошибок (размерность n×1),

βi – вектор параметров, i =1,...,k .

Набор независимых переменных может быть один и тот же во всех уравнениях, а может различаться.

Для простоты уравнения обычно записывают в отклонениях от средних значений, тогда в уравнениях нет свободного члена, число параметров модели равно числу неза-

висимых переменных, и βi имеет размерность mi ×1, i =1,...,k .

Внешне уравнения системы (19.1) выглядят как не связанные друг с другом, однако обычно в такой системе связаны между собой (коррелированны) ошибки, поскольку наблюдения для системы уравнений регистрируются в одной «экономической среде». Если данные представляют собой временные ряды, то считается, что ошибки во всех уравнениях коррелированы в один и тот же момент времени и некоррелированы для разных моментов.

Каждое уравнение системы (19.1) можно решать отдельно, применяя обычный метод наименьших квадратов. Однако можно повысить эффективность оценок параметров модели, если объединить уравнения вместе и применить обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

Обобщенный метод наименьших квадратов

Ω – ковариационная матрица ошибок.

Используя понятие произведения Кронекера двух матриц, вектор ошибок можно представить в виде: Ω = Σ In , In – единичная матрица.

100

Для оценки матрицы Σ применяют к каждому уравнению системы (19.1) обычный МНК, получают векторы остатков ei (i =1,...,k , размерность каждого вектора n×1).

В качестве элементов матрицы Σ используют значения sij = (eiT e j )n .

Эффективность оценок β , полученных с помощью ОМНК по сравнению с МНКоценками β тем выше, чем сильнее корреляция между ошибками.

Оценки, полученные с помощью обычного МНК и обобщенного МНК, будут совпадать в двух случаях:

1)уравнения системы (19,1) действительно не связаны;

2)все уравнения имеют один и тот же набор независимых переменных.

2. Система взаимосвязанных (совместных) уравнений представляет собой k

регрессионных уравнений, в которых одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую.

Форма (19.4) называется структурной формой системы уравнений. Параметры структурной формы называют структурными параметрами. Уравнения структурной формы называются также поведенческими.

Если систему уравнений (19.4) разрешить относительно Y так, чтобы в правой части остались только экзогенные переменные, получим так называемую приведенную форму системы. Коэффициенты приведенной формы представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели.

По своей структуре приведенная форма системы одновременных уравнений ничем не отличается от системы независимых уравнений, оценка параметров которых находится через обычный МНК. Параметры приведенной формы можно оценить с помощью метода наименьших квадратов, далее оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

С экономической точки зрения больший интерес представляют параметры структурной формы, т. к. именно структурная форма описывает механизм формирования значений эндогенных переменных.

Кроме регрессионных уравнений типа (19.4), модель также может содержать тождества, которые представляют собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными.

Классический пример системы одновременных уравнений – одновременное формиро-

Если рынок находится в состоянии равновесия, то Qd = Qs = Q . В этом случае значение наблюдаемое значение P – цена равновесия, которая формируется одновременно со

101

спросом и предложением. Таким образом, P и Q следует считать объясняемыми (эндогенными) переменными, а I – объясняющей (экзогенной) переменной.

В системе два поведенческих уравнения (19.5) и одно тождество Qd = Qs . Используя тождество, запишем систему в структурной форме вида (19.4), где:

Выводы

Оценивание параметров системы одновременных уравнений требует применения специальных методов. Один из них – косвенный метод наименьших квадратов.

2. Методы оценки систем одновременных уравнений

Непосредственное применение обычного метода наименьших квадратов для оценки уравнений системы (в структурной форме) нецелесообразно, так как в системах одновременных уравнений нарушается важнейшее условие регрессионного анализа – экзогенность факторов. Это приводит к тому, что оценки параметров будут смещенными и несостоятельными.

Косвенный метод наименьших квадратов

Идея косвенного МНК: систему уравнений в структурной форме (19.4) преобразуем к приведенной форме (при этом можно выполнить центрирование переменных, чтобы получить уравнения без свободного члена). Находим оценки параметров приведенной формы с помощью обычного МНК, затем преобразуем их в параметры структурной формы.

В отличие от оценок, полученных с помощью МНК для структурной формы, оценки приведенной формы являются состоятельными.

Пример. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя эндогенными переменными:

Если все переменные системы (19.6) отцентрировать, то значения α1 и α2 (значит, также a1 и a2 ) будут равны нулю.

Находим оценки параметров каждого уравнения системы (19.7) отдельно с помощью МНК, затем выражаем через них параметры модели (19.6) по формулам: