графиков и таблиц, а также их количественное описание посредством основных статистических показателей. Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Оценивание включает точечные и интервальные оценки. В проверке гипотез существует общая теория и методы, посвященные проверке конкретных гипотез.
Теоретической базой для математической статистики является теория вероятностей. Теория вероятностей изучает математические законы распределения случайных событий.
Базовое понятие теории вероятностей – случайная величина (СВ). В результате опыта (эксперимента или наблюдения) СВ принимает одно из множества значений, причем появление того или иного значения заранее нельзя точно предсказать даже при, казалось бы, полностью известных условиях. Но, зная распределение вероятностей этой СВ, можно:
−найти вероятности наступления или ненаступления того или иного события;
−найти вероятность того, что СВ примет определённое значение либо значение из заданного множества;
−получить числовые характеристики (например, математическое ожидание, дисперсию и т. п.).
В задачах математической статистики, напротив, известны данные (выборка),
собранные по результатам эксперимента или наблюдения. Таким образом, считается, что событие наступило, и по выборке следует определить закон распределения (или подобрать наиболее подходящий в данном случае закон из числа известных и наиболее часто используемых). Применяя закон распределения, можно получить достоверные с некоторой долей вероятности статистические выводы.
1. Случайная величина. Закон распределения случайной величины
Случайной называют величину, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества. Случайная величина (СВ) дискретна, если множество ее возможных значений представляет собой конечный или счетный набор, и непрерывна, если ее значения могут лежать в бесконечном множестве (на отрезке, интервале, всей числовой оси).
Различают также скалярную (одномерную) и векторную (многомерную) СВ.
Будем обозначать X исследуемую СВ (например, рост, вес, успеваемость, доход, объем продаж, банковские вклады и т. п.), а x – ее конкретное значение. Например, заработная плата – случайная величина Х, а x = 25000 рублей – значение этой случайной величины.
Законом распределения случайной величины X называют совокупность ее возможных значений {xi} и вероятностей {pi}, с которыми она их принимает.
Для дискретной СВ задается множество возможных значений СВ и вероятности их осуществления в виде таблицы или функции. Сумма всех вероятностей равна единице, т. е. с суммарной вероятностью 1 случайная величина принимает хоть какое-то значение.
Закон распределения вероятностей непрерывной СВ X можно задать в виде функции распределения FX (x) или функции плотности вероятности f X (x).
Функцией распределения вероятностей FX (x) случайной величины X называют функцию, ставящую в соответствие любому заданному значению х вероятность события:
«Значение СВ X меньше числа x», т. е. FX (x)= P(X < x). FX (x) |
– неубывающая функция |
аргумента x. |
|
Функция плотности вероятности непрерывной СВ – |
производная функции |
∞ |
|
распределения FX (x) в точке x. ∫ f (x)dx =1 |
|
−∞ |
|
16 |
|
|
x |
Функция распределения связана с плотностью формулой FX (x) = ∫ f (u)du . F F |
|
|
Xmin |
FX(x) называют также интегральной функцией распределения. |
|
Обратная функция распределения FX−1(p) используется для решения задачи: по |
|
заданному значению вероятности p |
найти значение х. При этом если по заданному |
значению q возвращается число xq |
такое, что P(X < xq ) = q , то обратная функция |
называется квантиль, а ее результат |
xq – квантиль уровня q данного распределения. |
Значение xQ , для которого P(X ≥ xQ ) = Q% , называют процентной точкой уровня Q.
Квантиль – возрастающая функция аргумента «вероятность», а процентная точка – убывающая.
Квантиль уровня α есть процентная точка уровня 1−α . Например, квантиль уровня 0,9 есть 10% точка.
Квантиль уровня 0,5 (она же 50% точка) называется медиана.
Если случайная величина формируется под действием большого числа независимых факторов, вклад каждого из которых в значение случайной величины мал и равновероятен по знаку, то в силу центральной предельной теоремы эта случайная величина будет иметь нормальное распределение. Большое число экономических (и не только) показателей подчиняются нормальному закону распределения.
Диапазон возможных значений нормально распределенной СВ (–∞; ∞).
Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: µ и σ (значение µ
любое по знаку, σ >0). График плотности нормального распределения симметричен относительно точки x= µ. «Растянутость» вдоль оси X определяется параметром σ . Чем
меньше значение σ, тем более острый и высокий максимум имеет кривая плотности (рис. 3.1).
|
|
|
1 |
|
e− |
(x−µ)2 |
||
Плотность вероятности: |
f (x,µ,σ) = |
|
|
2σ2 |
. |
|||
|
|
|
|
|||||
σ |
|
2π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2 f ( x , 3.5 , 0.3)
f |
( x |
, |
4 |
, |
0.3) |
f |
( x |
, |
4 |
, |
0.2) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2.5 |
3 |
3.5 |
4 |
4.5 |
5 |
2.5 |
|
|
x |
|
5 |
Рисунок 3.1 – Плотность нормального распределения при различных значениях параметров
2. Использование закона распределения для выражения числовых характеристик случайной величины
Математическим ожиданием M (X ) случайной величины X является результат операции ее «осреднения», произведенного с учетом «взвешивания» в соответствии с зако-
17
ном распределения СВ Х. Математическое ожидание называют также генеральное среднее
или среднее взвешенное.
M (X ) = |
∫x f X (x)dx для непрерывной СВ, |
(3.1) |
|
|
∑xi pi для дискретной СВ. |
||
|
|
i |
|
Здесь интегрирование производится по области всех возможных значений СВ Х, суммирование – по всем возможным значениям СВ X.
Плотность вероятности называют еще весовой функцией, т. к. она определяет «вес» каждого значения при определении математического ожидания.
Дисперсия D(X) случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения от математического ожидания.
|
(x − M (X ))2 f X (x)dx для непрерывной СВ, |
|
|||
D(X ) = M ((X − M (X )2 ))= ∫ |
|
2 |
|
|
(3.2) |
|
|
∑(xi − M (X )) pi для дискретной СВ. |
|
||
|
|
i |
|
|
|
Формулу дисперсии можно преобразовать к виду; |
|
|
|
||
D(X ) = M (X 2 )−(M (X ))2 |
|
|
(3.3) |
||
Мода – такое значение х, |
при котором плотность |
вероятности f X (x) (для |
|||
непрерывной СВ) или вероятность |
P(X = x) (для дискретной |
СВ) достигает своего |
|||
максимума. Для нахождения моды можно решить уравнение f X' |
(x) |
= 0. |
|
||
Медиана – средневероятное значение, т. е. вероятность встретить значение СВ X меньшее, чем медиана, такая же, как вероятность встретить значение, не меньшее, чем медиана. Медиана равна обратной функции распределения СВ X при значении аргумента 0,5.
3. Выборочный метод. Точечные и интервальные оценки
Под генеральной совокупностью понимают все возможные значения анализируемой СВ. Выборка – случайно отобранная (наблюдаемая) часть генеральной совокупности.
Задача статистической обработки выборочных данных – по данным выборки описать свойства (построить модель) исследуемой генеральной совокупности. Результаты и выводы, основанные на наблюдении или эксперименте, называют эмпирическими. Выборка называется репрезентативной, если по ней можно с достаточной точностью описать свойства исследуемой генеральной совокупности.
Оценкой числовой характеристики (или параметра) θ случайной величины называется функция от выборочных значений θ (x1, x2 ,...,xn ), которая в определенном
смысле близка к истинному значению θ .
Использование данных выборки для оценки характеристик генеральной совокупности, из которой эта выборка извлечена, сопровождается статистическими выводами. Математический аппарат статистики включает два типа выводов:
−статистическое оценивание неизвестных характеристик генеральной совокупности (параметров модели генеральной совокупности);
−проверка статистических гипотез (предположений) о генеральной совокупности. Имеется два подхода к оцениванию неизвестных параметров генеральной сово-
купности по наблюдениям: точечный и интервальный. Точечная оценка указывает точку, около которой находится оцениваемый параметр. Интервальная оценка параметра – интервал, в котором с заранее заданной доверительной вероятностью p , близкой к 1,
находится истинное значение параметра. Уровень значимости α =1 − p – вероятность
того, что истинное значение параметра находится за границами найденного доверительного интервала.
18
Свойства оценок
Оценка параметра называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений
(n→∞) она стремится по вероятности к истинному значению этого параметра.
Оценка называется несмещенной, если при любом объеме выборки n результат ее осреднения по всем возможным выборкам данного объема приводит к истинному значению оцениваемого параметра.
Оценка называется эффективной, если среди всех различных оценок одного и того же параметра обладает наименьшей мерой случайного разброса относительно истинного значения оцениваемого параметра.
Числовые характеристики выборки Элементы выборки – значения x1, x2 ,...xn (n – объем выборки). 1) Среднее арифметическое
x = |
1 |
n |
(3.4) |
|
∑x , |
ni =1
2)Размах, или амплитуда вариации, определяется как разность между максимальным
иминимальным значением в рассматриваемой выборке.
3)Дисперсия выборки определяется как средний квадрат отклонений элементовi
выборки от среднего значения.
|
1 |
n |
|
|
1 |
n |
|
|
D = |
∑ |
(xi − x)2 |
= |
∑xi2 −(x)2 . |
(3.5) |
|||
|
|
|||||||
|
n i =1 |
|
|
n i =1 |
|
|||
4) Среднее квадратическое отклонение (говорят также стандартное отклонение) вычисляется как корень из дисперсии
s = |
D |
. |
(3.6) |
Если генеральная совокупность имеет нормальное распределение с параметрами µ
и σ , то выборочное среднее x является несмещенной оценкой параметра µ. Выборочное стандартное отклонение s является смещенной оценкой σ , смещение отрицательное
|
|
|
1 |
n |
|
и равно σ |
n |
. Несмещенная оценка дисперсии D* = |
∑(xi − x)2 , несмещенное |
||
|
|||||
|
|
|
n −1i =1 |
||
стандартное отклонение s* = 
D* .
Эффективной оценкой параметра µ. является выборочное среднее (по сравнению с модой и медианой среднее обладает меньшей мерой случайного разброса по различным
выборкам). Выборочное стандартное отклонение s (а не s* ) является эффективной оценкой
σ .
Заключение
Наблюденные значения случайной величины – это практически осуществившиеся в n проведенных экспериментах (или зарегистрированные в n наблюдениях) конкретные числовые значения исследуемого показателя.
Выборка – это статистически обследованная часть генеральной совокупности, по которой мы хотим судить об интересующих нас свойствах генеральной совокупности в целом. Вопрос представительности (репрезентативности) выборки требует знания и использования форм организации выборочных наблюдений.
Вопросы для закрепления материала: 1. Что такое случайная величина?
19
2.Что определяет закон распределения случайной величины? В каком виде можно задать закон распределения?
3.Сколько параметров у нормального закона распределения? Что характеризуют эти параметры?
4.Как выражаются числовые характеристики случайной величины через закон распределения?
5.Что такое точечная и интервальная оценки неизвестного параметра генеральной совокупности?
6.Свойства оценок.
20