1500 |
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
-500 |
|
|
|
|
|
|
-1000 |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 17.2 – Ряд остатков при неправильно выбранной модели тренда |
|
||||
На рисунке 17.2 можно увидеть, что остатки не случайны: наблюдаем длинные волны.
1 |
n |
|
|
||||
∑(ei − ei −1)2 |
|
||||||
|
|
|
|
||||
Статистика Дарбина-Уотсона, рассчитанная по формуле DW = |
n −1i =2 |
|
, |
||||
|
n |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
∑ei2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i =1 |
|
||
имеет значение 0,057. Значение DW, близкое к 0, соответствует положительной автокорреляции. Причиной явился неправильный выбор модели тренда.
Выводы
Нарушение условий Гаусса-Маркова для временных рядов может привести к большим ошибкам прогноза.
2. Интервальный прогноз
Поскольку точное совпадение фактических данных в будущем с прогностическими точечными оценками маловероятно, точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, т. е. указанием интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой величины. Установление такого интервала называется интервальным прогнозом.
Расчет доверительных интервалов при прогнозировании с использованием кривых роста опирается на выводы и формулы теории регрессий. Перенесение выводов теории регрессий на временные ряды не совсем правомерно, так как временные ряды, как выше уже отмечалось, отличаются от перекрестных данных. Поэтому к оцениванию доверительных интервалов для кривых роста следует подходить с известной долей осторожности.
Для линейного тренда расчет доверительного интервала для индивидуальных
значений y при t =t p с заданной доверительной вероятностью p (обычно p |
= 0,95, |
||||||||||
вероятность ошибки α =0,05) можно выполнить по формуле для парной регрессии |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t p − t |
|
|
|
||||
U y(t p ) = y(t p ) ± tα S y |
1 + |
|
+ |
|
. |
(17.1) |
|||||
n |
n |
||||||||||
|
|
|
|
∑(ti − t |
)2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|||
Здесь tα – критическая точка распределения Стьюдента для уровня значимости α и числа
степеней свободы n − k ;
ti – моменты времени наблюдений, i = 1, 2, …, n ;
t p – момент времени, для которого выполняется прогноз.
Формулу (17.2) можно упростить, если перенести начало отсчета в точку со средним значением t . Делаем замену переменных: z = t − t .
90
|
|
|
|
1 |
|
z p |
2 |
|
|
|
|
U y(t p ) = y(t p )± tα S y |
|
1+ |
|
+ |
|
|
, |
(17.2) |
|||
n |
∑z2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эта нумерация особенно удобна при нечетном числе наблюдений.
Ширина доверительного интервала прогнозирования по трендовой модели зависит от: − средней квадратической (стандартной) ошибки модели S y ;
|
|
n |
|
|
|
|
|
∑(yt − yt )2 |
|
|
|
S y = |
t =1 |
(17.3) |
|||
n −k |
|||||
|
|
|
|
||
−количества наблюдений во временном ряду n ;
−заданной доверительной вероятности p ;
−длины периода упреждения τ .
В формуле (17.3):
yt – фактическое значение уровня временного ряда для времени t ; yt – расчетная оценка соответствующего показателя по модели;
k – число параметров модели (например, для линейного тренда k = 2 ).
Средняя квадратическая ошибка модели S y (обозначается также Se ) является основным показателем точности модели. Кроме S y , используется также средняя относи-
тельная ошибка аппроксимации |
|
|
n |
|
|
|
− y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
y |
t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
εотн |
= |
|
∑ |
|
|
t |
|
|
100% , |
(17.4) |
|||
|
|
|
yt |
||||||||||
|
|
|
|
n t =1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Формула (17.4) неприменима при наличии нулевых уровней ряда yt
Для ряда с равными промежутками времени можно использовать формулу:
|
|
|
|
|
|
|
|
U y(n+τ ) = yn+τ ±tα S y 1+ |
1 |
+ |
3 (n +2τ −1)2 |
, |
(17.4) |
||
n |
n (n2 −1) |
||||||
|
|
|
|
|
|||
где τ – период упреждения.
Формула доверительного интервала для прогноза индивидуальных сительно тренда, имеющего вид полинома второго или третьего порядка
в точке t ), выглядит следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1+ |
1 |
|
z p |
2 |
|
∑z4 −2z2p ∑z2 +nz4p |
|
|||
U y(t p ) = y(t p )±tα S y |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
−(∑z2 )2 |
. |
|||
n |
∑z2 |
n∑z4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
значений отно- (начало отсчета
(17.5)
Доверительные границы для экспоненциальной кривой роста вычисляются как доверительный интервал для логарифма линии тренда. Границы затем потенцируются. Интервал получается несимметричным относительно точечного прогноза.
Несмотря на громоздкость некоторых формул, расчет точечных и интервальных прогнозов на основе трендовых моделей в форме кривых роста технически является достаточно простой процедурой. Однако не следует обольщаться простотой процедуры экстраполяции и пытаться заглянуть слишком далеко: это обычно приводит к грубым ошибкам.
Формулы интервального прогноза можно применять не только для экстраполяции (прогноза вперед), но и для так называемого ретропрогноза, то есть «прогноза» для имею-
щихся значений t . Попадание наблюдаемых значений yt в рассчитанные границы может служить косвенным подтверждением выполнения условий Гаусса-Маркова.
91
Выводы
Формулы интервального прогноза существуют только для линейных моделей и поли-
номов.
Для экспоненциальной кривой роста границы интервального прогноза вычисляются как доверительный интервал для логарифма линии тренда. Границы затем потенцируются.
Для остальных моделей можно получить только границы краткосрочного прогноза, используя формулы линейной модели.
3. Верификация прогноза
При экстраполяционном прогнозировании весьма важным является заключительный этап – верификация прогноза. Верификация любых дескриптивных моделей, к которым относятся, в том числе, трендовые модели, сводится к сопоставлению расчетных результатов по модели с соответствующими данными действительности – массовыми фактами и закономерностями экономического развития.
Верификация прогнозной модели представляет собой совокупность критериев, способов и процедур, позволяющих на основе многостороннего анализа оценивать качество получаемого прогноза. Однако чаще всего на этапе верификации в большей степени осуществляется оценка метода прогнозирования, с помощью которого был получен результат, чем оценка качества самого результата. Это связано с тем, что до сих пор не найдено эффективного подхода к оценке качества прогноза до его реализации.
Даже в тех случаях, когда прогноз не оправдался, нельзя категорически утверждать, что он был бесполезен, поскольку пользователь, если он хотя бы частично контролирует ход событий и может воздействовать на экономический процесс, может использовать прогнозную информацию желаемым для себя образом. Так, получив прогноз событий, определяющих нежелательное направление перспективного развития, пользователь может принять меры, чтобы прогноз не оправдался; такой прогноз называется самодеструктивным. Если прогноз предсказал ход событий, устраивающий пользователя, то он может использовать свои возможности для увеличения вероятности правильного прогноза; подобный прогноз называется саморегулирующим. Таким образом, показателем ценности прогноза является не только его достоверность, но и полезность для пользователей.
О точности прогноза принято судить по величине ошибки прогноза – разности между фактическим значением исследуемого показателя и его прогнозным значением. Очевидно, что определить указанную разность можно лишь в двух случаях: либо если период упреждения уже окончился и известно фактическое значение прогнозируемого показателя (известна его реализация), либо если прогнозирование осуществлялось для некоторого момента времени в прошлом, для которого известны фактические данные.
Во втором из названных случаев информация делится на две части. Часть, охватывающая более ранние данные, служит для оценивания параметров прогностической кривой роста, другая, более поздняя, рассматривается как реализация прогноза. Полученные таким образом ошибки прогноза в какой-то мере характеризуют точность применяемой методики прогнозирования.
Проверка точности одного прогноза недостаточна для оценки качества прогнозирования, так как она может быть результатом случайного совпадения. Наиболее простой мерой качества прогнозов при условии, что имеются данные об их реализации, является коэффициент качества прогноза – отношение числа случаев, когда фактическая реализация охватывалась интервальным прогнозом, к общему числу прогнозов. Данную меру качества прогнозов k можно вычислить по формуле
k = |
p |
, |
(17.6) |
|
p + q |
||||
|
|
|
где p – число прогнозов, подтвержденных фактическими данными; q – число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.
92
Однако в практической работе проблему качества прогнозов чаще приходится решать, когда период упреждения еще не закончился и фактическое значение прогнозируемого показателя неизвестно. В этом случае более точной считается модель, дающая более узкие доверительные интервалы прогноза.
На практике не всегда удается сразу построить достаточно хорошую модель прогнозирования, поэтому описанные этапы построения трендовых моделей экономической динамики выполняются неоднократно.
Выводы
До сих пор не найдено эффективного подхода к оценке качества прогноза до его реализации, потому большое значение имеет применяемый метод прогнозирования и анализ свойств остатков.
Заключение
Прогнозные разработки являются неотъемлемой составной частью комплексных целевых программ. При разработке прогнозов можно выделить следующие этапы: сбор, анализ и корректировка материалов по прогнозированию; анализ сложившихся тенденций и проблем; разработка прогнозов в составе предполагаемой комплексной программы.
Структура прогноза обусловлена сроками, на которые он разрабатывается, а также основными направлениями развития, которые прежде всего зависят от «срока жизни» тенденций, сложившихся в период, предшествующий их разработке. Чем более устойчивый характер носят эти тенденции, тем шире может быть горизонт прогнозирования.
Вопросы для закрепления материала:
1.Дайте определения точечного прогноза и интервального прогноза.
2.Какая модель тренда считается адекватной?
3.Каким требованиям должна удовлетворять остаточная компонента временного
ряда?
4.Для каких моделей разработаны формулы интервального прогноза?
5.Что такое верификация прогноза?
93