Лекция 15 Методы выбора модели тренда и оценки параметров модели

Основные вопросы:

1.Понятие и задачи аналитического выравнивания временного ряда.

2.Выбор модели по методу характеристик прироста.

3.Методы аналитического выравнивания.

Основные понятия:

Кривая роста – функция, единственным аргументом которой является время. Аналитическое выравнивание – замена фактических уровней временного ряда

значениями, рассчитанными на основе определенной кривой (трендовой модели). Введение

Статистические модели, построенные на основе временных рядов социальноэкономических показателей, позволяют применять математико-статистические методы для описания закономерностей развития объектов экономики как в прошлом, так и в будущем.

Подбирая вид функции для моделирования основной тенденции временного ряда, можно с помощью компьютерных программ перебрать все имеющиеся модели тренда и выбрать наиболее точную. Недостаток этого метода заключается в том, что большую точность, как правило, может обеспечить более сложная модель, содержащая больше параметров. Но, во-первых, преимущество может быть не очень большим, во-вторых, более сложные модели могут на периоде прогнозирования давать неправдоподобные результаты. Особенно это характерно для многочленов (полиномов) высоких степеней.

1. Понятие и задачи аналитического выравнивания временного ряда

При аналитическом выравнивании эмпирические уровни ряда заменяются значениями, рассчитанными на основе определенной функции, описывающей линию развития ряда.

В общем случае модель временного ряда можно записать в виде:

чину f в момент t ;

εt – случайная составляющая.

Аналитическое выравнивание основано на построении модели для аппроксимации

функции f (t, X t ).

В роли детерминированных переменных X t могут выступать:

−внешние (независимые) факторы,

−значения y в предшествующие моменты (периоды) времени;

−значения ошибок в предшествующие моменты времени εt −1, εt −2 , …

При этом получают соответственно модели регрессии (факторные модели), модели авторегрессии (АР-модели), модели скользящего среднего (СС-модели).

Число независимых факторов обычно велико, и учесть в модели их все практически невозможно, потому при «плавном» течении процесса часто строят модели временного ряда с единственным фактором t . Чаще всего такие функции используют для моделирования основной тенденции, т. е. тренда (некоторые авторы относят к тренду и циклическую компоненту, а некоторые – еще и сезонную компоненту, то есть все неслучайные компоненты).

Преимущества трендовых моделей над многофакторными моделями:

77

1. Все факторы учесть все равно невозможно: часть факторов либо вообще неизвестна, либо по ним недостаточно информации, кроме того, в уравнение невозможно включить число факторов, большее, чем объем выборки. Коэффициент при t можно представить как комплексный коэффициент регрессии при всех остальных факторах.

2.Факторная модель более оправдана для перекрестных данных, а трендовая – для временных рядов. Например, в факторной модели урожайности качество почвы будет существенным фактором, но с течением времени этот фактор изменяется мало и на динамику процесса не влияет. Наоборот, средняя температура месяца используется в модели временного ряда, а для перекрестных данных, собранных в хозяйствах одного района, она одинакова для всех хозяйств и в уравнение регрессии не включается.

3.Для прогноза по трендовой модели требуется, как правило, меньше информации, чем по факторной модели.

Недостатки трендовых моделей:

1.Неявность учета влияющих факторов затрудняет моделирование перелома или

скачка в развитии процесса.

2.Нет возможности проигрывать различные варианты развития событий при разных сочетаниях значений факторов.

3.Прогноз по модели тренда несет в себе черты фатализма, поскольку аргумент модели – время, а время нельзя изменить.

Метод аналитического выравнивания заключается в нахождении аналитической функции, выражающей развитие явления за рассматриваемый период времени. При этом решаются следующие задачи:

a) выбор вида уравнения, отображающего тип развития;

б) выбор метода определения параметров модели и получение значений параметров; г) выявление степени близости теоретических и фактических данных Задачей аналитического выравнивания является определение не только общей

тенденции развития, но и некоторых недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения неизвестных значений внутри ряда называют интер-

поляцией, за пределами – экстраполяцией.

Кроме аналитического выравнивания, интерполировать и экстраполировать можно также по средней арифметической, по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста. Пропущенное значение можно заменить средним арифметическим предыдущего и последующего.

Выводы

Перед выполнением аналитического выравнивания следует четко уяснить, для чего будет использоваться построенная модель.

2. Выбор модели по методу характеристик прироста

Графического представления бывает недостаточно для выбора типа линии тренда. Трудно, например, графически отличить экспоненту от квадратичной параболы, а иногда и линейный тренд от нелинейного. Метод характеристик прироста является более универсальным и позволяет выбрать кривую роста из широкого класса функций. Он основан на использовании характерных свойств показателей динамики различных кривых. В качестве показателей динамики наиболее часто используются цепные приросты (разности) различных порядков и коэффициенты (темпы) роста.

Если функция f рассматривается только как функция времени, она называется кривая роста. Рассмотрим некоторые примеры кривых.

Полиномы (многочлены)

В моделировании социально-экономических процессов наиболее часто используют прямую линию f (t) = a1t + a0 и полиномы невысоких степеней:

78

второй степени f (t) = a2t 2 + a1t + a0 (квадратичная парабола); третьей степени f (t) = a3t3 + a2t2 + a1t + a0 (кубическая парабола).

Хотя прямая линия формально не является полиномам, для общности метода характеристик прироста будем считать ее полиномом первого порядка, а горизонтальную

линию f (t) = a0 – полиномом нулевого порядка.

Полиномы более высоких степеней надо применять с осторожностью, предварительно проверив их поведение при экстраполяции (прогнозировании).

В основе выбора наиболее подходящей степени полинома лежит утверждение:

переход от исходного ряда к ряду приростов понижает степень полинома на 1.

Если тренд линейный, то первые приросты (цепной прирост) для модели тренда

Теоретически первые приросты у линейного тренда раны постоянному числу a1

(положительному или отрицательному в зависимости от наклона прямой линии).

коэффициент a1 показывает, на сколько единиц в среднем изменяется y при увеличении t

на 1. Вторые приросты теоретически равны нулю, практически колеблются вокруг нулевого уровня.

Применяя линейную модель для прогнозирования, предполагают, что в дальнейшем развитии показателя сохранится постоянный цепной прирост.

постепенно снижаются, стремясь к 1. Темпы прироста стремятся к 0.

Первые приросты квадратичной параболы получим по формуле:

Теоретически первые приросты квадратичной параболы изменяются линейно и представляют собой прямую линию с наклоном: положительным, если ветви параболы направ-

лены вверх (при значении a2 > 0), и отрицательным, если ветви параболы направлены вниз

(при a2 < 0).

Вторые приросты (ускорение роста) квадратичной параболы равны постоянному числу 2a2 , третьи приросты равны нулю. Для реальных временных рядов первые, вторые

и третьи приросты колеблются вокруг: наклонной прямой линии, горизонтальной прямой линии и нулевого уровня соответственно.

Экономический смысл квадратичной параболы: цепной прирост показателя y увеличивается (уменьшается) в среднем на 2a2 единиц при увеличении t на 1; среднее ускорение роста равно 2a2 . Применяя модель квадратичной параболы для прогнозирования, предпо-

лагают, что в дальнейшем сохранится постоянное ускорение роста.

Квадратичная парабола имеет две ветви: восходящую и нисходящую, но для моделирования реальных процессов обычно используется только одна из ветвей, т. к. одинаковые значения ускорения на подъеме и спаде маловероятны.

79