Лекция 2 Тема: Парная корреляция

Рассмотрены задачи и предпосылки корреляционного анализа, виды и формы корреляционной связи, формулы для вычисления коэффициента парной линейной корреляции; выводы по полученному значению коэффициента корреляции.

Основные вопросы:

1.Задачи и предпосылки корреляционного анализа.

2.Функциональная, корреляционная, статистическая связи. Виды и формы корреляционной связи.

3.Коэффициент парной корреляции: определение, оценка по выборке.

Основные понятия:

Корреляционный анализ – исследование корреляционных связей.

Корреляционная связь (корреляционная зависимость) – вид статистической взаимосвязи двух или более случайных величин, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания (среднего значения) другой.

Коэффициент парной линейной корреляции Пирсона, или просто коэффициент корреляции – математическая мера связи двух случайных величин при линейной форме связи.

Корреляционное поле – графическое представление данных в виде точек на плоскости

Введение

Исследуя природу, общество, экономику, необходимо учитывать взаимосвязь наблюдаемых процессов и явлений. Различные экономические показатели как на микро-, так

ина макроуровне связаны между собой. Например, цена какого-либо товара и величина спроса на этот товар, объем производства и прибыль фирмы, располагаемый доход и объем личного потребления и т. п. Причем взаимная зависимость может наблюдаться как для двух, так и для большего числа показателей. Например, производительность труда – следствие совокупного действия комплекса причин. Факторы – причины имеют различное направление

истепень влияния. Кроме того, одна причина может усиливать или ослаблять действие других.

Иногда наличие связи не вызывает сомнения, иногда для ответа на вопрос о наличии или отсутствии связи требуются исследования. Кроме того, иногда хорошим результатом является вывод о наличии связи: например, изменение объемов продаж связано с увеличением расходов на рекламу. В другом случае хорошим является вывод об отсутствии связи, когда мы читаем на аннотации к лекарству: «Побочных эффектов не выявлено».

Поиском ответа на вопрос о статистической связи показателей занимается корреляционный анализ.

1. Задачи и предпосылки корреляционного анализа

Понятие корреляция в широком смысле означает связь между переменными (явлениями). Это понятие включает в себя корреляцию в узком смысле (тесноту связи) и регрессию (одностороннюю стохастическую, т. е. случайную, зависимость, формулу связи). При определении тесноты связи нет деления на зависимые и независимые переменные, тогда как при построении регрессии – это существенно.

Связь может быть односторонней, например, урожайность зависит от количества внесенных удобрений. В других случаях можно изучать как регрессию X на Y, так и регрессию Y на X, например, можно изучать зависимость спроса от цены или зависимость цены от спроса.

10

Исследование корреляционных связей называют корреляционным анализом, исследование влияния изменения одной или нескольких независимых переменных X(1), X(2), … X(m) на зависимую переменную Y – регрессионным анализом.

Задачи корреляционного анализа:

1.Измерение тесноты связи двух и более признаков. Речь идет об известных связях,

изадача состоит именно в количественном измерении тесноты связи.

2.Обнаружение неизвестных ранее связей. Причинно-следственный характер связи далее необходимо подтвердить в ходе анализа природы явлений.

3.Отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак. Отобранные факторы используются в регрессионном анализе.

Предпосылки корреляционного анализа

1.Наличие данных по достаточно большой совокупности явлений. Обычно считается, что число наблюдений должно быть хотя бы в 5-6 раз больше, чем число факторов.

2.Качественная однородность изучаемых единиц.

3.Включаемые в исследование факторы должны быть независимы друг от друга. Наличие тесной связи между ними может говорить о том, что эти факторы характеризуют одни и те же стороны изучаемого явления.

4.Для линейной связи предполагается нормальный закон распределения.

Выводы

Корреляционный анализ занимается поиском ответа на вопрос о наличии или отсутствии статистической связи показателей, обоснованием формы и измерением тесноты связи.

2. Функциональная, корреляционная, статистическая связи. Виды и формы корреляционной связи

В экономических исследованиях используется два вида связи: функциональная и статистическая.

Функциональная связь позволяет выразить один показатель через другие. Задав набор значений входных переменных (факторных признаков), получают одно определенное значение результативного показателя.

Однако на величину экономических показателей обычно влияет много факторов, полный перечень которых неизвестен. Кроме того, неизвестным бывает и точный механизм влияния, влияние часто носит не постоянный, а случайный характер. В итоге каждому набору значений входных переменных соответствует не одно, а множество значений Y, т. е. определенное условное распределение переменной Y.

Корреляционная связь (корреляционная зависимость) – вид статистической взаимосвязи двух или более случайных величин, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания (среднего значения) другой. Другими словами, корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Статистическая связь – более широкое понятие, чем корреляционная связь. При статистической зависимости каждому значению одной переменной соответствует определенное условное распределение другой переменной. Кроме того, если изменение случайной величины связано с изменением ее же статистической характеристики (например, связь изменения среднего значения с изменением дисперсии или моды), то связь не корреляционная, хотя и является статистической.

Различают виды корреляционной связи:

1) По числу переменных:

−простая (парная);

−множественная;

11

−частная корреляция – связь между изменениями двух показателей при условии, что значения остальных показателей экономической системы не изменяются.

2) По знаку (по характеру): положительная (прямая); отрицательная (обратная). 3) По форме связи: линейная; нелинейная.

4) По типу соединения:

−непосредственная связь, которая не вызывает сомнений;

−косвенная связь объясняется с помощью других явлений, являющихся либо общей причиной, либо промежуточными звеньями в связи;

−ложная корреляция имеет место, когда тенденции рассматриваемых процессов совпадают случайно, при отсутствии между ними обоснованной связи.

Выводы Корреляционная связь (корреляционная зависимость) – вид статистической

взаимосвязи двух или более случайных величин, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания (среднего значения) другой.

Корреляционные связи классифицируют по числу переменных, по знаку, по форме, по типу соединения.

3. Коэффициент парной корреляции: определение, оценка по выборке

Коэффициент парной линейной корреляции Пирсона, или просто коэффициент корреляции, служит математической мерой связи двух случайных величин при линейной форме связи. (При нелинейной связи используется корреляционное отношение).

Исходные данные представляют собой выборку, содержащую n пар значений: (x1, y1), (x2, y2), …, ( xn , yn ). Здесь n – число наблюдений.

Выбор формы связи обычно осуществляется по графическому представлению данных в виде точек на плоскости. Эта совокупность точек называется корреляционным полем

(рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Корреляционное поле. Различные формы связи: а) линейная прямая связь; б) линейная обратная связь; в) связь отсутствует; г) нелинейная связь

В основе расчета коэффициента корреляции лежит ковариация – совместное отклонение двух показателей от своих средних значений.

Выборочная ковариация Cov(X ,Y ) вычисляется как среднее рассеивание вокруг точки с координатами ( x ; y ):

Ковариация положительна, если отклонения X и Y от своих средних значений в основном одинаковы по знаку (см. рис. 2.1а). При отрицательной ковариации отклонения от средних в основном различны по знаку (рис.2.1б).

Ковариация имеет размерность, и в этом ее неудобство, т ак как при переходе к другим единицам измерения X и Y (например, от человек к тыс. человек) численное значение ковариации изменяется. Для перехода к безразмерной величине ковариацию делят на стандартные (средние квадратические) отклонения массивов X и Y и получают коэффициент корреляции.

Формулы для вычисления коэффициента парной корреляции

Формула коэффициента линейной корреляции двух переменных r(X ,Y ),

определенного по имеющейся выборке n пар значений показателей X и Y, имеет вид:

где Cov(X ,Y ) – ковариация, см. формулу (2.1);

sx и sy – средние квадратические (стандартные) отклонения, определяются как корень из

дисперсии: sx = D(x) ; s y = D(y) .

Дисперсия – средний квадрат отклонений наблюдений от среднего значения:

Из формул (2.1) и (2.2) следует, что r(X ,Y ) = r(Y ,X ). Вместо r(X ,Y ) используются также обозначения r и rxy

Коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной статистической связи. Это безразмерная величина, принимающая значения от -1 (обратная связь) до +1 (прямая связь). Чем ближе к +1 или к -1 значение r(X ,Y ), тем теснее связь.

Таблица 2.1 – Таблица Чеддока

Проводя корреляционный анализ, следует учесть:

1.Точные значения –1 и +1 соответствуют не корреляционной, а функциональной линейной связи.

2.Большое по абсолютной величине (близкое к 1 или к -1) значение коэффициента

корреляции может иметь место и при ложной корреляции, потому численное значение r должно сопровождаться содержательным анализом.

3. Близкая к 0 величина r(X ,Y ) свидетельствует об отсутствии линейной связи пере-

менных, но не об отсутствии связи между ними вообще. Если переменные X и Y не связаны между собой, то коэффициент корреляции равен нулю, но не обязательно наоборот. Потому рекомендуется расчет коэффициента корреляции сопровождать графическим представлением связи (см. рис. 2.1).

Для расчетов вместо формул (2.1) и (2.3) можно использовать формулы (2.4) и (2.5). Результаты совпадают.

13

Выводы

Знак коэффициента корреляции определяется ковариацией.

Ковариация имеет размерность, и в этом ее неудобство, так как при переходе к другим единицам измерения X и Y численное значение ковариации изменяется. Для перехода к безразмерной величине ковариацию делят на средние квадратические отклонения массивов X и Y и получают коэффициент корреляции – безразмерное число из диапазона (-1; 1).

Заключение

Коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной статистической связи. Это безразмерная величина, принимающая значения от -1 (обратная связь) до +1 (прямая связь).

Чем ближе к +1 или к - 1 значение r(X ,Y ), тем теснее связь. Значение, близкое к нулю,

означает отсутствие линейной связи.

Рекомендуется расчет коэффициента корреляции сопровождать графическим представлением связи для вывода о линейной форме связи и однородности выборочных данных (рассмотренную формулу можно применять только для таких данных).

Вопросы для закрепления материала:

1.Задачи корреляционного анализа.

2.Предпосылки корреляционного анализа.

3.Виды корреляционной связи.

4.Что измеряет коэффициент парной корреляции? Какие значения он может принимать?

5.Формулы для расчета коэффициента корреляции.

14

Лекция 3 Тема: Вероятностно-статистические основы эконометрики

Рассмотрены математические и статистические основы эконометрического исследованиями; понятия случайной величины, закона распределения, функций распределения, числовые характеристики случайной величины, свойства оценок, алгоритм построения доверительного интервала для неизвестного параметра генеральной совокупности.

Основные вопросы:

1.Случайная величина. Закон распределения случайной величины.

2.Использование закона распределения для выражения числовых характеристик случайной величины.

3.Выборочный метод. Точечные и интервальные оценки.

Основные понятия:

Случайной называют величину, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества.

Законом распределения случайной величины X называют совокупность ее возможных значений {xi} и вероятностей {pi}, с которыми она их принимает.

Функцией распределения вероятностей FX (x) случайной величины X называют

функцию, ставящую в соответствие любому заданному значению х вероятность события: «Значение СВ X меньше числа x».

Функция плотности вероятности непрерывной СВ – производная функции распределения FX (x) в точке x.

Математическим ожиданием M (X ) случайной величины X является результат

операции ее «осреднения», произведенного с учетом «взвешивания» в соответствии с законом распределения СВ Х. Математическое ожидание называют также генеральное среднее

или среднее взвешенное.

Дисперсия D(X) случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения от математического ожидания.

Точечная оценка параметра генеральной совокупности указывает точку, около которой находится оцениваемый параметр.

Интервальная оценка параметра – интервал, в котором с заранее заданной доверительной вероятностью p , близкой к 1, находится истинное значение параметра.

Оценка параметра называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений

(n→∞) она стремится по вероятности к истинному значению этого параметра.

Оценка называется несмещенной, если при любом объеме выборки n результат ее осреднения по всем возможным выборкам данного объема приводит к истинному значению оцениваемого параметра.

Оценка называется эффективной, если среди всех разных оценок того же параметра обладает наименьшей мерой случайного разброса относительно истинного значения.

Введение

Эконометрическое исследование опирается на аппарат математической статистики. Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.

В математической статистике выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Цель описательной (дескриптивной) статистики – обработка эмпирических данных, их систематизация, наглядное представление в форме

15