Статистика. Учебное пособие

где s 2j - внутригрупповая дисперсия по отдельной группе.

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

sо2 =d2 +s2j .

Пользуясь правилом сложения дисперсий, всегда можно по двум известным дисперсиям определить третью— неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

6.6. Дисперсионный анализ взаимосвязей между признаками

Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак. Поэтому в статистике широко используется дисперсионный анализ, основанный на расчете эмпирического коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Эмпирический коэффициент детерминации(h2 ) -

показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

h2 = d 2 . sо2

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака (у) под влиянием факторного признака (х) (остальная часть общей вариации у обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи коэффициент равен нулю, а при функциональной связи - единице.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

101

Оно показывает тесноту связи между группировочным -и ре зультативным признаками, может принимать значения от0 до 1.Определить тесноту связи можно по шкале Чеддока (табл. 27).

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних

равна общей дисперсии ( d 2 = sо2 ), т.е. внутригрупповой вариации

не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Чем ближе значение корреляционного отношения к единице, тем теснее связь между признаками.

Пример. Имеются следующие данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой (табл. 28).

Для результативного признака (время простоя) исчислим: 1) общую дисперсию; 2) внутригрупповые дисперсии; 3) среднюю из внутригрупповых дисперсий; 4) межгрупповую дисперсию; 5) проверим правило сложения дисперсий. В этом примере данные группируются по числу выполненных разгрузок, являющихся факторным признаком х.

102

Результативный признак у (время простоя) варьирует как под влиянием систематического факторах - число грузчиков (межгрупповая вариация), так и других неучтенных случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповых.

1. Исчислим общую дисперсию

sо2 = å(yi - yo )2 × f .

åf

Для этого составим дискретный ряд распределения и проведем промежуточные расчеты (табл. 29):

Общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию времени простоя.

2. Различия в величине изучаемого признака, прежде всего, возникают под влиянием числа грузчиков, принимающих участие в разгрузке. В связи с этим в совокупности выделяются 2 однородные группы по числу грузчиков:

-в первую включаются наблюдения при числе грузчиков 3;

-во вторую – при числе грузчиков 4.

103

Для каждой из выделенных групп определяется внутригрупповая дисперсия, возникающая под влиянием неучтенных факторов

(табл. 30, 31):

Внутригрупповые дисперсии показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме различий в числе грузчиков(внутри группы оно одинаковое).

3. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

104

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию времени простоя, обусловленную всеми факторами, кроме числа рабочих, но в среднем по всей совокупности.

4. Исчислим межгрупповую дисперсию:

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по численности.

5. Суммирование средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дает общую дисперсию:

sо2 = d 2 +s 2 =10,7 + 4,3 = 15,0.

Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака (числа грузчиков) на изучаемый признак (время простоя под разгрузкой). Далее определим тесноту связи между временем простоя и числом грузчиков:

h2 = d 2 = 10,7 = 0,713. sо2 15

Это означает, что на 71,3 % вариация времени простоя обусловлена различиями в числе грузчиков и на28,7 % – влиянием прочих факторов.

простоя и числом грузчиков как тесную.

105

ГЛАВА 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ЯВЛЕНИЙ

7.1. Понятие о взаимосвязях социально-экономических явлений

Исследуя природу, общество, экономику, необходимо учитывать взаимосвязи между наблюдаемыми процессами и явлениями. При этом полнота описания так или иначе определяется количественными характеристиками причинно-следственных связей между ними. Оценка наиболее существенных из них, а также воздействия одних факторов на другие является одной из основных задач статистики.

Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяютфункциональную (полную) и корреляционную (неполную) связь. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции. Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между произ-

водительностью труда и увеличением объема производства продукции.

Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев.

При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции. Например, некоторое увеличение аргумента повлечет за собой лишь среднее увеличение или уменьшение (в зависимости от направленности) функции, тогда как конкретные значения у отдельных единиц наблюдения будут отличаться от среднего. Такие зависимости встречаются повсеместно. Например, в сельском хозяйстве это может быть связь меж-

106

ду урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что последние участвуют в формировании урожая. Но для каждого конкретного поля или участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается – увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.

По направлению связи бываютпрямыми, когда зависимая

связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные– множественной.

Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но, кроме перечис-

ленных, различают также непосредственные, косвенные и лож-

ные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь – это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.

По силе различаютсялабые и сильныесвязи . Эта фор - мальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

107

В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционнорегрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле – когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле– когда исследуется сила связи и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и -воз действие одних факторов на другие.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, применение которых дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах прикладных программ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

108

Методы оценки тесноты связи подразделяются: -на корреляционные (параметрические), - непараметрические.

Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы – параметрические – и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

7.2. Парная корреляция и парная линейная регрессия

Простейшим приемом выявления связи между двумя признаками является построение корреляционной таблицы (табл. 32).

109

Воснову группировки положены два изучаемых во взаимосвязи признака – x и y. Частоты fij показывают количество соответствующих сочетаний x и y. Если fij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного соче-

тания fij допустимо утверждать о связи между x и y. При этом, если fij концентрируется около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

Наглядным изображением корреляционной таблицы служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладывают значенияx, по оси ординат – y, а точками показывается сочетание x и y. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

Витогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два распределения – одно по x, другое по y. Для каж-

дого xi рассчитывается среднее значение y, т.е. yi :

z

åy j fij

å fij j =1

Последовательность точек (xi, yi ) дает график, который

иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака y от факторногоx, – эмпирическую линию регрес-

сии, наглядно показывающую, как изменяется y по мере изменения x (рис. 17).

По существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже -ха рактеризуют взаимосвязь, когда выбраны факторный и результативный признаки и требуется сформулировать предположения о форме и направленности связи. В то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов.

110