Статистика. Учебное пособие

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Пример. Имеются данные о стоимости основных производст-

венных фондов (ОПФ) предприятий (табл. 25). Рассчитайте моду. Модальным в данном примере будет интервал от 18 до 20 млн р., поскольку он имеет наибольшую частоту(в него входит максимальное количество предприятий):

Таким образом, у большинства предприятий региона стоимость ОПФ в среднем составляет 18,8 млн р. Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Медиана (Ме) - это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные(по числу единиц) части - со значениями признака меньше и больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного вариационного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных

нахождение медианы сводится к поиску порядкового номера медианы.

Пример. Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих, рублей за смену:

630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.

Номер медианы для нечетного количества единиц наблюдения вычисляется по формуле:

91

NMe = n +1 ,

2

где п - число членов ряда.

В нашем примере номер медианы равен 5, медиана равна 700 р. (т.е. одна половина рабочих получила зарплату менее 700 р., а другая — более 700 р. за смену). В случае четного количества элементов ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда. В интервальных рядах распределения медианное значение (польку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в одном из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы в таком случае вычисляется по формуле:

n

å fi

где x0 - нижняя граница медианного интервала; h - ширина медианного интервала;

n

å fi

2

S Ме -1 - частота, накопленная до медианного интервала; fMe - число наблюдений в медианном интервале.

Рассчитаем медиану по данным см. табл. 25. Прежде всего, найдем медианный интервал. Таким интервалом, очевидно, будет интервал от 18 до 20 млн р., поскольку его накопленная частота (смотрим по количеству предприятий) равна 18 (2+6+10), что превышает половину суммы всех частот (25 : 2 = 12,5). Нижняя граница интервала 18 млн р., его частота 10; частота, накопленная до него, равна 8.

92

Подставив данные в формулу, найдем значение медианы, млн р.:

25 - 8

Полученный результат говорит о том, что из 25 предприятий региона 12 предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18 млн р., а другие 13 предприятий – более 18 млн р.

6.2. Показатели вариации: абсолютные и относительные

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Например, работники предприятия различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются

вкаждом отдельном случае. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака

вдвух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом

– эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика, это имеет важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, – чем меньше варианты отличаются друг от

93

друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет максимально реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным показателям вариации относятся:

размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям вариации следует отнести: коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

R = xmax – xmin.

Среднее линейное отклонение представляет собой сред-

нюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической(при этом всегда

предполагают, что среднюю вычитают из варианта ( xi - x ). Среднее линейное отклонение рассчитывается по-разному в зависимости от того, как представлены исходные данные:

- простое среднее линейное отклонение(для несгруппированных данных):

d = å xi - x , n

где xi - индивидуальные значения изучаемого признака;

x- среднее значение изучаемого признака в совокупности;

п- число членов ряд;

- взвешенное среднее линейное отклонение(для сгруппированных данных):

где å fi - сумма частот вариационного ряда.

94

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины; она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):

- простая дисперсия (для несгруппированных данных):

s 2 = å(xi - x)2 ,

n

- взвешенная дисперсия (для сгруппированных данных):

s2 = å(xi - x)2 × fi .

åfi

Путем преобразований формулу дисперсии можно представить в следующем виде:

s 2 = x2 - x2 = åx2 - x2 ,

n

т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии:

- простое среднее квадратическое отклонение(для несгруппированных данных):

95

В соответствии со свойством мажорантности средних среднее квадратическое отклонение по своей величине всегда превы-

шает значение среднего линейного отклонения: s > d .

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размера вариации признака в совокупности; оно показывает, насколько в среднем отклоняются конкретные - ва рианты от их среднего значения; вляется абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического -от клонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина изучаемого признака.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для подобных сопоставлений абсолютные показатели вариации признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях. Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции представляет собой меру колеблемости крайних значений изучаемого признака около его средней величины. Чем больше значение коэффициента, тем менее однородна изучаемая совокупность:

К о = R ×100.

х

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней:

К d = d ×100.

х

96

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

V = s ×100.

х

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 40 %.

6.3. Основные математические свойства дисперсии

Дисперсия имеет ряд математических свойств, которые могут быть использованы для упрощения ее расчета.

1. Если индивидуальные значения признака уменьшить или увеличить на некоторое постоянное число, то дисперсия не изменится:

2. Если индивидуальные значения признака разделить или умножить на некоторое постоянное число, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличится) в квадрат от постоянного числа раз:

3. Дисперсия, рассчитанная от постоянной величины, больше дисперсии, рассчитанной от средней, на квадрат разности между средней величиной и постоянной:

s А2 = s х2 + (x - A)2 Þ s x2 = s А2 - (x - A)2 .

97

4. Если постоянную величину приравнять к нулю, то дисперсия будет равная разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней:

s 2 = x2 - x2 = åx2 - x2.

n

6.4. Дисперсия альтернативного признака

Наряду с вариацией количественных признаков часто необходимо определить вариацию качественных или альтернативных признаков. Альтернативным называется признак, который может принимать только два значения: наступление или ненаступление события. Условно считается, что альтернативный признак принимает значение 1, если событие наступило, т.е. обследуемая единица обладает данным признаком, и равное 0, если событие не наступило.

Удельный вес значений признака, для которых событие наступило, обозначим через p, а для которых не наступило– через q. Тогда

p+q =1.

Ряд распределения, построенный по качественному признаку, представим в виде табл. 26.

Средняя арифметическая такого ряда распределения равна:

98

где p - доля единиц, обладающих данным признаком;

q - доля единиц, не обладающих данным признаком. Дисперсию альтернативного признака можно рассчитать следующим образом:

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака: s = pq.

Если значения p и q неизвестны, то для дисперсии берется самая большая их величина: p =q= 0,5:

s 2 = p × (1 - p) = 0,5 × 0,5 = 0,25.

6.5. Правило сложения дисперсий

Вариация признака обусловлена различными факторами, которые можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность разбита на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия ( so2 )измеряет вариацию признака по всей

совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных

значений признака хi от общей среднейxo и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия:

99

sо2 = å(xi - xo )2 × fi .

åfi

Межгрупповая дисперсия( d 2 )характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых(частных)

средних x j от общей средней xo :

d2 = å(x j - xo )2 × f j ,

åf j

где x j - средняя по отдельной группе (групповая средняя);

xo - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности;

f j -численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группыхi от

средней арифметической этой группы x j (групповой средней) и

может быть исчислена как простая или взвешенная дисперсия по формулам соответственно:

s 2j = å(xi - x j )2 , n

s2j = å(xi - x j )2 × fi .

åfi

Зная внутригрупповую дисперсию по каждой группе единиц совокупности, можно определить общуюсреднюю из

внутригрупповых дисперсий( s 2 ):

100