Решение системы уравнений (11.5) (значения параметров a1, a2 , ..., am , b ) можно

найти любым известным способом.

Для компактной записи модель (11.2) представляют в векторно-матричной форме:

Критерий МНК в матричной форме (аналог формулы (11.4)) имеет вид:

Решая систему уравнений (11.9) методом обратной матрицы, получим выражение для определения вектора параметров модели регрессии:

Предпосылками к построению уравнения множественной регрессии являются условия Гаусса-Маркова. Дополнительное условие: ранг матрицы X равен m + 1, то есть, между факторами из набора X отсутствует линейная зависимость (отсутствует мультиколлинеарность).

При выполнении условий Гаусса-Маркова параметры модели (11.2) являются BLUEоценками (наилучшими линейными несмещенными оценками) параметров модели (11.1).

Выводы

Матричное представление модели регрессии и метода наименьших квадратов делает формулы более компактными.

3. Анализ общего качества модели и значимости коэффициентов

Поскольку найденные с помощью МНК значения параметров модели регрессии (11.2) являются лишь оценками параметров модели (11.1), обобщение выводов о влиянии

57

изменения каждого фактора из набора X на изменение y требует проверки гипотез о статистической значимости оценок и нахождения доверительных интервалов для истинных зна-

чений коэффициентов регрессии α1, α2 , ...,αm в генеральной совокупности.

Анализ модели регрессии включает две составляющих: содержательную и статистическую.

Содержательная составляющая анализа включает экономический смысл коэф-

фициентов регрессии (положительны они или отрицательны, правдоподобны ли значения), а также сравнение факторов по интенсивности влияния на изменение значения y. с помощью различных характеристик.

Статистический анализ уравнения включает:

−проверку общего качества уравнения регрессии;

−проверку статистической значимости каждого коэффициента модели;

−проверку предпосылок регрессионного анализа (свойств остатков: случайность, попарная независимость, гомоскедастичность, нормальность распределения).

Основу статистического анализа модели составляют показатели точности:

ei = yi − yi , (i =1, 2, ..., n);

n

Qe = ∑ei2 .

i =1

(11.11)

Основным показателем общего качества модели является коэффициент детерми-

нации R2. Он показывает, какую долю вариации (дисперсии) Y можно объяснить с помощью модели регрессии.

i =1

R2 = 1, если модель объясняет все отклонения наблюдаемых значений Y от среднего уровня y ; R2 = 0, если модель таких отклонений не объясняет совсем.

Анализ общего качества модели регрессии заключается в проверке основной гипо-

тезы H0 : КД = 0 при альтернативной гипотезе H1: КД > 0. Здесь КД – коэффициент

детерминации в генеральной совокупности.

Если справедлива гипотеза H0 , то случайная величина F подчиняется F-распре- делению с числом степеней свободы m и n–m–1.

Принятие нулевой гипотезы для коэффициента детерминации свидетельствует о статистической незначимости уравнения регрессии и его неудовлетворительном качестве: построенная модель дает не лучший результат для объяснения поведения y, чем модель

y = y .

Возможные причины неудовлетворительного качества модели:

58

−неверно выбрана форма зависимости: возможно, она не является линейной;

−изменение y определяется не теми факторами, которые включены в модель;

−объем выборки недостаточен, чтобы включить в модель m факторов.

Оценка значимости коэффициентов регрессии

Надежность полученных по выборке оценок коэффициентов регрессии ak , k =1, .., m , определяется дисперсиями этих коэффициентов s2 (ak ), которые зависит от дисперсии

где; Zkk – диагональный элемент матрицы (X T X )−1 .

Средние квадратические ошибки коэффициентов определяются как корень из дисперсии коэффициентов:

s(ak ) = s2 (ak ) .

Статистическую значимость каждого коэффициента регрессии оценивают исходя из того, во сколько раз оценка коэффициента, полученная по выборке, превосходит среднеквадратичную ошибку этого коэффициента. Значимость свободного члена обычно не проверяют.

В основе проверки лежит утверждение: случайная величина

подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы n −m −1.

Для каждого коэффициента проверяется основная гипотеза H0 : αk =0 о равенстве нулю в генеральной совокупности и статистической незначимости коэффициента, найденного по выборке. Альтернативная гипотеза H1 : αk ≠ 0 – гипотеза о значимости. Если

Гипотеза H0 формулируется и проверяется для каждого коэффициента. Доверительный интервал для истинного значения коэффициента регрессии αk

находят, выражая αk из формулы (11.16). Таким образом, с доверительной вероятностью p значение αk находится в интервале:

tкр – критическая точка распределения Стьюдента для значения α =1− p и числа степеней

свободы n–m–1.

Обычно задают p = 0,95, что соответствует вероятности ошибки α = 0,05.

Результат расчета по формуле (11.8) можно использовать и для проверки значимости коэффициента регрессии αk : если число 0 попало в полученный по формуле (11.8)

интервал, то для коэффициента αk следует принять гипотезу H0 , и оценку коэффициента считать статистически незначимой.

59

Факторы, которым соответствуют незначимые коэффициенты, рекомендуется из модели исключать по одному, каждый раз проверяя общее качество новой модели по F - статистике и значимость каждого коэффициента по t -статистике.

Если после исключения некоторого фактора качество модели оказалось недостаточно высоким, надо не исключать этот фактор, а заменить другим.

Скорректированный коэффициент детерминации. Гипотеза о несущественности исключения части факторов

Недостатком коэффициента детерминации является то, что он увеличивается при добавлении факторов в набор X и уменьшается при исключении части факторов, хотя изменение точности модели может быть незначительным. Этого недостатка лишен

скорректированный коэффициент детерминации R2 :

i=1

Вотличие от R2 величина R2 может не увеличиться при добавлении факторов, если эти факторы мало что объясняют в изменении y, и не уменьшиться при исключении факторов, которые мало что объясняли.

Существуют и более строгие способы проверки. Так, для проверки предположения

онесущественности уменьшения коэффициента детерминации при исключении k факторов из набора X проверяется основная гипотеза: КД1 = КД2, альтернативная: КД1 > КД2. Критерий: если справедлива основная гипотеза, то случайная величина

факторных признаков в первоначальном наборе X.

Сравнениефакторов по степени влияния на изменениеy

Модель множественной регрессии можно использовать для сравнения факторов между собой по степени влияния на изменение y.

Наиболее часто используемые сравнительные характеристики:

1) Стандартизованные коэффициенты регрессии (бета-коэффициенты)

показывают, на сколько процентов среднего значения изменится в среднем значение y, если

значение x(k) увеличится на 1% среднего значения этого фактора при неизменных значениях остальных факторов.

4) Частные коэффициенты корреляции Y с каждой независимой переменной.

Результаты сравнения факторов по разным характеристикам могут не совпадать.

Выводы

Если в парном корреляционно-регрессионном анализе достаточно было проверить гипотезу о статистической значимости одного корреляции показателя: коэффициента, или регрессии, или детерминации, то во множественном анализе надо выполнять проверку как общего качества модели, так и статистической значимости каждого коэффициента регрессии.

Результаты сравнения факторов между собой по степени влияния на изменение y с помощью разных характеристик могут не совпадать.

При добавлении факторов в набор X коэффициент детерминации увеличивается, при исключении части факторов – уменьшается.

Для проверки предположения о несущественности уменьшения коэффициента детерминации при исключении факторов из набора X выполняют расчет скорректированного коэффициента детерминации либо проверяют гипотезу о несущественности уменьшения коэффициента детерминации при исключении нескольких факторов.

Заключение

После того, как сделан вывод об удовлетворительном общем качестве уравнения регрессии, проверяют статистическую значимость каждого коэффициента регрессии: возможно, часть факторов придется из набора X исключить.

Исходя из формулы (11.17), коэффициент регрессии ak может оказаться незначимым

либо по причине слабого влияния изменения фактора X (k) на y, либо вследствие большой среднеквадратической ошибки коэффициента ak .

Число факторов, включаемых в модель, не должно быть слишком велико, иначе модель начинает отражать не закономерность развития на фоне случайности, а саму случайность.

Простота модели в значительной степени гарантирует ее адекватность, поскольку более сложные зависимости часто трудно уловить на ограниченном временном интервале и обосновать экономически, но в то же время эти зависимости можно легко описать достаточно простыми математическими функциями. Иными словами, сложная модель может в большей степени выражать второстепенные (может быть, случайные) взаимосвязи между переменными в ущерб основным.

Вопросы для закрепления материала:

1.Какой вид имеет уравнение множественно линейной регрессии? Что описывает уравнение множественной регрессии?

2.Что показывает каждый коэффициент уравнения регрессии?

3.Как выполняется анализ общего качества модели регрессии?

4.Как оценивают статистическую значимость каждого коэффициента регрессии?

5.С помощью каких характеристик можно выполнить сравнение факторов по степени

влияния на изменение результативного признака y ?

61

Лекция 12 Тема: Фиктивные переменные. Лаговые переменные Прогнозирование по уравнению

множественной линейной регрессии Основные вопросы:

1. Учет в модели множественной регрессии качественного признака-фактора с помощью фиктивной переменной.

2. Лаговые переменные.

3. Прогноз по уравнению множественной линейной регрессии.

Основные понятия:

Качественный (атрибутивный) признак-фактор – фактор, который не имеет коли-

чественного выражения, но имеет два или более качественных значения.

Фиктивная переменная – это переменная бинарного типа, т. е. принимающая только два значения, обычно это 0 или 1.

Лаговые переменные – объясняющие переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Величина интервала запаздывания называется лаг.

Введение

В эконометрической модели переменные подразделяются на виды.

Эндогенная (зависимая, объясняемая) переменная y – внутренняя по отношению к моделируемой системе (объекту), т. е. это реакция объекта в ответ на внешние (экзогенные) воздействия, задаваемые вектором независимых переменных X.

Экзогенные (независимые) переменные имеют внешнее происхождение, их значения определяются внешними причинами; в определенной степени они являются управляемыми (планируемыми).

Лаговые – экзогенные или эндогенные переменные, датированные предыдущими моментами времени.

Предопределенные переменные – объясняющие переменные, к ним относятся лаговые и текущие экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные.

Для получения прогноза больше всего подходит модель с предопределенными объясняющими переменными, в противном случае их тоже требуется спрогнозировать эконометрическими либо экспертными методами.

1. Учет в модели множественной регрессии качественных признаков -факторов с помощью фиктивныхпеременных (dummy-переменных)

При эконометрическом моделировании социально-экономических процессов часто возникает необходимость включения в модель качественного (атрибутивного) признакафактора, который не имеет количественного выражения, но имеет два или более качественных значения.

Примеры атрибутивных признаков:

1)пол (два качественных значения: мужской и женский);

2)тип муниципального образования (например, три значения: городской округ, муниципальный район, городское поселение);

3)период года (например, два значения: осенне-зимний и весенне-летний сезоны, или четыре значения: I. II, III и IV кварталы, или 12 значений: январь, февраль и т. д.).

Для включения качественного фактора в модель регрессии используют фиктивные переменные (dummy-переменные), причем количество фиктивных переменных должно быть на единицу меньше, чем количество качественных значений у атрибутивного признака. Например, для учета признака-фактора «пол» в модель вводится одна фиктивная переменная d1; для учета признака-фактора «квартал» в модель вводятся три фиктивные переменных d1, d2 и d3.

62