Лекция 14 Тема: Методы выявления основной тенденции временного ряда

Основные вопросы:

1.Глазомерный метод.

2.Механическое выравнивание.

3.Проверка гипотез о наличии тренда.

Основные понятия:

Выравнивание временного ряда – выявление основной тенденции развития путем «очистки» временного ряда от искажающих эту тенденцию случайных отклонений.

Укрупнение интервалов – замена первоначального временного ряда другим рядом, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени.

Сглаживание – некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга.

Введение

При статистическом изучении динамики временного ряда выделяют два ее элемента: основную тенденцию и колеблемость. Основная тенденция, или тренд, – характеристика процесса изменения показателя за длительное время, освобожденная от колебаний. Колеблемость во временных рядах есть отклонения уровней ряда от основной тенденции (тренда), в то время как в пространственной выборке (перекрестных данных) рассматриваются отклонения отдельных единиц совокупности от среднего.

Выявление основной тенденции развития называется выравниванием. Для выравнивания ряда динамики применяются две группы методов:

1)механическое выравнивание (механическое сглаживание) выполняется путем укрупнения интервалов и применения метода скользящей средней;

2)аналитическое выравнивание – замена фактических уровней временного ряда

значениями, рассчитанными на основе определенной кривой (трендовой модели). Возможно также последовательное применение этих двух приемов.

Аналитические методы выравнивания предполагают наличие закономерности на протяжении всего динамического ряда, чтобы вид кривой и ее параметры оставались неизменными для всего ряда. Однако с течением времени характер тенденций, а, следовательно, вид и параметры кривой могут меняться, и для построения прогнозной модели начало временного ряда можно исключить из рассмотрения. Графическое представление временного ряда помогает как в выявлении типа тенденции, так и выводе о временном интервале, на котором эта тенденция наблюдается.

1. Глазомерный метод

При достаточном опыте и хорошем знании графиков различных кривых глазомерный метод является относительно простой и весьма эффективной процедурой.

Табличное представление временного ряда и описательные статистики чаще всего не позволяют понять характер процесса, в то время как по графику можно сделать довольно много важных выводов. Затем эти выводы могут быть проверены и уточнены с помощью расчетов.

Человеческий глаз довольно уверенно определяет по графику временного ряда наличие тренда и его характер, наличие сезонных и циклических компонент, степень плавности или прерывистости изменений уровней ряда.

Несколько рекомендаций по построению и оформлению графика временного ряда:

1.Ширина графика должна быть примерно в 1,5 больше его высоты.

2.Если уровни ряда (значения y) далеки от нуля, при «ручном» построении делают разрыв на оси ординат, при компьютерном построении подбирают минимальное значение на оси ординат немного меньше наблюдаемого минимума значений.

72

3.При наличии пропусков в наблюдениях точечная диаграмма лучше, чем график.

4.Следует указывать, какие величины отображает каждая из осей, и их единицы измерения.

5.Временной ряд обычно представляют в виде точек, соединенных отрезками прямых (при большом числе наблюдений – отрезки без точек).

6.Для словесного описания динамики ряда (периоды подъема, спада, точки максимума и т. д.) по оси абсцисс лучше откладывать реальные моменты (периоды) времени,

для построения модели тренда (особенно нелинейного) применяют нумерацию t =1, 2, ..., n.

7. Шаг сетки по оси абсцисс желательно выбрать равным предполагаемой длине периода сезонности или цикличности.

Выводы

Анализ временных рядов, равно как и данных других типов, практически невозможно представить себе без их визуализации в том или ином виде.

По графику можно сделать довольно много важных выводов. Затем эти выводы могут быть проверены и уточнены с помощью расчетов .

2. Механические методы выравнивания

При наличии значительных колебаний во временном ряду для более достоверного суждения о виде тренда применят механическое выравнивание. При этом отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами или сезонными колебаниями, сглаживаются, и более четко обнаруживается результат действия основных факторов – общая тенденция.

Укрупнениеинтервалов

Смысл приема заключается в том, что первоначальный временной ряд заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Например, данные о месячном выпуске продукции можно преобразовать в ряд квартальных или годовых данных.

Данные укрупненного ряда могут содержать либо сумму соответствующих уровней первоначального ряда, либо средние величины. При этом для интервальных временных рядов применяют суммирование или расчет средней арифметической, для моментного ряда – только расчет средней хронологической.

Для добавления к диаграмме исходного ряда результат усреднения относят к середине усредняемого периода.

Метод простой скользящей средней

Сглаживание методом скользящей средней применяется для устранения случайных отклонений (шума) из экспериментальных значений исходного ряда. Полученный ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, благодаря усреднению отклонений ряда.

Для усреднения используют среднюю арифметическую (простую или с некоторыми весами), а также медиану.

В методе простой скользящей средней для первых m членов ряда вычисляется средняя арифметическая. Результат помещается напротив члена ряда, стоящего в середине интервала сглаживания. Затем вычисляется средний уровень из m членов ряда, начиная со второго, далее – с третьего и т. д. Наилучшее сглаживание получается для средних точек, потому желательно выбирать нечетное количество точек (чаще всего 3, 5 или 7).

Обычно первые и последние уровни сглаженного ряда не заполняются.

Например, для интервала сглаживания m = 5 сглаженные уровни yt для t = 3, 4, …, n- 2 рассчитываются по формуле

73

При четном интервале сглаживания m результат усреднения относят к середине между двумя датами, находящимися в центре интервала сглаживания, а затем находят среднее из двух смежных скользящих средних. Тот же результат получается, если при четном m

учитывать m +1 уровень, но первое и (m +1)-е значения брать с половинными весами (формула средней хронологической).

Метод простой скользящей средней приемлем, если графическое изображение ряда не сильно отличается от прямой линии. Если важно сохранить мелкие волны, если тренд имеет изгибы, максимумы или минимумы, то вместо простой скользящей средней рекомендуется применять метод взвешенной скользящей средней (тема для самостоятельного изучения).

Выводы Механические методы выравнивания довольно просты, однако перед исследователем

стоит задача выбора метода выравнивания, а также периода сглаживания, чтобы выровненный ряд достаточно хорошо отражал важные особенности ряда.

3. Проверка гипотез оналичии тренда

Первое предположение, на котором основывается построение модели декомпозиции временного ряда, заключается в том, что во временном ряде действительно имеются тренд и неслучайные колебания. Это предположение часто не требует специальной проверки. Для вывода о наличии тенденций бывает достаточно графического анализа и анализа автокорреляционной функции. Однако для временных рядов, в которых средний уровень или дисперсия претерпевают не очень большие изменения, бывает полезно проверить гипотезы о наличии тенденции, прежде чем приступать к моделированию.

Для этой цели применяются различные критерии: метод Фостера-Стюарта, критерий серий, основанный на медиане выборки, кумулятивный Т-критерий, фазочастотный критерий знаков разностей отклонений Валлиса и Мура и другие.

Основные подходы к выявлению тенденции основаны на статистической проверке гипотез о случайности ряда. Критерии основаны на разных принципах. Одни предполагают разбиение временного ряда на части (две или больше) и сравнение средних значений и дисперсий в этих частях, другие проверяют монотонность изменения уровней, сравнивая каждый элемент ряда с предыдущим значением, или со всеми предыдущими значениями, или со средним значением, или и медианой и т. д. К сожалению, многие критерии дают удовлетворительные результаты, как правило, только для временных рядов не характеризующихся резкими колебаниями. При наличии ярко выражающихся колебаний в развитии эти критерии могут давать противоречивые результаты.

Рассмотрим один из критериев.

Кумулятивный Т-критерий

Выдвигается гипотеза H0 об отсутствии тенденции в исходном временном ряду.

Расчетное значение критерия определяется как отношение накопленной суммы квадратов отклонений уровней ряда от среднего значения к общей сумме квадратов отклонений.

n

∑(yt − y)2

t =1

74

временном ряду существует тенденция,

Пример. В таблице 14.2 и на рисунке 14.1 представлены значения показателя «Абонентская плата за доступ к сети Интернет» по данным Росстат, в таблице 14.3 – результаты расчетов по формуле (14.3)

Таблица 14.2 – Абонентская плата за доступ к сети Интернет в месяц, рублей

Рисунок 14.1 – Значения показателя из таблицы 14.2 и добавленная линия тренда Таблица 14.3 – Результаты расчетов для кумулятивного Г-критерия

По таблице 14.1 для n = 8 находим Tкр=3,59.

Поскольку T < Tкр, нет основания отвергнуть гипотезу H0 .

Вывод: гипотезу об отсутствии тенденции принимаем с вероятностью правильного решения, превышающей 0,95. Таким образом, хотя на рисунке 14.1 представлена линия тренда, доверять этому нельзя. Считаем, что рост абонентской платы статистически незначим.

Выводы

Перед моделированием тенденции временного ряда желательно проверить статистическую гипотезу о наличии тенденции.

Для проверки гипотезы существуют различные критерии. Заключение

В динамических рядах после установления наличия тенденции возникает необходимость определения типа протекания процесса, имеющего место в данном явлении, т. е. выявить направление роста и изменения, которые происходят в нем. Существуют следующие типы процессов:

1)По возрастанию или убыванию уровней ряда:

– монотонно-возрастающие;

– монотонно-убывающие;

– комбинированные.

2)По наличию насыщения и стремлению к некоторой предельной величине:

– имеющие предел насыщения;

– не имеющие предела насыщения.

3)По наличию экстремальных значений и перегибов:

–процессы, имеющие экстремальные значения и перегибы в основной тенденции;

–процессы, не имеющие таковых.

Для определения типа развития явления могут быть использованы следующие приемы:

–укрупнение периодов ряда;

–метод скользящей средней;

–метод аналитического выравнивания.

Вопросы для закрепления материала:

1.Какие особенности временного ряда можно обнаружить глазомерным методом?

2.Какие процедуры используют для механического выравнивания временного ряда?

3.Особенности укрупнения моментных и интервальных временных рядов.

4. Особенности применения метода простой скользящей средней при четном

инечетном интервале сглаживания.

5.Для чего рекомендуется проверять гипотезу о наличии тенденций во временном

ряду?

76