Лекция 4 Тема: Проверка статистических гипотез.

Статистические выводы о коэффициенте корреляции

Даны понятия статистической гипотезы, ошибок в принятии решения по гипотезе, приведен общий алгоритм проверки статистических гипотез. Рассмотрены статистические выводы о коэффициенте корреляции: проверка гипотезы о равенстве нулю по критерию Стьюдента и построение доверительного интервала.

Основные вопросы:

1.Статистическая гипотеза. Ошибки в принятии решения по гипотезе.

2.Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции в генеральной совокупности.

3.Доверительный интервал для коэффициента корреляции в генеральной совокупности.

Основные понятия:

Статистическая гипотеза – предположение о свойствах генеральной совокупности. Ошибка первого рода – отвергли основную гипотезу, при том, что на самом деле она

верна.

Ошибка второго рода – приняли основную гипотезу, при том, что на самом деле она неверна.

Уровень значимости критерия – предельная вероятность совершить ошибку первого рода.

Мощность критерия – вероятность не совершить ошибку второго рода. Статистический критерий K – это случайная величина, подчиняющаяся некоторому

известному закону распределения. Значение K, как правило, определяет меру расхождения данных выборки с высказанной гипотезой Н0.

Введение

На практике часто приходится на основе выборочных наблюдений проверять различные предположения относительно генеральной совокупности. Процедура сопоставления выдвинутых гипотез с выборкой и принятие решения относительно приемлемости этих гипотез называется проверкой гипотез.

В практике статистических исследований можно встретить различную трактовку численного значения коэффициента парной корреляции r(X ,Y ). Например, в лекции № 2

приведена шкала Чеддока. Имеются и другие трактовки, например, при значении от 0 до 0,3 (по абсолютной величине) говорят об отсутствии линейной связи; от 0,3 до 0,5 – связь слабая; от 0,5 до 0,7 – связь средняя; от 0,7 до 1 – связь тесная. В любом случае полученные результаты расчетов непосредственно относятся лишь к изучаемой выборке. Обобщение результатов на генеральную совокупность связано с темой статистических выводов.

Статистическая значимость результата представляет собой оцененную меру уверенности в его «истинности» (в смысле репрезентативности выборки). То есть, убедившись в статистической значимости, результат, полученный по выборке, можно распространить на генеральную совокупность.

1. Статистическая гипотеза. Ошибки в принятии решения по гипотезе

Статистической проверкой гипотез называется сопоставление гипотезы, выдвинутой относительно генеральной совокупности, с имеющимися выборочными данными. Сопоставление осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и сопровождается количественной оценкой степени достоверности сделанного вывода. Основную (нулевую) гипотезу обозначают Н0, а альтернативную (конкурирующую) – Н1.

21

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т. е. ограниченного ряда наблюдений, решение относительно нулевой гипотезы Н0

имеет вероятностный характер. Гипотезу можно принять в случае, если рассматриваемые выборочные данные этой гипотезе не противоречат. Это не значит, что высказанное предположение является единственно подходящим (могут быть и другие гипотезы, которым, возможно, имеющиеся данные тоже не противоречат). Решение принимает исследователь.

Результаты решения относительно нулевой гипотезы даны в таблице 4.1. Таблица 4.1 – Ошибки в принятии решения по гипотезе и их вероятности

Здесь символом "|" обозначена условная вероятность. Например, Р(Н1|Н0) – вероятность события "Принята гипотеза Н1 при том, что в действительности верна Н0".

Вероятность ошибки первого рода α называют уровень значимости критерия. Вероятность 1−β называют мощностью критерия.

Статистический критерий K – это случайная величина (СВ), подчиняющаяся некоторому известному закону распределения. Значение K, как правило, определяет меру расхождения данных выборки с высказанной гипотезой Н0.

Вероятности α и β уменьшаются при увеличении объема выборки. При фиксиро-

ванном объеме выборки вероятность α задает тот, кто проверяет гипотезу (обычно α =0,05, 0,1 или 0,01), вероятность β зависит от выбранного критерия. Для проверки одной гипотезы

может применяться несколько критериев различной мощности. Более мощные критерии обычно требуют большего объема выборки и (или) знания закона распределения той генеральной совокупности, из которой извлечена выборка.

Как у любой СВ, у критерия K есть значения, более вероятные и менее вероятные. При проверке статистической гипотезы к маловероятным относят α % значений СВ К, которым соответствуют наименьшие значения функции плотности вероятности СВ К. В зависимости от того, как сформулированы основная и альтернативная гипотезы, это либо самые большие значения СВ К, либо самые маленькие (при односторонних гипотезах), либо поровну (по вероятности) большие и маленькие.

2.Алгоритм проверки статистической гипотезы

1.Формулируют основную и конкурирующую гипотезы. Выбирают критерий,

спомощью которого будет выполняться проверка.

2.Задают уровень значимости α .

3.Множество всех возможных значений критерия K разбивается на два непере-

секающихся подмножества: область принятия гипотезы Н0 и критическую область. Для

этого при двусторонней гипотезе с помощью обратной функции распределения находят два числа: FK−1(α /2) и FK−1(1−α /2). Область между ними – область принятия гипотезы Н0. Справа и слева – двусторонняя критическая область. При односторонней гипотезе находят

одно число: FK−1(α) или FK−1(1−α). Как правило, область принятия гипотезы Н0 – та

область значений СВ К, в которой находится мода распределения СВ К. 4. По имеющейся выборке вычисляют k – значение критерия К.

22

Область принятиягипотезы H0

Рисунок 4.1 – Плотность распределения Стьюдента и критические точки

Поскольку гипотеза двусторонняя, область принятия гипотезы H0 ограничена двумя критическими точками (у распределения Стьюдента они симметричны относительно нуля).

(рис. 4.1). Можно встретить обозначение критической точки: tкр , tтабл , tα , tα;n−2 .

При попадании рассчитанного по формуле (4.1) значения t в область принятия гипотезы нулевую гипотезу Н0 можно принять с вероятностью правильного решения. не меньшей, чем 1–α ; при попадании t в критическую область нулевую гипотезу отвергают с вероятностью ошибки, не превышающей α .

23

Критические значения t-критерия Стьюдента для различных уровней значимости и числа степеней свободы можно найти в «Excel» с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР или по таблице.

Критерий Стьюдента можно использовать и для проверки гипотезы о статистической незначимости найденного по выборке значения r . Принятие гипотезы Н0 означает, что при заданном предельном уровне ошибки результат, полученный по выборке, не может быть распространен на генеральную совокупность.

Пример 1. По выборке объема n = 20 получено значение коэффициента корреляции r = 0,5. Вывод 1: обнаружена прямая связь средней силы двух рассматриваемых показателей.

Выдвигаем гипотезу Н0: ρ = 0. Альтернативная гипотеза H1 : ρ ≠ 0.

Критическое значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости α = 0,05 при числе степеней свободы n-2 находим по таблице или с помощью функции «Excel» СТЬЮДРАСПОБР

tкрит = t0,05;20−2 =2,10.

Область принятия гипотезы H0 – интервал (-2,10; 2,10). Расчетное (наблюдаемое) значение критерия:

Вывод 2. Поскольку tнабл не входит в область принятия гипотезы H0 , гипотезу H0

отклоняем с вероятностью ошибки, не превышающей 0,05. Связь является статистически значимой, полученный результат можно обобщить.

Пример 2. По выборке объема n = 15 получено значение коэффициента корреляции r = 0,5. Вывод 1: обнаружена прямая связь средней силы двух рассматриваемых показателей.

Выдвигаем гипотезу Н0: ρ = 0. Альтернативная гипотеза H1 : ρ ≠ 0.

Критическое значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости α= 0,05 при числе степеней свободы 15-2:

tкрит = t0,05;15−2 = 2,16.

Область принятия гипотезы H0 – интервал (-2,16; 2,16). Расчетное (наблюдаемое) значение критерия:

Вывод 2. Поскольку tнабл входит в область принятия гипотезы H0 , гипотезу H0

принимаем с вероятностью правильного решения, превышающей 0,95. Связь статистически незначима, и обобщать результат нельзя.

Выводы

Принимая нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции, можно сделать вывод либо об отсутствии линейной связи двух показателей, либо о том, что объем выборки недостаточен, чтобы утверждать наличие связи.

4. Доверительный интервал для коэффициента корреляции в генеральной совокупности

Интервальная оценка неизвестного параметра генеральной совокупности – интервал, в котором с заранее заданной доверительной вероятностью p , близкой к 1, находится истин-

24

ное значение параметра. Уровень значимости α =1 − p – вероятность того, что истинное

значение параметра находится за границами найденного доверительного интервала.

С доверительной вероятностью p значение ρ – коэффициент парной корреляции для генеральной совокупности – находится в интервале

Вывод. С доверительной вероятностью 0,95 истинное значение коэффициента корреляции находится в диапазоне (0,43; 0,56).

Выводы

При малом объеме выборки доверительный интервал может получиться широким. Границы интервала не симметричны относительно значения r .

Заключение

Результаты расчетов, выполненных по данным выборки, относятся только к этой выборке. Для их обобщения на генеральную совокупность, из которой извлечена выборка, надо обосновать статистическую значимость результата. Вывод делается на основе проверки статистических гипотез (сопоставления предположения с данными выборочного наблюдения). Вывод обязательно содержит определенную долю ошибки, поскольку выборка случайна. Для проверки используются статистические критерии. Исследователь выбирает критерий и задает уровень значимости критерия α – предельно допустимую вероятность ошибки первого рода (вероятность отклонить верную гипотезу). Обычно задают α = 0,05.

Основной метод проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции в генеральной совокупности (об отсутствии линейной связи) – критерий Стьюдента. Статистическая значимость коэффициента корреляции тем больше, чем дальше от нуля

значение r(X ,Y ) и чем больше объем выборки n .

Вопросы для закрепления материала:

1.Что такое статистическая гипотеза?

2.Какого рода ошибки возможны в принятии решения по гипотезе? Можно ли избежать этих ошибок?

3.В каком случае нулевую гипотезу можно принять? Что можно предпринять, если принимать ее не хочется?

4.Сформулируйте критерий Стьюдента для проверки гипотезы о коэффициенте корреляции.

5.От каких показателей зависит ширина доверительного интервала для коэффициента корреляции?

25