Статистика. Учебное пособие

бочих внутри цехов производился методом механического отбора

(табл. 38).

С вероятностью 0,954 требуется определить пределы, в которых находится доля простоев на заводе из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов.

Решение.

Рассчитаем долю простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов в выборке:

= 475 × 20 + 900 ×36 +1275 × 4 +196 ×30 = 656,3. 100

Определяем среднюю ошибку в выборочной доле:

131

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли с вероятно-

стью 0,954:

D= 2 × 2,42 = 4,8 %.

Свероятностью 0,954 можно утверждать, что доля простоев рабочих из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов находится в пределах 2,5 % £ p £12,1 % .

Серийная выборка. При серийной выборке генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы— серии. В качестве таких серий могут выступать упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие подобные объединения. В выборочную совокупность отбираются серии. Внутри каждой серий производится сплошное наблюдение единиц.

Вотдельных случаях серийная выборка имеет не столько методологические, сколько организационные преимущества перед другими способами формирования выборочной совокупности

–нет необходимости проведения выборки внутри реально существующих групп. Например, значительно проще провести сплошной контроль знаний всех учащихся попавших в выборку классов, чем отбирать для обследования отдельных школьников внутри этих классов.

Всвязи с тем, что при серийном отборе внутри отобранных групп обследуются все без исключения единицы, внутригрупповая вариация признака не отразится на ошибках выборочного наблюдения. В то же время обследуются не все группы, а только попавшие в выборку. Следовательно, на ошибках получаемых характеристик будут отражаться различия между группами, которые определяются межгрупповой дисперсией.

При бесповторном отборе серий средняя ошибка выборочной серии определяется по формуле:

132

где d 2 – межсерийная дисперсия средних;

R – число серий в генеральной совокупности; r – число отобранных серий.

Пример. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20%-ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено распределение обследованных рабочих по разрядам (табл. 39).С вероятностью 0,997 необходимо определить пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.

Решение.

Определим выборочные средние по бригадам и общую

133

Определим межсерийную дисперсию:

d 2 = (4,6 -3,8)2 + (3,0 - 3,8)2 = 0,64. 2

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997:

D~ = 0,5 × 3 = 1,5.

x

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих механического цеха находится в пределах 2,0 £ x £ 5,0 .

При бесповторном серийном отборе средняя ошибка -вы борки для доли определятся по формуле:

где d 2 - межсерийная дисперсия доли.

Пример. 200 ящиков деталей упакованы по 40 шт. в каждом. Для проверки качества деталей был проведён сплошной контроль деталей в 20 ящиках (выборка бесповторная). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей -со ставляет 15 %. Межсерийная дисперсия равна 49. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля бракованной продукции в партии ящиков.

Решение.

Определим среднюю ошибку выборки для доли:

Предельная ошибка выборки для доли с вероятностью 0,997 равна:

Dw = 1,48 × 3 = 4,44 %.

Свероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных деталей в партии будет находиться в пределах от 10,59 до 19,41%.

134

В статистике различают одноступенчатые и многоступенчатые способы отбора единиц в выборочную совокупность.

При одноступенчатой выборке каждая отобранная единица сразу же подвергается изучению по заданному признаку. Так обстоит дело при собственно-случайной и серийной выборке.

Комбинированная выборка. В практике статистических обследований помимо рассмотренных выше методов отбора применяется и их комбинация. Так происходит, например, когда серии отбираются в установленном порядке из нескольких типических групп. Возможна также комбинация серийного и собственнослучайного отборов, при которой отдельные единицы отбираются внутри серии в собственно-случайном порядке.

Комбинированная выборка может быть двуступенчатой. При этом генеральная совокупность сначала разбивается на группы. Затем производят отбор групп, а внутри последних осуществляется отбор отдельных единиц. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.

8.3. Малая выборка

При контроле качества товаров в экономических исследованиях эксперимент может проводиться на основе малой выборки. Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объем малой выборки обычно не превышает30 единиц и может доходить до 4-5 единиц.

Средняя ошибка малой выборкиmM.B вычисляется по формуле:

135

где sM2 .B – дисперсия малой выборки.

При определении дисперсии s 2 число степеней свободы равно n-1:

При этом значение коэффициента доверияt зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента (табл. 40), в которых даны распределения стандартизированных отклонений:

Поскольку при проведении малой выборки в качестве -до верительной вероятности практически принимается значение 0,95 или 0,99, то для определения предельной ошибки малой выборки DM.B используются следующие показания распределения Стьюдента (табл. 41).

Пример. При контрольной проверке качества продаваемой в магазинах колбасы получены данные о содержании поваренной соли в пробах. По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью0,95 предел, в котором находится

136

Решение.

Составляем расчётную таблицу и по её итогам определяем среднюю пробу малой выборки (табл. 42):

137

Определяем среднюю ошибку малой выборки:

сти St =0,95,устанавливаем по распределению Стьюдента(табл. 41) значение коэффициента доверия t=2,263.

Предельная ошибка малой выборки составит:

DM.B = tmM.B = 2,263(±0,087) = ±0,2.

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии колбасы содержание поваренной соли находится в пределах:

Выборочный метод чаще всего применяется для получения характеристик генеральной совокупности по соответствующим показателям выборки. В зависимости от целей исследований это

генеральную совокупность с учётом ошибки выборки. Так, в торговле определяется количество поступивших в партии товара нестандартных изделий. Для этого (с учётом принятой степени вероятности) показатели доли нестандартных изделий в выборке умножаются на численность изделий во всей партии товара.

Пример. При выборочном обследовании партии нарезных

138

На основе этих данных доля нестандартных изделий во всей партии составит: p = 0,1± 0,06 или от 0,04 до 0,16.Способом

прямого пересчёта можно определить пределы абсолютной численности нестандартных изделий во всей партии: минимальная численность — 2 000 ·0,04 = 80 шт.; максимальная численность

— 2 000 · 0,16 = 320 шт.

Способ поправочных коэффициентов. Применяется в слу-

чаях, когда целью выборочного метода является уточнение -ре зультатов сплошного учета. В статистической практике этот способ используется при уточнении данных ежегодных переписей скота, находящегося у населения. Для этого после обобщения данных сплошного учета практикуется 10%-ное выборочное обследование с определением так называемого "процента недоучета".

Так, например, если в хозяйствах населения поселка по данным 10%-ной выборки было зарегистрировано 52 головы скота, а по данным сплошного учета в этом массиве значится 50 голов, то коэффициент недоучета составляет4% [(2·50):100]. С учетом полученного коэффициента вносится поправка в общую численность скота, находящегося у населения данного поселка.

8.5. Определение оптимальной численности выборки

Для получения объективных данных при выборочном -на блюдении необходимо иметь достаточное число отобранных единиц. Это связано с тем, что размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборочной совокупности n. Величина ошибки выборки обратно пропорциональна численности выборки и прямо пропорциональна степени вариации признака в генеральной совокупности. Однако процесс увеличения численности выборки связан с ростом затрат на проведение выборочного исследования. Эти процессы необходимо оптимизировать.

При расчете оптимальной численности выборки исходят из формулы предельной ошибки (табл. 43).Вероятность того, что в выборке ошибка будет иметь заданный предел, рассчитывается по формуле:

139

- для средней

t = Dx , mx

- для доли

t= Dw . mw

Величина предельной ошибки доли может быть определена как разность между максимально допустимой генеральной долей и выборочной долей.

Пример. В выборке объемом1000 единиц доля бракованных изделий составила 3 %. Выборка случайная, бесповторная. Необходимо определить вероятность того, что во всей партии изделий (10 000 штук) доля бракованных изделий находится в пределах от 2,5 до 3,5 %.

Решение.

Предельная ошибка равна:

Dw = 3,5 - 3 = 0,5 %.

Рассчитаем среднюю ошибку:

140