Статистика. Учебное пособие

Недостаток метода скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить выровненные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического -вы равнивания.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней ряда динамики в виде функции времениy = f(t). При таком подходе изменение явления связывают лишь с течением времени. Считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени. Правильно построенная модель должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явлений. Выбранная функция позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней ряда динамики.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяют различные функции: полиномы разной степени (прямая, парабола), экспоненты, логистические кривые и др.

Для решения задачи подбора функции применяют метод -наи меньших квадратов, поскольку наилучшим считается такое приближение выровненных данных к эмпирическим (исходным), при которых сумма квадратов их отклонений является минимальной:

å( yi факт - yi сглаж )2 ® min .

Условное времяtвбирает в себя влияние на уровни ряда динамики всех факторов. Наиболее распространенными функциями для построения уравнения тренда являются следующие:

- полином 1-й степени (уравнение прямой) рекомендуется к использованию, если уровни ряда динамики изменяются с примерно одинаковой скоростью(цепные абсолютные приросты примерно равны):

yˆt = a0 + a1t;

- полином 2-й степени (уравнение параболы) используется, если уровни ряда динамики изменяются примерно с равным ускорением, т.е. примерно стабильны вторые разности(приросты абсолютных приростов):

161

yˆt = a0 + a1t + a2t 2 ;

- полином 3-й степени рекомендуется к использованию, если примерно стабильны третьи разности (разности вторых разностей):

yˆt = a0 + a1t + a2t 2 + a3t 3 ;

- полином n-й степени (например, показательная функция или уравнение экспоненты) применяется, если уровни ряда динамики изменяются с одинаковыми коэффициентами рос, та.е. цепные коэффициенты роста примерно равны):

yˆt = a0 + a1t + a2t 2 + ... + ant n ,

где a0 , a1....аn – параметры полиномов; t – условное время.

Построить уравнение тренда означает найти его параметры.

в которой фактор времениt принимает значения от 1 до n. При ручной обработке информации рекомендуется присвоить фактору

времени t такие значения, чтобы åt =0, с тем, чтобы упростить

систему нормальных уравнений. Для этого переносят начало координат в середину ряда динамики. Если до переноса начала координат t было равно 1, 2, …, n, то после переноса

- для нечетного числа уровней ряда t =…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…; -для четного числа уровней ряда t =…,-5, -3, -1, 1, 3, 5, …. Таким образом, упрощенная система нормальных уравне-

ний для уравнения прямой:

162

ìïna0 = å y

í

ïa åt 2 = åyt.

î 1

Отсюда параметры уравнения прямой:

Пример. Имеются данные об изменении численности врачей на 10000 человек населения (табл. 54). Постройте уравнение тренда и проведите выравнивание исходного ряда динамики.

Таблица 54

Расчет параметров линейного тренда врачей на 10000 чел. населения

Поскольку ряд динамики изменяется примерно с одинаковыми абсолютными приростами, то в качестве уравнения тренда

выберем прямую. При условии, что åt =0, система нормальных

уравнений для уравнения прямой упрощается и мы можем выделить из нее параметры будущего уравнения тренда:

163

Таким образом, уравнение линейного тренда будет: yˆt = a0 + a1t = 49,7 + 0,36t.

Подставляя в данное уравнение вместоt соответствующий фактор времени, получаем выровненные уровни ряда динамики ( yˆt ):

yˆt = 49,7 + 0,36 × (-3) = 48,6,

yˆt = 49,7 + 0,36 × (-2) = 48,9 и т.д.

Значение параметраа1= 0,36 в линейном тренде интерпретируется как совокупное влияние всех факторов на изучаемый признак за один рассматриваемый период, т.е. ежегодное увеличение (посколькуа1> 0) численности врачей на 10000 человек населения составляет 0,36 человека (т.е. почти на 4 специалиста ежегодно на 10000 чел населения). Значение параметраа0 = 49,7 соответствует теоретическому значению уровня2008 г. (когда t=0).

Тренд также можно изображать графически: изображается линейный график исходных уровней ряда и в этой же системе координат строится линия тренда по новым выровненным(расчетным) уровням.

9.5. Методы прогнозирования развития социально-экономических явлений

Анализ динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования– определения будущих размеров уровня экономического явления. Процесс прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем.

164

Различают следующие методы прогнозирования:

1)интерполяция - если нужно вычислить недостающее значение уровня в уже существующем ряду динамики;

2)экстраполяция – вычисление неизвестных значений уровней ряда динамики, лежащих вне его, т.е. прогноз на будущее.Рассмотрим модели прогнозирования.

Прогнозирование может быть основанона среднем абсолютном приросте – если общая тенденция считается линейной, т.е. уровни ряда динамики изменяются равномерно.

- для интерполяции:

yi = y1 + Dy × (i -1),

где yi – искомый уровень ряда динамики; y1 – первый уровень в ряду динамики;

Dy – средний абсолютный прирост;

(i -1) – число временных периодов между искомым и первым уровнем ряда динамики (например, между 2015 и 2020 г.

5временных периодов);

-для экстраполяции:

l – период экстраполирования (если нужно спрогнозировать объем производства в 2025 г., а последние данные приведе-

ны на 2019 г., то = 6).

Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной(экспоненциальной)

кривой (или если есть указание на использование в расчетах среднегодового темпа роста):

165

- для интерполяции:

yi = y1 × Кр i-1,

где yi – искомый уровень ряда динамики; y1 – первый уровень в ряду динамики;

Кр – средний коэффициент роста;

(i -1) – число временных периодов между искомым и пер-

вым уровнем ряда динамики; - для экстраполяции:

yn+l = yn × Кр l ,

где yn+l – прогнозируемый уровень ряда динамики; yn – конечный уровень ряда динамики;

Кр – средний коэффициент роста; l – период экстраполирования.

Пример. Определите ожидаемый объем производства продукции в 2025 г., если известно, что за период с2010 по 2019 г. тенденция объема производства не изменялась. В 2010 г. произвели 250 тыс. т, в 2019 г. произвели 256 тыс. т.

При решении данной задачи лучше использовать модель экстраполяции со средним абсолютным приростом:

yn+l = yn + Dy × l,

Dy = 256 - 250 = 0,67. 9

Период экстраполяции – 6 лет (разница между конечным 2019 г. и прогнозируемым 2025 г.). Тогда искомый уровень 2025г. будет равен:

y2025 = 256 + 0,67 × 6 = 260.

Пример. Определите объем производства продукции в 2016 г., если известно, что за период с2010 по 2019 г. среднегодовой

166

темп роста объема производства существенно не изменялся. В 2010 г. произвели 250 тыс. т, в 2019 г.- 256 тыс. т.При решении

данной задачи лучше использовать модель интерполяции со средним темпом роста:

yi = y1 × Кр i-1,

Определим среднегодовой коэффициент роста:

К р = 9 256 = 1,0026.

250

Период интерполяции – 6 лет, поскольку между первым уровнем (2010 г.) и искомым уровнем (2016 г.) 6 лет. Тогда искомый уровень 2016 г. будет равен:

y2016 = 250×1,00266 = 254.

9.6. Методы выявления сезонных колебаний

При рассмотрении квартальных или помесячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они представляют собой результат влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название сезонных колебаний или сезонных волн, а динамический ряд в этом случае называют сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальным показателями, которые называются индексами сезонности( ). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

167

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам или кварталам. Данные за несколько лет (обычно не менее трех) берутся для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по фактическим данным без их предварительного выравнивания. Для каждого месяца определяют среднюю величину

уровня, например, за три года ( yt ), затем из них рассчитывают

среднемесячный уровень для всего ряда ( ) и в заключение определяют процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:

Если же, например, имеются данные только по одному году, то индекс сезонности может быть определен следующим образом:

Is = yфакт ×100, yвыровн

где yфакт – исходные уровни ряда динамики;

yвыровн – выровненный (теоретический или расчетный) уровень ряда динамики (в качестве такого уровня может рассматриваться средняя величина за исследуемый период, например, среднемесячное (среднеквартальное) значение показателя).

Пример. За 2018-2020 гг. по месяцам имеются данные о числе зарегистрированных браков населением городаN. Рассчитать индексы сезонности методом постоянной средней (табл. 55):

Если же ряд динамики имеет определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая

168

тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

Таблица 55

Динамика числа зарегистрированных браков населения города N

за 2018-2020 гг.

При использовании метода аналитического выравнивания ход вычислений индекса сезонности следующий:

1)по соответствующему полиному(прямой, параболе и т.д.) вычисляют для каждого месяца (квартала) выровненные уровни на момент времени (t);

2)находят отношения фактических месячных(квартальных) данных ( yi ) к соответствующим выровненным данным ( yˆt ),

впроцентах:

3) рассчитывают средние арифметические из процентных отношений, определенные по одноименным периодам:

Isi = Is1 + Is2 + ... + Isn ×100, n

где n – число одноименных периодов.

169

ГЛАВА 10. ИНДЕКСЫ

10.1. Основные задачи индексного метода

Необходимость разработки индексного метода исторически обусловлена потребностями общества в учете и анализе динамики цен. При этом невозможно использовать обобщающие суммарные или средние показатели, так как на потребительском рынке реализуются совершенно различные товары— продукты питания, одежда, мебель, транспортные средства, недвижимость. Нельзя рассчитать и среднюю цену только продуктов питания, по крайней мере, из-за различных единиц измерения(килограммы, штуки, литры). Даже если рассматривать только продукты питания, измеряемые в килограммах, то любому человеку понятно, что «средняя цена 1 кг еды» — очень абстрактная категория, объединяющая мясо, рыбу, масло, картофель и другие совершенно различные продукты питания. Для решения задач анализа динамики показателей, характеризующих разнородные совокупности, и используются индексы. При этом индексы позволяют не только исследовать динамику показателей, но и оценить влияние факторов, вызвавших то или иное изменение.

Втом случае, когда изучаемая совокупность включает соизмеримые элементы, то проследить изменение обобщающих показателей можно и без использования индексов. Например, располагая данными о прибыли всех предприятий отрасли за2014 и 2015 гг., можно рассчитать среднюю прибыль в расчете на одно предприятие в каждом году и вычислить темп роста средней прибыли. Располагая данными о доходах населения, в анализе динамики логично использовать среднедушевые доходы. Однако и в случае однородной совокупности индексы позволяют оценить влияние ее структуры и структурных изменений на динамику рассчитываемых средних показателей.

Впрактике экономического анализа используются не толь-

ко динамические индексы, которые позволяют исследовать изменение одной и той же совокупности во времени на основе сравнения показателей за два и более периодов. Большое значение, особенно в макроэкономической и международной статистике,

170