Для обоснования выбора простой экспоненты в качестве модели тренда проверяется выполнение второго свойства или пятого свойства. У реального временного ряда коэффициенты роста должны быть примерно постоянными, а зависимость логарифмов от времени примерно линейная.

2. Модифицированная экспонента отличается от простой экспоненты наличием константы k .

Формула имеет вид: f (t) = k +b mt .

k > 0 – асимптота функции. Значения b > 0; m > 0.

Если m <1, то значения функции с ростом t приближаются к величине k (сверху

или снизу в зависимости от знака b ). Наиболее часто именно такая тенденция моделируется с помощью модифицированной экспоненты.

На рисунке 15.2 значение k = 30.

0

Рисунок 15.2 – Модифицированная экспонента при различных значениях параметров

Свойства характеристик прироста модифицированной экспоненты

1.Отношение двух последовательных приростов есть постоянная величина.

2.Логарифм первого прироста данной функции линейно зависит от t.

3.Свойство 1 аналогично свойству 4 простой экспоненты (формула 15.5).

Выводы

Метод характеристик прироста помогает не только выбрать подходящий тип модели, но и примерно оценить значений параметров моделей.

3.Методы оценивания параметров модели временного ряда

1.Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, с применением МНК – метода наименьших квадратов (минимизируется сумма квадратов отклонений

фактических уровней ряда от соответствующих значений, выровненных по кривой роста).

Полином рассматривается как множественная линейная регрессии с «факторами» t , t2 , t3 ,

…

Для простой экспоненты предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (формула 15.6), и значения неизвестных параметров получают с помощью метода наименьших квадратов как для линейной модели.

При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формул и последующего логарифмирования модели можно привести к линейному виду. Если значение асимптоты неизвестно, то для нахождения параметров используются приближенные методы.

Недостатком МНК является придание большого веса значениям, далеко отклоняющимся от среднего значения (как по оси X , так и по оси Y ), потому параметры модели

81

тренда, найденные с помощью МНК, очень чувствительны к отклонениям первых и последних наблюдений от основной тенденции.

Потому первые наблюдения (одно или несколько) из рассмотрения можно исключить, если в дальнейшем тенденция изменилась.

Последние наблюдения исключать нельзя, и если тенденция изменилась в конце ряда наблюдений, следует привлечь экспертов в предметной области для ответа на вопрос о возможности вернуться к прежней тенденции. Если тенденция изменилась вследствие влияния внешних факторов, возможно, следует строить модель общего вида (15.1).

2. Если высокая точность оценки параметров не требуется, то модели, содержащие два параметра: линейную модель и простую экспоненту, – можно построить по двум точкам.

Модели по двум точкам строятся по первому и последнему наблюдениям временного ряда. Остальные наблюдения определяют форму кривой.

Метод построения линейной модели по двум точкам основан на свойстве постоянства цепного прироста.

Средний цепной прирост по двум точкам рассчитывают по формуле:

Модель записывают в виде: f (t) =y1+∆y (t −1).

Построение экспоненциальной модели по двум точкам основано на свойстве постоянства коэффициента роста.

Средний коэффициент роста K по двум точкам рассчитывают по формуле:

Модель записывают в виде: f (t) = y1 K t −1.

Выводы

Недостатком МНК является придание большого веса значениям, далеко откло-

няющимся от среднего значения (как по оси X , так и по оси Y ), потому параметры модели тренда, найденные с помощью МНК, очень чувствительны к отклонениям первых и последних наблюдений от основной тенденции. Значит, первые наблюдения (одно или несколько) из рассмотрения можно исключить, если в дальнейшем тенденция изменилась.

Кроме МНК, применяются и более простые методы, которые можно использовать в краткосрочном прогнозировании.

Заключение

В лекции были рассмотрены лишь полиномиальные и экспоненциальные модели тренда. Другие модели выносятся на самостоятельное изучение.

Вопросы для закрепления материала:

1.Преимущества и недостатки трендовых моделей по сравнению с многофакторными моделями.

2.Свойства характеристик прироста полиномиальных кривых.

3.Свойства характеристик прироста экспоненциальных кривых.

4.Особенности применения МНК для аналитического выравнивания временного

ряда.

5.Метод построения моделей по двум точкам.

82

Лекция 16 Тема: Построение тренд-сезонной модели

Основные вопросы:

1. Понятие сезонной компоненты. Индексы сезонности.

3. Алгоритмы построения тренд-сезонной модели.

3. Моделирование сезонных колебаний.

Основные понятия:

Сезонная волна (или индекс сезонности) – усредненное по числу циклов отношение значения показателя в данном сезоне к среднему значению для данного цикла сезонности.

Индекс сезонности – усредненная доля данного сезона в общей сумме за данный цикл (второе определение).

Введение

Сезонная компонента чаще всего служит главным источником краткосрочных колебаний временного ряда, так что ее выделение заметно снижает вариацию остаточной компоненты. Сезонные эффекты присущи многим сферам человеческой активности: многие виды продукции имеют сезонный характер производства, потребление товаров также имеет ярко выраженную сезонность. Примером сезонного эффекта является объем продаж в декабре каждого года в преддверии Нового года.

Сезонная компонента ряда может представлять интерес как сама по себе, так и выступать в роли мешающего фактора при выявлении основной тенденции.

Задачи исследования:

1.Построить модель сезонной компоненты;

2.Устранить сезонную компоненту из ряда.

На практике считается, что оценки сезонных эффектов недостаточно точны, если число периодов сезонности в исследуемом временном ряде меньше пяти-шести. Это означает, например, что при рассмотрении месячных или квартальных данных необходимы, как минимум, наблюдения за пять-шесть лет. Однако за столь длительный период наблюдения экономические условия протекания процессов могут существенно измениться, и эти изменения повлекут за собой соответствующие изменения сезонной компоненты, то есть, изменение амплитуды колебаний ряда, смещение максимума и минимума и др. В таком случае минимальное требование – три периода сезонности.

При изменяющихся параметрах сезонности можно применить, например, адаптивную модель Хольта-Винтерса.

1. Понятие сезонной компоненты. Индексы сезонности

Сезонная компонента временного ряда описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т. п.). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов.

Сезонной волной (или индексами сезонности) называют усредненное по числу циклов отношение значения показателя в данном сезоне к среднему значению для данного цикла сезонности (например, отношение показателя каждого месяца к среднему уровню текущего года). Сумма индексов при этом равна длине цикла: 12 для данных, наблюдаемых помесячно, 4 для данных, наблюдаемых поквартально, 7 при ежедневном сборе информации.

Это первое определение индекса сезонности.

Второе определение индекса сезонности – усредненная доля данного сезона в общей сумме за данный цикл (например, доля данного месяца в сумме за год). Сумма индексов в этом случае равна 100% или 1. Такая трактовка индекса сезонности удобна при использовании прогноза для планирования. Плановый объем будущего периода (например, года) следует умножить на индексы сезонности для формирования месячных или квартальных планов.

83

Перед усреднением рекомендуется проверить, насколько однородны усредняемые данные.

При наличии резко выделяющихся наблюдений можно вместо среднего арифметического использовать модифицированное среднее: исключаются минимальное и максимальное значения для каждого сезона и усредняются оставшиеся значения.

Можно также вместо среднего использовать медиану, поскольку медиана более устойчива к выбросам, чем среднее.

Выводы

Для корректности операции усреднения необходимо иметь наблюдения хотя бы за три периода сезонности (для модифицированного среднего – хотя бы пять периодов).

2. Алгоритмы построения тренд-сезонной модели

Тренд-сезонную модель временного ряда можно представить в аддитивной форме yt =Tt + St или в мультипликативной форме yt =Tt St .

При наличии сезонных колебаний большой амплитуды выбор функции для моделирования тренда и оценка параметров модели тренда обычно выполняется по ряду с исключенной сезонностью. Возможно механическое исключение сезонных колебаний (путем сглаживания или укрупнения) или моделирование сезонных колебаний с последующим их исключением из заданного временного ряда. Здесь под исключением понимается вычитание или деление в зависимости от формы тренд-сезонной модели.

Построение тренд-сезонной модели обычно включает следующие процедуры:

1)обоснование наличия тренда и сезонной компоненты;

2)выбор подходящей функции для моделирования тренда и оценка параметров выбранной функции;

3)моделирование сезонной компоненты;

4)анализ остаточной компоненты;

5)точечный и интервальный прогноз.

Первая процедура включает графическое представление временного ряда и механическое выравнивание.

Очередность второй и третьей процедуры выбирается исследователем, потому возможны различные алгоритмы. Например:

− построение модели тренда T по сглаженному ряду; исключение тренда вычитанием или делением ( y −T для аддитивной формы модели или y /T для мульти-

пликативной); получение сезонной компоненты S усреднением значений y −T или y /T ;

−построение модели тренда T по сглаженному ряду; получение сезонной компоненты S усреднением значений « y -сглаженный ряд» или « y /сглаженный ряд»;

−получение сезонной компоненты усреднением значений « y -сглаженный ряд» или

«y /сглаженный ряд»; исключение сезонной компоненты из исходного ряда вычитанием или

делением; построение модели тренда по ряду с исключенной сезонной компонентой. Анализу свойств остаточной компоненты предшествует расчет полученных по модели

значений yt . Полученные значения yt следует добавить к графику исходного ряда для

визуального вывода о точности модели.

Расчет остатков выполняется по одной из двух формул:

для модели с аддитивными остатками или

для модели с мультипликативными остатками.

Из формул (16.1) и (16.2) следует выбрать ту, которая дает остатки с более постоянной дисперсией (для удовлетворения свойства гомоскедастичности).

84