Статистика. Учебное пособие

m - показатель степени средней; n - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени т различают следующие виды степенных средних:

при т = -1 - средняя гармоническая, при т = 0 - средняя геометрическая, при т = 1 - средняя арифметическая, при т = 2 - средняя квадратическая, при т = 3 - средняя кубическая.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше т в формуле, тем больше значение средней величины:

хгарм < хгеом < х арифм < х квадр .

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется в статистике

правилом мажорантности средних.

Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также принципами суммирования и взвешивания. Помимо степенных средних в статистической практике используются средние структурные, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

Средняя арифметическая

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность(суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя. Так, например, общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников, валовой сбор урожая – сумма произведенной продукции со всей посевной площади. Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

81

Средняя арифметическая применяется в форме простой и взвешенной средней. Средняя арифметическая простая равна сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака):

х = åхi ,

п

где хi - индивидуальные значения варьирующего признака (вари-

анты); п - число единиц совокупности.

Например, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле, шт.:

х = 21 + 20 + 20 +19 + 21 + 19 +18 + 22 +19 + 20 + 21 + 20 + 18 + 19 + 20 = 19,8. 15

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная – средняя для сгруп-

пированных величин, вычисляется по формуле:

х= åхi fi ,

åfi

где fi - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

∑xifi - сумма произведений величины признаков на их частоты;

∑fi - общая численность единиц совокупности.

82

Технику вычисления средней арифметической взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в табл. 21.

Таблица 21

Распределение рабочих по выработке деталей

Средняя выработка деталей за смену определяется по формуле средней арифметической взвешенной, шт.:

х = 18 × 2 + 19 × 4 + 20 × 5 + ×21× 3 + 22 ×1 = 297 = 19,8.

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

х= åхi wi ,

åwi

где wi - частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Если частоты подсчитывают в долях(коэффициентах), то ∑wi=1 и формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

х = åxi wi .

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов ("от – до"), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов. В результате чего образуется дискретный ряд.

83

Пример. Распределение рабочих предприятия по уровню оплаты труда представлено в табл. 22. Определите средний размер оплаты труда на предприятии.

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями(простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов(первый и последний)

условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше в интервале единиц совокупности.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают так же, как и в дискретном ряду, — варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), д.е.:

х = 145800 =1458. 100

Таким образом, средний уровень оплаты труда рабочих предприятия составляет 1458 д.е. в месяц.

Основные математические свойства средней арифметической.

1. Если варианты уменьшить или увеличить на некоторое постоянное число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится на это постоянное число:

84

2. Если варианты разделить или умножить на некоторое постоянное число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз:

а) при делении вариантов на постоянное число:

б) при умножении вариантов на постоянное число:

5. Алгебраическая сумма отклонений вариантов от средней равная нулю:

å(xi - x) fi = 0.

Средняя гармоническая

При расчете средних показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака, не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем.

85

Например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных -ра ботников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы. Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социальноэкономического явления.

Вид средней определяется характером взаимосвязи определяющего показателя с осредняемым. Средняя арифметическая, как было показано выше, применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты f. Когда статистическая информация не содержит частотf по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение

(х·f), применяется формула средней гармонической взвешенной.

Чтобы исчислить среднюю, обозначим х·f =w, откуда f= w/x. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и wможно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо х·f подставим w, вместо f - отношение w/x и получим формулу средней гармонической взвешенной:

86

Расчет средней цены выражается соотношением:

x = åwi .

å fi

Определяющим показателем является числитель этой формулы. Выручка от продаж(w) известна (числитель), а количество реализованных единиц (f)— неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену. Тогда средняя цена 1 кг груш по трем магазинам может быть исчислена по формуле средней гармонической взвешенной:

x = 7780 =19,45 р. 400

Этот же результат получится и посредней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рассчитать):

Полученная средняя цена 1 кг груш является реальной величиной, ее произведение на все количество проданных яблок дает общий объем реализации, выступающий в качестве определяющего показателя (7780 р.).

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, или варианты представлены в виде обратных значений признака,

то применяется средняя гармоническая простая:

х = n ,

å 1

xi

где хi - отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу;

п - число вариантов.

Пример. Требуется определить средний размер двух видов вклада в банке в октябре и ноябре по данным табл. 24.

87

Всентябре известен средний размер вкладов каждого вида

хи количество вкладовf. Следовательно, для расчета среднего размера вклада по двум видам применяем формулу средней арифметической взвешенной:

х = å xi f i = 350 ×10 + 400 ×8 = 372 д.е.

В октябре известен средний размер вкладов каждого вида, а количество вкладов неизвестно, но зато имеются данные об общих суммах этих вкладов. Путем деления сумм вкладов (w) каждого вида на средний размер вклада (х) можно определить веса – число вкладов (f) по их видам, а затем определить средний размер

вклада по двум видам по формуле средней арифметической взвешенной. Однако если в расчете использовать среднюю гармоническую взвешенную, то отпадает необходимость предварительных расчетов весов – размеров вкладов по каждому виду, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

Итак, средний размер вклада в ноябре по двум их видам находим по формуле средней гармонической взвешенной:

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде

88

цепных величин (как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики), т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая простая (для несгруппированных данных) исчисляется извлечением корня степени n из произведений отдельных значений – вариантов признака х:

х = n x1 × x2 ×...× xn = n Õxi ,

где n - число вариантов.

Средняя геометрическая взвешенная (для сгруппированных данных):

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны п земельных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны п кубов).

Средняя квадратическая простая (для несгруппированных данных) является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

89

Средняя квадратическая взвешенная(для сгруппированных данных):

Средняя кубическая простая (для несгруппированных дан-

ных) вычисляется по формуле:

x = 3 åxi3 , n

средняя кубическая взвешенная (для сгруппированных данных):

Особым видом средних величин являютсяструктурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода (Мо) - значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду, или вариант, имеющий наибольшую частоту. В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

где x0 - нижняя граница модального интервала; h - ширина модального интервала;

fMo, fMo-1, fMo+1 - частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах соответственно.

90