Затем выполняется анализ точности модели и свойств остаточной компоненты. Таким образом, в результате приходим к одной из форм модели:

1. Аддитивная тренд-сезонная модель с аддитивными остатками:

Полученная модель используется для точечного и интервального прогноза.

Выводы

Построение тренд-сезонной модели возможно по нескольким алгоритмам. Желательно получить несколько моделей разными способами и выбрать среди них наиболее точную и адекватную.

3.Моделирование сезонных колебаний

а) Расчет сезонной компоненты усреднением

Первое приближение индексов сезонности определяется как отношение фактических уровней ряда к значениям, полученным механическим или аналитическим выравниванием. Для расчета могут использоваться:

−значения, полученные укрупнением (суммированием или усреднением);

−результаты усреднения по методу скользящей средней с периодом, равным длине цикла сезонности;

−значения, рассчитанные по модели тренда.

Использование индексов сезонности соответствует мультипликативной трендсезонной модели.

Ваддитивной модели сезонная компонента представляется как абсолютное отклонение данного сезона от среднего уровня. Первое приближение сезонной компоненты определяется вычитанием из исходных данных среднего уровня.

Вкачестве среднего уровня могут использоваться:

−значения, полученные укрупнением (усреднением);

−результаты усреднения по методу скользящей средней;

−значения, рассчитанные по модели тренда.

Таким образом, первое приближение сезонной компоненты должно представлять собой ряд без тенденции развития с более или менее постоянной амплитудой сезонных колебаний.

Индексы сезонности вычисляются усреднением значений, полученных как первое приближение, по одноименным сезонам (дням недели, месяцам, кварталам).

При необходимости индексы сезонности корректируют делением полученных значений на их среднее арифметическое (по первому определению индекса сезонности) или на их сумму (по второму определению).

85

Оценка сезонной компоненты аддитивной модели выполняется аналогично, но корректировку выполняют вычитанием из каждого из полученных усредненных значений величины их среднего арифметического.

В результате получают таблицу сезонной компоненты, содержащую два столбца: названия сезонов и соответствующие им значения.

б) Применениефиктивных переменных

В этом методе м одель сезонной компоненты имеет вид линейного разложения по фиктивным переменным:

Один из сезонов считается базовым и в расчете не участвует. В приведенном примере базовым является последний сезон (IV квартал). Можно, наоборот, в качестве базового использовать первый сезон.

в) Применениепериодической функции

При аналитическом моделировании периодически (циклически или сезонно) изменяющихся социально-экономических процессов используют линейные комбинации тригонометрических функций. В качестве базисных функций для модели используют

Выражение для периодической функции имеет вид:

где [m /2] – целая часть числа m /2 .

Использование периодической функции позволяет получить сезонную компоненту не в виде таблицы, а в виде гладкой кривой, представляющей линейную комбинацию тригонометрических функций. Значение m равно периоду колебаний, например, 4 (квартальные колебания, повторяющиеся из года в год); 12 (ежемесячные колебания); 7 (ежедневные колебания, повторяющиеся каждую неделю). Число гармоник не превышает целую часть

числа m /2 .

86

С применением МНК находят оценки параметров модели и проверяют их статистическую значимость по критерию Стьюдента. Функции, которым соответствуют незна-

чимые коэффициенты, исключают по одной. В аддитивной модели свободный член a0

периодической функции (16,2) обычно является статистически незначимым и принимается равным 0.

Выводы

Модель сезонной компоненты может иметь вид таблицы или функции.

Модель сезонной компоненты может представлять интерес как для анализа исследуемого показателя, так и для прогнозирования.

Заключение

Исследование временных рядов осуществляется с различными целями, и при постановке задачи комплексного исследования всех компонент ряда совместно или по отдельности нужно исходить из необходимой точности результата. В отдельных случаях некоторыми компонентами можно пренебречь. Например, для анализа сезонной волны может быть более важной оценка сезонной компоненты, чем выбор той или иной модели тренда, а для получения прогноза иногда можно ограничиться моделью тренда, если учет сезонной или циклической компоненты не вносит существенного уточнения в прогнозные значения. Обязательным элементом декомпозиции является только остаточная компонента.

Вопросы для закрепления материала:

1.Дайте определения сезонной компоненты временного ряда и индекса сезонности.

2.Какие процедуры включает построение тренд-сезонной модели?

3.Алгоритм расчета сезонной компоненты усреднением.

4.Применение фиктивных переменных для моделирования сезонной компоненты.

5.Применение периодической функции для моделирования сезонной компоненты.

87

Лекция 17 Тема: Прогнозирование временных рядов

Основные вопросы:

1.Точечный прогноз. Свойства остаточной компоненты.

2.Интервальный прогноз.

3.Верификация прогноза.

Основные понятия:

Адекватная модель тренда должна правильно отражать основную тенденцию временного ряда.

Верификация прогнозной модели представляет собой совокупность критериев, способов и процедур, позволяющих на основе многостороннего анализа оценивать качество получаемого прогноза.

Ошибка прогноза – разность между фактическим значением исследуемого показателя и его прогнозным значением.

Коэффициент качества прогноза – отношение числа случаев, когда фактическая реализация охватывалась интервальным прогнозом, к общему числу прогнозов.

Введение

Экстраполяционное прогнозирование экономической динамики на основе временных рядов с использованием трендовых моделей включает следующие основные этапы:

1.Предварительный анализ данных.

2.Формирование набора моделей-кандидатов (например, кривых роста).

3.Численное оценивание параметров моделей.

4.Тестирование адекватности моделей.

5.Оценка точности адекватных моделей.

6.Выбор лучшей модели.

7.Получение точечного и интервального прогнозов.

8.Верификация прогноза.

Рассмотрим более подробно этапы 4-8.

1. Точечный прогноз. Свойства остаточной компоненты

Прогноз на основании трендовых моделей (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз называет единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение y(t p ) определяется подстановкой в уравнение величины времени t p =tn +τ ,

где τ – период упреждения. Такой прогноз называется точечным, так как на графике его можно изобразить в виде точки. Необходимое условие для прогнозирования по модели – сохранение в будущем тех характеристик прироста, которые характерны для выбранной кривой роста.

При аналитическом выравнивании временных рядов с использованием кривых роста приходится решать вопрос о том, какой длины должен быть ряд, выбираемый для прогнозирования тенденции. Очевидно, что если ряд слишком короткий, можно не обнаружить тенденцию его развития. С другой стороны, очень длительный временной ряд может охватывать периоды с различными трендами и его описание с помощью одной кривой роста может привести к сложной модели, непригодной для экстраполяции. Поэтому рекомендуется поступать следующим образом. Если нет никаких качественных изменений в основной тенденции, следует брать возможно больший промежуток времени. Если ряд охватывает периоды с разными трендами, лучше сократить ряд, отбросив ранние уровни, которые относятся к периоду с иной тенденцией развития. Если развитие обнаруживает циклический характер, следует брать период от середины первого до середины последнего периода цикла.

88

Оптимальная длина периода упреждения определяется для каждого экономи-

ческого явления на основе содержательного суждения о стабильности исследуемого показателя с учетом колеблемости изучаемых данных. Эта длина, как правило, не превышает для рядов годовых наблюдений одной трети объема данных, а для квартальных и месячных рядов – двух лет.

Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т. е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность – в кой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для ее использования.

Модель yt временного ряда yt считается адекватной, если правильно отражает все систематические компоненты данного временного ряда (тренд, сезонную и циклическую компоненты). Тогда ошибки модели (остатки) et = yt − yt (t=1, 2, ..., n) будут удовлетворять свойствам случайной компоненты временного ряда (условиям Гаусса-Маркова):

−равенство нулю математического ожидания;

−постоянство дисперсии (гомоскедастичность);

−независимость значений (отсутствие автокорреляции);

Дополнительное условие – соответствие распределения нормальному закону. Адекватная модель тренда должна правильно отражать основную тенденцию

временного ряда. Вторым условием адекватности можно считать поведение модели на периоде упреждения: подъем, или снижение, или выход на постоянный уровень. Это поведение должно согласовываться с ожиданиями экспертов в предметной области.

Для проверки условий Гаусса-Маркова существует много различных критериев. Те же критерии, которые применяются для проверки наличия тенденций в исходном ряду y ,

можно применять для проверки отсутствия тенденций в ряду остатков e .

Если условия нарушены, можно попробовать исправить модель. Например, при гетероскедастичных остатках можно попробовать построить модель декомпозиции с мультипликативными остатками.

Автокорреляция во временных рядах встречается довольно часто. Для ее обнаружения можно использовать критерий Дарбина-Уотсона или различные сериальные критерии.

Положительная автокорреляция (так называемые длинные волны) может быть следствием неправильно выбранной модели тренда. Причиной автокорреляции могут быть также сезонные колебания,

Например, для данных, представленных на рисунке 17.1, построена линейная модель тренда.

Рисунок 17.1 – Временной ряд и линейная модель Остатки имеют вид, представленный на рисунке 17.2.

89