2. Формулы точечного и интервального прогноза по модели парной линейной регрессии
Прогноз, полученный подстановкой в функцию регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Для парной линейной регрессии формула точечного прогноза имеет вид:
y(x p ) = a x p +b |
(8.1) |
Результат расчета можно представить как точку с координатами (x p , y(x p )).
Поскольку модель регрессии содержит случайную (остаточную) компоненту, истинное значение функции регрессии в точке x = x p может отличаться от значения, найденного
по формуле (8.1). Формула средней квадратической ошибки положения линии регрессии при x = x p имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
||
s y (x p ) = Se |
1 |
+ |
(x p − x)2 |
|
||||
|
|
|
. |
(8.2) |
||||
n |
n |
|
||||||
|
|
|
∑ |
(xi − x)2 |
|
|||
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
Из формулы (8.2) можно видеть, что наименьшую |
ошибку получим, подставляя |
|||||||
в функцию регрессии значение x p = x . По мере удаления x от среднего значения ошибка
увеличивается.
Для вычисления доверительных границ для функции регрессии при заданном значении x = x p с заданной доверительной вероятностью p нужно умножить найденную
величину s y(x p ) на tкр – критическую точку распределения Стьюдента для уровня значи-
мости α =1− p и числа степеней свободы |
n −2 . |
Получим интервал, в котором с веро- |
||
ятностью p :проходит линия регрессии при x = x p . |
|
|
||
y(x p )−∆ y(x p ); |
y(x p )+ ∆ y(x p ) |
, где ∆ y(x p ) = s y(x p ) tкр. |
(8.3) |
|
Поскольку на величину y , кроме фактора x , воздействуют и другие, не учтенные
в модели факторы, индивидуальные значения y, представленные точками, отклоняются от линии регрессии. Для расчета средней квадратической ошибки прогноза для
индивидуального значения x p применяют формулу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s y(x p ) = Se 1 |
+ |
1 |
+ |
(x p − x)2 |
|
. |
(8.4) |
|
n |
n |
2 |
||||||
|
|
|
|
∑(xi − x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
Для вычисления доверительных границ прогноза для индивидуального значения x p с заданной доверительной вероятностью p нужно умножить найденную величину
s y(x p ) на tкр. Получим:
y(x p )−∆y(x p ); |
y(x p )+ ∆y(x p ) , где ∆y(x p ) = s y(x p ) tкр. |
(8.5) |
||
Например, |
рассмотрим |
15 |
точек, для которых построена модель |
регрессии |
y = −10,93x + 3,11 |
. На рисунке 8.1 |
длинными пунктирными линиями показаны границы |
||
возможного положения линии регрессии, полученные по формуле (8.3) с учетом средней квадратической ошибки (8.2). Границы прогноза для индивидуальных значений, рассчитанные по формуле (8.5), представлены коротким пунктиром.
41
Рисунок 8.1 – Границы прогноза для индивидуальных значений y (короткий пунктир) и для |
линии регрессии (длинный пунктир) с вероятностью 0,95 |
Выводы
Наименьшая ширина доверительного интервала соответствует x p = x . Ширина
доверительного интервала в первую очередь определяется стандартной (средней квадратической) ошибкой регрессии. Ширина увеличивается с увеличением доверительной
вероятности и с удалением ожидаемого значения x p от среднего значения x . Ширина уменьшается при увеличении числа наблюдений n .
3. Графический метод проверки гипотезы о нормальном законе распределения
Чтобы убедиться, что выборочные данные извлечены из нормально распределенной генеральной совокупности, можно использовать простой графический прием. Данные (в нашем случае отклонения) упорядочивают по возрастанию и присваивают им номера
(ранги). На диаграмме строят точки с координатами: ei |
по оси абсцисс и |
|
2i −1 |
по оси |
|
u |
2n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
ординат. Здесь i – номер в упорядоченной последовательности, n – объем выборки, u – обратная функция стандартного нормального распределения.
В зависимости от того, насколько хорошо эти точки «ложатся» на прямую линию, можно судить о нормальности распределения выборки. Метод весьма неточный и применяется для малых выборок.
При достаточно большом объеме выборки можно проверить гипотезу о нормальном распределении по асимметрии и эксцессу или применить другие критерии, например, критерий Пирсона (хи-квадрат), критерий Романовского, критерий Колмогорова.
Выводы
Если отклонения не подчиняются нормальному закону распределения, то невозможно определение доверительного интервала для истинных значений коэффициентов регрессии по рассмотренной ранее формуле, а также построение доверительных границ прогноза по формулам (8.3) и (8.5).
Заключение
Необходимое условие применения модели регрессии для прогноза – ее точность и адекватность. При проверке свойств остатков к условиям Гаусса-Маркова добавляется проверка гипотезы о нормальном законе распределения.
Нормальный закон распределения не является необходимым условием для построения модели регрессии, но является необходимым условием для применения формул интервального прогноза. Кроме того, нормальный закон распределения позволяет применять более мощные критерии для проверки предпосылок регрессионного анализа.
42
Вопросы для закрепления материала
1.Каким требованиям должна удовлетворять модель, чтобы ее можно было применять для прогноза?
2.Что такое точечный и интервальный прогноз?
3.Какие значения независимых переменных рекомендуется подставлять в модель регрессии для прогноза?
4.От чего зависит ширина доверительного интервала для прогноза?
5.Для чего нужно нормальное распределение остатков?
43
Лекция 9 Тема: Модели нелинейной регрессии
Рассмотрены примеры нелинейных регрессионных моделей, применяемых в экономической теории и на практике, типы нелинейности в регрессионной зависимости (нелинейность по экзогенным переменным, нелинейность по параметрам), способы сведения нелинейного по переменным уравнения к линейному с помощью преобразований. Приведены формулы, помогающие сделать выбор в пользу линейной или нелинейной модели.
Основные вопросы:
1.Примеры нелинейных эконометрических моделей.
2.Квазилинейные модели и существенно нелинейные модели.
3.Выбор между линейной и нелинейной моделью.
Введение
Эконометрические модели могут быть однофакторными и многофакторными, линейными и нелинейными. Для множественной (многофакторной) регрессии нелинейные модели применяют редко, а однофакторных моделей известно множество.
Для выбора и обоснования функции нелинейной регрессии нет универсального метода. Подбор функции производится с применением теории той конкретной науки, на базе которой возникает задача измерения связи между явлениями. При достаточно большом числе наблюдений о характере зависимости можно судить и по внешнему виду эмпирического графика зависимости y от x.
Для оценки параметров моделей регрессии, как правило, применяется метод наименьших квадратов. Однако система уравнений МНК для нелинейных моделей может оказаться сложной для аналитического решения, потому для оценки параметров нелинейных
моделей часто применяют приближенные методы поиска минимума функции Qe – суммы
квадратов отклонений. Некоторые нелинейные модели можно привести к линейному виду путем так называемой линеаризации. Этот прием применяют не только для аналитического решения системы уравнений МНК, но и для применения процедур проверки гипотез и построения доверительных интервалов, которые хорошо разработаны для линейных моделей.
1. Примеры нелинейных эконометрических моделей
В эконометрических исследованиях существует практика применения тех или иных моделей, предложенных учеными для моделирования зависимости экономических явлений и показателей от влияющих факторов.
Например, если затраты прямо пропорциональны объему выпуска, то функция затрат имеет вид линейной модели: y = a0 + a1x (.a0 > 0; a1 ≥ 0). Зависимость между уровнем
безработицы x и уровнем инфляции y (x и y измеряются в процентах) описывается кривой Филипса: y = x a− b , где a и b – параметры модели (a > 0, b > 0).
Для одного показателя может существовать несколько моделей, например, для моделирования зависимости индивидуального потребления C от реального дохода Y
Дж. М. Кейнс предложил линейное уравнение C = c0 +bY , где c0 – величина автономного
потребления, b – предельная склонность к потреблению (0<b≤1). Совокупная функция потребления Модильяни и Брумберга в течение жизненного цикла: C =αW + βY , где α –
предельная склонность к потреблению по накопленному богатству, β – предельная склонность к потреблению по доходу, W – располагаемое богатство, Y – ожидаемый доход.
44
Известны несколько видов производственной функции, где Y – объем выпускаемой
продукции (в натуральном или стоимостном выражении); K |
– вложенный капитал; |
|
L – затраченный труд. Некоторые из них: |
|
|
– |
линейная производственная функция Y =α K + βL . |
|
– |
производственная функция Кобба-Дугласа: Y = A K α Lβ |
предполагает постоянная |
эластичность выпуска по факторам производства. |
β |
|
|
|
|
– |
производственная функция CES Y = A ((1−α)K −p +αL−p )− p характеризуется |
|
постоянной эластичностью замещения. |
|
|
Известны также несколько моделей функции спроса:
Функции Торнквиста моделируют связь между величиной дохода x и величиной спроса потребителей D на различные группы товаров:
а) малоценные товары D1(x) = α x (x + β) ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 +γ |
|
|
|
|
|
б) товары первой необходимости D2(x) = |
α x |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
x + β |
|
|
α (x −γ ) |
|
в) товары второй необходимости (относительной роскоши) |
D3(x) = |
; |
||||||
|
|
|
α x (x −γ ) . |
|
|
x + β |
|
|
г) предметы роскоши D4(x) = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x + β |
|
|
|
|
|
На рисунке 9.1 представлен вид кривых Торнквиста при условных значениях |
||||||||
параметров α = 10, β =3, γ = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
D1(x) |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
D2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
D3(x) |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
D4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
4 |
|
6 |
8 |
10 |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
10 |
|
Рисунок 9.1 – Графическое представление функций Торнквиста
Функция Энгеля моделируют зависимость между объёмом потребления товаров или услуг и доходом потребителя при неизменных ценах и предпочтениях.
Функция имеет вид: D(I ) = a I α . Она п оказывает соотношение между доходом
покупателя I и количеством приобретаемого товара D . Значение α <1 для спроса на предметы первой необходимости (1-й категории); α =1 для спроса на товары длительного пользования (2-й категории); α >1 для спроса на товары роскоши (3-й категории).
На рисунке 9.2 представлен вид функции Энгеля при значениях α = 0,8; 1; 1,1.
45
100
D(I,0.8)
D(I,1)
D(I,1.1) 50
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
I
Рисунок 9.2 – Графическое представление функций Энгеля
При моделировании и прогнозировании реальных социально-экономических процессов с помощью эконометрических моделей возникает две задачи:
1)выбор состава влияющих факторов и подходящей функции;
2)оценка параметров выбранной функции на основе имеющейся статистической информации.
Часто при выборе функции для моделирования рассматривают несколько вариантов. чтобы выбрать наиболее подходящий с точки зрения требований экономической теории,
иобеспечить необходимую точность соответствия модели имеющимся значениям зависимой
переменной. При выборе функции можно опираться на накопленный опыт теоретиков и практиков эконометрического моделирования в конкретной области или на собственные знания о свойствах математических функций.
К нелинейным регрессионным моделям одной переменной относятся:
– полиномиальные функции (многочлены) различных порядков;
–степенная функция y =α0 xα1 ε ;
–экспоненциальная функция y = eα0 +α1 x ε
–показательная функция (простая экспоненциальная) y = α0 α1x
– гиперболическая функция y =α0 +α1 |
1 |
+ε ; |
|
x |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
– |
обратная функция y = |
|
; |
|
α9 +α1x +ε |
|
|||
– |
кривая Гомперца y = a bc x +ε ; |
|
|
|
– |
логистическая функция (кривая Перла – Рида) y = |
k |
||
1+α0 e−α1 x |
||||
ε ;
+ε .
Эти модели применяются в моделировании различных показателей. Так, например, с помощью кубической параболы (полинома третьей степени) моделируют зависимость общих издержек производства от объема выпуска продукции. Гиперболическую функцию применяют для моделирования зависимости себестоимости единицы продукции от объема выпуска. Кривую Гомперца и логистическую кривую используют в маркетинговых и рыночных исследованиях, при исследовании сбыта продукции.
Однофакторная производственная функция y −a0xa1 представляет собой степен-
ную функцию. Ее параметры положительны; кроме того, обычно в реальных ситуациях a1 ≤1. Вид такой функции представлен на рисунке 9.3.
46
Рисунок 9.3 – Степенная производственная функция
Из графика видно, что при возрастании объема затрачиваемого ресурса увеличивается и выпуск продукции (что вполне естественно). Однако при увеличении значений x наклон графика уменьшается. Это означает, что с ростом объемов производства каждая новая единица расходуемого ресурса позволяет получать все меньший прирост выпуска продукции. Эта закономерность выражает известный в экономической теории закон убывающей эффективности.
Выводы
Существует множество моделей, предложенных учеными для моделирования зависимости экономических явлений и показателей от влияющих факторов.
2. Квазилинейныемодели и существенно нелинейныемодели
Различают два класса нелинейных регрессий (как парных, так и множественных).
Первый класс представляют модели, нелинейные по отношению к объясняющим переменным X (k), но линейные по отношению к коэффициентам регрессии a k .
В общем виде однофакторную модель регрессии первого класса можно записать в виде:
y = b + a1F1(x)+ a2F2 (x)+...+ amFm (x). |
(9.1) |
Функции могут быть различными, например, F1(x) = log x , |
F2 (x) =1 x , |
F3(x) = x2 и т. д. Из перечисленных выше к этому классу моделей относятся полиноми-
альные функции и гиперболическая функция.
Этот класс моделей называют также квазилинейной регрессией. Сделав замену переменных, можно перейти от нелинейной к множественной линейной регрессии и найти оценку параметров модели с помощью МНК.
Второй класс представляют модели регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. К таким моделям относятся, например, рассмотренные выше функции:
−функции Торнквиста;
−степенная, экспоненциальная, показательная функции;
−кривая Гомперца и логистическая функция.
Недостаток нелинейных моделей данного класса – невозможность применения обычного МНК, т. к. при взятии частных производных функции Qe по параметрам модели
получается система нелинейных уравнений, для решения которой используются итерационные методы. Можно найти оценки параметров модели, применяя итерационные методы
для минимизации функции Qe . Однако при этом никто не гарантирует выполнения условий
Гаусса-Маркова.
Некоторые функции из этого класса удается линеаризовать, в основном, путем логарифмирования, т. е. прийти к модели.
Y = aX +b +v . |
(9.2) |
47