Лекция 18 Тема: Модели стационарных временных рядов

Основные вопросы:

1.Модели авторегрессии.

2.Модель авторегрессии – скользящего среднего.

3.Модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего.

Основные понятия:

В авторегрессионных (АР) моделях текущее значение процесса представляется как линейная комбинация предыдущих его значений и случайной компоненты.

Стационарный процесс второго порядка – для любых двух интервалов ( t1; t2 )

и (t3 ; t4 ) должно выполняться равенство математических ожиданий, дисперсий и однопорядковых коэффициентов автокорреляции исследуемого процесса.

Автокорреляция – это корреляция между значениями yt и yt +k , т. е. статис-

тическая связь уровней одного и того же временного ряда, сдвинутых во времени на k периодов.

Введение

При моделировании динамики финансовых показателей и ряда других явлений предполагается, что тенденция процесса предопределена их внутренними закономерностями. Внутренняя детерминация, или самодетерминация, более устойчива, ее проще идентифицировать с использованием экономико-математических моделей. В таких моделях в

качестве факторов используются либо прошлые значения переменной yt −1 , yt −2 , … (модели авторегрессии), либо ошибки εt −1, εt −2 , … (модели скользящего среднего), либо

те и другие совместно. Коэффициенты модели (информационная ценность наблюдений) зависят от тесноты связи между уровнями временного ряда.

Рассмотрим алгоритмы построения моделей и применение для прогнозирования.

1.Модели авторегрессии

Вавторегрессионных (АР) моделях текущее значение процесса представляется как линейная комбинация предыдущих его значений и случайной компоненты.

Здесь p – порядок модели. АР-модель порядка p обозначают AP(p).

АР-модели хорошо описывают колебания, что весьма важно для моделирования сезонных, циклических и неустойчивых показателей.

В формальной записи нет свободного члена, т. к. обычно модель авторегрессии строят для стационарного временного ряда, т. е. ряда с исключенной тенденцией. Однако для выполнения условий Гаусса-Маркова свободный член лучше включить в модель, даже если его оценка будет статистически незначимой.

Например, модель линейного тренда можно записать в виде модели АР(1). Поскольку коэффициент наклона a1 равен среднему цепному приросту, модель имеет

вид:

ft = ft −1 + a1 .

Для временного ряда, имеющего тренд, близкий к линейному, также можно построить АР-модель, но порядок модели может оказаться выше, чем 1, вследствие колебаний вокруг линии тренда.

94

Под процессом без тенденции имеется в виду стационарный процесс второго порядка, т. е. для любых двух интервалов ( t1; t2 ) и (t3; t4 ) должно выполняться

равенство математических ожиданий, дисперсий и однопорядковых коэффициентов автокорреляции исследуемого процесса. На практике выполнение этих равенств предполагается в статистическом смысле.

Автокорреляция – это корреляция между значениями yt и yt +k , т. е.

статистическая связь уровней одного и того же временного ряда, сдвинутых во времени на k периодов.

Существует несколько формул для оценки коэффициента автокорреляции rk . Для стационарного ряда наиболее удовлетворительной признана оценка

yi +k – наблюдение на k периодов позднее, т. е. в момент времени t + k .

Для расчета в «Excel» можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ (для нестационарного ряда значения получаются несколько больше по абсолютной величине, чем по формуле (18.3), т. к. среднее значение не постоянно).

Идентификация AP(p) модели состоит в определении ее порядка p .

На практике для краткосрочного прогнозирования часто используют АР-модели порядка p = 1 или 2. Для рядов с сезонностью значение p равно длине цикла сезонности.

Однако на практике редко встречаются процессы, которые легко было бы идентифицировать. Поэтому порядок модели обычно определяются методом проб, перебирая несколько значений p .

Оценку параметров АР-модели выполняют с помощью МНК.

Проверку значимости оценок параметров АР-модели выполняют как для линейной модели, и незначимые «факторы» исключают по одному. Часть параметров АР-модели обычно являются статистически незначимыми, поскольку моделируются «внутренние» связи

временного ряда. Если, например, наблюдается связь значений yt с yt −1, то имеется связь

yt −1 с yt −2 и т. д., то есть, в АР-модели имеет место мультиколлинеарность.

В определении порядка авторегрессионной модели может помочь использование автокорреляционной функции (АКФ) и частной автокорреляционной функции (ЧАКФ).

Аргумент у обеих функций – сдвиг k .

Множество значений коэффициентов автокорреляции (АКФ) и коэффициентов частной автокорреляции (ЧАКФ) со сдвигом (лагом) на 1, 2 и т. д. представляют в виде таблицы. Графически функции представляют в виде гистограммы (столбчатой или линейчатой). Функции симметричны относительно 0, потому обычно рассматриваются только значения k > 0.

На практике для получения полезных статистических выводов рекомендуется рассматривать ряды длиной n > 50, а k ≤ [n/4]. Здесь [ ] – целая часть числа. При

большем значении k точность оценки АКФ слишком низкая.

95

Абсолютные значения коэффициентов автокорреляции у «чистых» авторегрессионных процессов плавно «затухают» по экспоненте (при наличии сезонности наблюдается затухающая синусоида). Коэффициенты ЧАКФ у авторегрессионных процессов резко обрываются до нулевого уровня после значения k = p . На практике значения снижаются не до

нуля, но до малой величины.

Коэффициенты ЧАКФ φk с коэффициентами автокорреляции rk связывает система уравнений Юла-Уокера (18.4):

Решая последовательно систему (18.4) для k = 1, 2, …, из каждого решения выбирают только одно значение φk . При k = 1 система (18.4) представляет собой одно уравнение:

r1 =φ1, откуда получаем φ1 = r1.

При использовании АР-модели для прогнозирования прогноз на один период упреждения основывается на фактических уровнях временного ряда, в дальнейшем прогнозе участвуют рассчитанные по модели значения.

Если во временном ряду имеется тренд, отличный от линейного, перед построением АР-модели тренд надо исключить и привести ряд к стационарному виду. Часто это удается сделать одним из способов:

1.Исключением тренда, представленного кривой роста.

2.С помощью преобразований, к которым относятся: 1) взятие конечных разностей:

−первые разности (цепной прирост) zt = ∆(t1) = yt − yt −1 используют для закона изменения y , близкого к линейному;

−вторые разности zt = ∆(t2) = ∆(t1) − ∆(t1−)1 = yt − 2 yt −1 + yt −2 используют для закона изменения y , близкого к квадратичной параболе.

Возможны и другие преобразования.

Способ преобразования в стационарный ряд обычно определяются методом проб из нескольких альтернатив.

Выводы

Идентификация AP(p) модели состоит в определении ее порядка p .

Оценку параметров АР-модели выполняют с помощью МНК.

Часть параметров АР-модели обычно являются статистически незначимыми, поскольку моделируются «внутренние» связи временного ряда.

96

Абсолютные значения коэффициентов автокорреляции у «чистых» авторегрессионных процессов плавно «затухают» по экспоненте (при наличии сезонности наблюдается затухающая синусоида). Коэффициенты ЧАКФ у авторегрессионных процессов резко обрываются до нулевого уровня после значения k = p .

2.Модель авторегрессии – скользящего среднего

Вмодели скользящего среднего порядка q (обозначается СС или CC(q)) текущий уровень ряда представляется в виде линейной комбинации текущей и q предыдущих зна-

чений ошибки, обладающей свойствами «белого шума»: нулевым матожиданием, постоянной дисперсией и единичной автокорреляционной матрицей:

Определение параметров модели осуществляется с помощью итеративных процедур, за исключением самой простой модели СС(1):

а коэффициенты АКФ резко обрываются до нулевого уровня после значения k = q .

На практике для краткосрочного прогнозирования обычно используют СС-модели порядка q = 1 или 2.

Можно показать, что АР-модель можно представить в виде СС-модели с порядком q = ∞. Например, модель АР(1) имеет вид:

j =1

Аналогичные выкладки можно выполнить для представления СС-модели в форме АРмодели с порядком p = ∞.

По числу параметров модель (18.8) более экономична, чем модель (18.9).

В практическом применении, если процесс не является «чистым» авторегрессионным или «чистым» процессом скользящего среднего, с целью минимизации числа параметров модели можно анализировать одновременно АКФ и ЧАКФ и строить модель смешанного процесса АРСС(p,q).

Выводы

Коэффициенты ЧАКФ у процессов скользящего среднего плавно затухают, а коэффициенты АКФ резко обрываются до нулевого уровня после значения k = q .

3. Модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего

Чтобы сделать возможным применение АРСС-моделей к нестационарным рядам, на первом этапе формируют стационарный ряд. Метод Бокса-Дженкинса основан на утверждении: получить стационарный ряд можно путем перехода от исходного временного ряда

к ряду разностей порядка d . Обозначим zt – полученный стационарный ряд.

97

Таблица 18.1 –Формулы для вычисления разностей при различных значениях d

Модель АРСС, построенную для такого ряда, называют АРИСС (другое название – АРПСС). Термин «интегрирование», или суммирование, в названии модели АРИСС связан с выполнением процедуры, обратной к вычислению разностей по формулам из таблицы 18.1.

Параметры модели АРИСС вычисляются по МНК либо методом адаптивной фильтрации. В обоих случаях необходимо предварительно идентифицировать модель, т. е. определить порядок разности d , порядок АР-модели p и порядок СС-модели q . В общем

случае модель имеет три параметра и записывается: АРИСС(d, p, q).

Для определения наиболее подходящего разностного ряда выполняется расчет и анализ значений АКФ и ЧАКФ для каждого ряда (для d = 0, 1, 2...). Выбирается первое зна-

чение d , для которого АКФ или ЧАКФ после некоторой задержки резко затухает. Далее по виду АКФ и ЧАКФ выбираются значения p и q , и выполняется оценка параметров модели

для разностного ряда.

На основе построенной модели вычисляют прогнозные значения разностного ряда zn+τ на τ шагов вперед, а от них переходят к прогнозной оценке исходного ряда, выражая

yt из формулы таблицы 18.1 для выбранного d . Так, например, для d =1 имеем:

Таким образом, при τ =1 прогнозная оценка базируется на фактических уровнях ряда, дальнейший прогноз – как на фактических, так и на полученных прогнозных значениях.

Выводы

Метод Бокса-Дженкинса основан на утверждении: получить стационарный ряд можно путем перехода от исходного временного ряда к ряду разностей порядка d .

Идентифицировать модель, АРИСС – значит, определить порядок разности d , порядок АР-модели p и порядок СС-модели q .

Параметры модели АРИСС вычисляются по МНК либо методом адаптивной фильтрации.

Заключение

В заключение отметим, что прогноз на основании рассмотренных моделей может оказаться очень эффективным для краткосрочного прогнозирования.

Вопросы для закрепления материала:

1.Какой вид имеют авторегрессионные модели второго и третьего порядков?

2.Как определить порядок авторегрессионной модели с помощью коэффициентов АКФ и ЧАКФ?

3.Как использовать модель авторегрессии для прогноза?

4.Как определить порядок модели скользящего среднего с помощью коэффициентов АКФ и ЧАКФ?

5.На чем основан метод Бокса-Дженкинса?

98