Статистика. Учебное пособие

ГЛАВА 8. ВЫБОРОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

8.1. Понятие генеральной совокупности и выборки

Под выборочным наблюдением понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели статистической совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положения случайного отбора.

Значительная часть задач статистики связана с необходимостью описать большую совокупность объектов, которую называют генеральной. Генеральной совокупностью, например, могут быть все жители г. Воронежа, месячный выпуск продукции молокоперерабатывающего завода, популяция рыб, живущих в озере.

Если интересующая нас совокупность объектов слишком многочисленна или ее объекты труднодоступны, или имеются другие причины, не позволяющие изучить все объекты, прибегают к изучению какой-то части объектов. Эта выбранная для полного исследования часть называетсявыборкой. Ее необходимо сформировать так, чтобы она наилучшим образом (полно и адекватно) представляла генеральную совокупность, т.е. была, репре-

зентативной (представительной).

Генеральной совокупностью (X) называют множество ре-

зультатов всех мыслимых наблюдений над значениями одного или нескольких признаков, которые могут быть сделаны при данном комплексе условий. При этом комплекс условий определяет вариацию признаков генеральной совокупности.

Выборочной совокупностью (выборкой) х1, х2, ..., хп назы-

вают множество результатов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Достоверность рассчитанных по выборочным данным характеристик в значительной степени определяется репрезентативностью выборочной совокупности, которая, в свою очередь, зависит от способа отбора единиц из генеральной совокупности.

Способом отбора называется система организации отбора единиц из генеральной совокупности. Различают индивидуальный, групповой и комбинированный отборы.

121

При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом — группы единиц, при комбинированном— сочетается групповой и индивидуальный отборы.

Виды отбора по возможности продолжения участия отобранной единицы в процедуре отбора: бесповторный и повторный отбор.

Бесповторным называется такой отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, из которой осуществляется дальнейший отбор. При повторном отборе попавшая в выборку единица после регистрации наблюдаемых признаков возвращается в исходную(генеральную) совокупность для участия в дальнейшей процедуре отбора. При этом виде отбора объем генеральной совокупности на всем протяжении процедуры выборки остается неизменным, что обусловливает постоянную вероятность попадания в выборку всех единиц совокупности.

Повторный отбор применяется в тех случаях, когда характер исследуемого явления предполагает возможность повторной регистрации единиц. Такая возможность, прежде всего, может иметь место в выборочных обследованиях населения в качестве покупателей, пациентов, избирателей, абитуриентов и т.д. К повторному также приравнивается отбор из совокупности, значительно превышающей объем выборки, а также из совокупности, границы которой не определены, например, вследствие непрерывного производственного процесса. В подобных случаях значения отобранных единиц рассматривают как гипотетические величины, не исключающие возможности многократного повторения. Способ отбора определяет конкретный механизм или метод выборки единиц из генеральной совокупности.

8.2. Методы отбора единиц в выборочную совокупность (виды выборок)

В практике выборочных обследований наибольшее распространение получили следующие виды выборок:

- собственно-случайная;

122

-механическая;

-типическая;

-серийная;

-комбинированная.

Собственно-случайная выборка состоит в том, что выбо-

рочная совокупность образуется в результате случайного(непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки. Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной совокупности n к численности единиц генеральной совокупности N:

K B = n . N

Например, при 5%-ной выборке из партии товара в2000 ед. численность выборки n составит 100 ед. (5·2000/100), а при 20%-ной выборке она составит 400 ед. (20·2000/100) и т.д. Собст-

личество жребиев - фишек, шаров, карточек, соответствующее объему генеральной совокупности. Каждый жребий должен содержать информацию об отдельной единице совокупности— номер, фамилию лица или адрес, название или какой-либо другой отличительный признак. Необходимое в соответствии с установленным процентом отбора количество жребиев извлекается из общей их совокупности в случайном порядке.

При отборе по таблицам случайных чисел каждая единица генеральной совокупности должна иметь порядковый номер. Таблицы случайных чисел получаются с помощью датчика случайных чисел на компьютере и представляют собой абсолютно произвольные столбцы цифр. В соответствии с объемом генеральной совокупности выбирается любой столбец с числами не-

123

столбцы, при этом числа больше5000 не будут приниматься во внимание. В выборочную совокупность отбираются единицы с порядковыми номерами, соответствующими числам выбранного столбца.

Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным. Для проведения бесповторного отбора в процессе жеребьевки выпавшие жребии обратно в исходную совокупность не возвращаются и в дальнейшем отборе не участвуют. При использовании таблиц случайных чисел бесповторность отбора достигается пропуском чисел в случае их повторения в выбранном столбце или столбцах.

Для изучения способов расчета ошибок выборочного - на блюдения введем условные обозначения:

N – объем генеральной совокупности(число входящих в нее единиц);

п – объем выборочной совокупности(число единиц, попавших в выборку);

х – генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности);

х – выборочная средняя (среднее значение признака в выборочной совокупности);

р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности);

ω – выборочная доля (доля единиц, в выборочной совокупности);

m – количество единиц выборочной совокупности, обладающих изучаемым признаком;

Dх – предельная ошибка средней;

s2 – выборочная дисперсия (дисперсия признака в выборочной совокупности);

Dw – предельная ошибка доли.

Границы генеральной средней рассчитываются по формуле:

х = х ± D х .

124

В табл. 35 видно, что средняя ошибка отличается от предельной ошибки только величиной t – коэффициента доверия, зависящего от доверительной вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки(определяется по таблицам интегральной функции Лапласа).

Пример. На основе 5%-го выборочного обследования домохозяйств города (собственно-случайная повторная выборка) получены следующие данные о расходах на оплату жилищнокоммунальных услуг (табл. 36). Определите с доверительной вероятностью 0,954:

1) интервал, в котором могут находиться средние расходы домохозяйств на жилищно-коммунальные услуги;

125

2) предельную ошибку выборочной доли(ω) – доли домохозяйств, оплата которых составляет более 400 д.е., и интервал, в котором эта доля может находиться с указанной вероятностью.

Таблица 36

Расходы на оплату жилищно-коммунальных услуг

Решение.

Рассчитаем среднюю арифметическую и границы -гене ральной средней (табл. 37).

Рассчитаем выборочную долю и границы генеральной доли:

выборочная доля: w = 113 + 40 = 0,18 или 18 %.

850

126

Размер предельной ошибки:

Границы генеральной доли: 15,4 % ≤ р ≤ 20,6 %.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности, разбитой на равные интервалы(группы). При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величине доли выборки. Объем механической выборки зависит от пропорции отбора, которая определяется соотнесением объе-

ветствии с установленной пропорцией через равные интервалы. Например, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке — каждая 20-я единица (1:0,05) и т.д.Таким образом, в соответствии с принятой долей отбора, генеральная совокупность как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

При этом необходимо учитывать, что если результат деления получается дробным, сформировать выборку механическим способом при строгом соблюдении процента отбора не представляется возможным. Например, по этой причине нельзя сформировать 3%-ную или 6%-ную выборки. Однако эта проблема легко может быть решена за счет некоторого увеличения процента -от бора.

Репрезентативность механической выборки может быть повышена путем ранжирования единиц генеральной совокупности по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака.

Однако в этом случае возрастает опасность систематической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого интервала регистрируется первое значение) или

127

его завышением (если из каждого интервала регистрируется последнее значение). Поэтому целесообразно из каждого интервала отбирать центральную или одну из двух центральных единиц.

Порядковый номер единицы, с которой начинается отбор, определяется следующим образом: если интервал отбора обозначить как k, то номер первой отбираемой единицы будет равен (k+1)/2,если k- нечетное, и k/2 или (k+2)/2при четном значении k.

Например, при 5%-ной выборке интервал отбора составит 20 единиц, тогда номер единицы, являющейся началом отбора, будет равен 20 / 2=10 или(20+2)/ 2 = 11, т.е. отбор можно начинать с 10-й или с 11-й единицы. В первом случае в выборку попадут единицы с номерами 10, 30, 50, 70 и с таким же интервалом последующие единицы; во втором случае — с номерами 11, 31, 51, 71 и т.д.

Важной особенностью механической выборки является то, что формирование выборочной совокупности можно осуществить, не прибегая к составлению списков. На практике часто используют тот порядок, в котором фактически размещаются единицы генеральной совокупности. Например, последовательность выхода готовых изделий с конвейера или поточной линии, порядок размещения единиц партии товара при хранении, транспортировке, реализации и т.д.

Опасность систематической ошибки при механической выборке также может появиться вследствие случайного совпадения выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Так, при переписи населения в ходе25%-ного выборочного обследования семей имела место опасность попадания в выборку квартир только одного типа (например, только однокомнатных или только трехкомнатных), так как на лестничных площадках многих новых домов располагаются именно по четыре квартиры. Чтобы избежать систематической ошибки, в каждом новом подъезде счетчик менял начало отбора.

Сформированная механическим способом выборка всегда будет бесповторной. Для определения ее средней ошибки используется формула, применяемая при собственно-случайном бесповторном отборе.

128

Типическая выборка. При использовании этого метода отбора генеральная совокупность вначале расчленяется на однородные типические группы. Затем из каждой типической группы собственно-случайным или механическим методом производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании производительности труда работников торговли, состоящих из отдельных групп по квалификации. Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность.

При типической выборке генеральная совокупность делится по некоторым существенным признакам на типические группы; отбор единиц производится из типических групп. При этом методе отбора генеральная совокупность расчленяется на однородные в некотором отношении группы, которые имеют свои характеристики, и вопрос сводится к определению объема выборки из каждой группы. Может быть равномерная выборка – при этом

способе из каждой типической группы отбирается одинаковое число единиц(n1 = n 2 = n m ). Такой подход оправдан лишь при ра-

венстве численностей исходных типических групп. При типическом отборе, непропорциональном объему групп, общее число отбираемых единиц делится на число типических групп, олученная величина дает численность отбора из каждой типической группы.

Более совершенной формой отбора является пропорциональная выборка. Пропорциональной называется такая схема формирования выборочной совокупности, когда численность выборок, взятых из каждой типической группы в генеральной совокупности, пропорциональна численностям, дисперсиям (или комбинированно и численностям, и дисперсиям). Условно определяем численность выборки в100 единиц и отбираем единицы из групп:

1) пропорционально численности их генеральной совокупности:

129

ni = d j × n ,

где ni – численность выборки из типической группы;

n – численность выборки из генеральной совокупности; dj – доля выборки (Ni/N);

Ni – численность типической группы;

N – численность генеральной совокупности; 2) пропорционально дисперсиям:

Пример. Для выявления доли простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов была проведена фотография рабочего дня 10 % рабочих четырех различных цехов. Отбор ра-

130