Статистическая обработка данных в среде wxMaxima. Практикум. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФГБОУ ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

Л. А. КОРОБОВА, С. Н. ЧЕРНЯЕВА, Ю. А. САФОНОВА, В. В. ДЕНИСЕНКО

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ В СРЕДЕ wxMAXIMA

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2019

УДК 519.2 ББК З973.2-018я7

С78

Научный редактор профессор Д. С. САЙКО

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра информационных технологий и автоматизированного проектирования в строительстве Воронежского государственного технического университета

д-р техн. наук В. В. ЛАВЛИНСКИЙ (Воронежский лесотехнический университет им. Д.С. Морозова)

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета инженерных технологий

ISBN 978-5-00032-380-9

© Коробова Л.А., Черняева С.Н., Сафонова Ю.А., Денисенко В.В., 2019 © ФГБОУ ВО «Воронеж. гос. ун-т

инж. технол.», 2019

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

Практическая работа № 1. Предварительная обработка данных при статистическом

моделировании

Цель работы: получить навыки предварительной обработки данных: контроля качества экспериментальных данных, вычисления основных статистических оценок, определения характера объекта, закона распределения случайной величины.

Теоретические сведения

Модель – это упрощенная копия объекта, сохраняющая его основные свойства, необходимые для решения поставленной задачи.

Математическая модель – совокупность знаний об объекте, представленная в виде математических соотношений.

Статистическое моделирование – процесс построения ста-

тистической модели объекта, которая имеет ряд особенностей. Любой объект моделирования представляется в виде«черно-

го ящика», т. е. системы, в которой исследователю известны только X - контролируемые входные параметры; x - неконтроли-

руемые входные параметры(случайные помехи); Y - выходные параметры, а внутренняя структура объекта неизвестна (рис. 1).

ζ

X Y

Рис. 1

Применяется статистический подход, т. е. происходит наблюдение и обработка большого числа экспериментов(в каждом эксперименте происходят ошибки, но при большом количестве экспериментов можно уловить важные закономерности, исследуя какую-нибудь усредненную величину).

3

1) В статистическом моделировании делается допущение,

2) Вероятностный характер последствий принятого решения. Случайная величина – это величина, которая в результате опы-

та может принимать те или иные значения, неизвестные заранее. Выборкой (выборочной совокупностью) называется сово-

купность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которой произведена выборка.

Закон распределения случайной величины – это любое соот-

ношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и соответствующей вероятностью принятия этого значения.

Статистической функцией распределения случайной величины Х называется функция F(X) = P(X<x), которая определяет вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, меньше фиксированного действительного числа.

Основные виды распределения.

1.Равномерный закон. Статистические характеристики случайной величины (СВ) x, равномерно распределенной на интервале [a,b]:

плотность распределения имеет вид

Вероятность попадания значений СВx в любую область длины D из отрезка [a,b] равна D/(b-a) и, следовательно, не зависит от размещения этой области в пределах отрезка [a,b].

4

Функция распределения СВ

2.Нормальный закон. СВ h распределена по нормальному закону с параметрами m и s (s>0), если ее плотность имеет вид

Известно, что М[h]=m, D[h]=s2 (рис. 2).

Рис. 2

3.Показательный закон. СВ h называется показательно распределенной с параметромl > 0, если ее плотность имеет вид

(рис. 3):

5

где l > 0 некоторое число. M [η ]= l1 , D[η ]= l12 .

Рис. 3

Предварительная обработка данных– действия, выпол-

няемые с результатами эксперимента перед построением модели. Назначение предварительной обработки - изучение вероятностных свойств объекта, проверка возможности построения статистической модели. Предварительная статистическая обработка

позволяет изучить свойства у сл ( х ) и проверить указанное допущение. Последовательность действий при предварительной обработке:

1)статистически контроль качества полученных результатов эксперимента (выборки);

2)вычисление основных статистических оценок;

3)определение характера объекта (стохастический или детерминированный);

4) проверка допущения о нормальности распределения

усл ( х ) ;

5)выводы о возможности построения модели.

1) Качество экспериментальных данных более всего ухудшают грубые ошибки эксперимента – аномальные наблюдения, которые не отражают закономерностей изучаемого явления и должны быть обнаружены и исключены. Для их обнаружения используют критерий Грабса.

6

Пусть у1, у2,…, уN – результаты наблюдений. уj – результат, подозрительный на аномальность(резко выделяющийся). Его исключают из выборки, а по остальным наблюдениям вычисляют статистические оценки:

вие выполняется, то yj – аномально и его надо исключить.

Если условие не выполняется, то yj – не аномально и его надо вернуть в выборку, а оценки пересчитать с учетом yj.

3) Объект считается детерминированным, если степень влияния случайных помех невелика. В противном случае он считается стохастическим. Это можно оценить по коэффициенту вариации:

Если V < δ (максимальная погрешность модели), то объект можно считать детерминированным. В пищевой отрасли обычно δ = 5 – 10 %. Если δ ≤ V ≤ 0,3, то объект стохастический, но доля детерминированной составляющей достаточно велика, можно построить модель. Если V > 0,3, то объект чисто стохастический, его поведение непредсказуемо и модель построить нельзя.

Замечание. Для вычисления коэффициента вариации и оценки степени стохастичности объекта входные параметры должны быть постоянны (одинаковы) во всех опытах, тогда оценивается влияние только случайных помех. Обычно входные параметры фиксируют посредине рабочего интервала.

7

4) Для проверки нормальности распределенияусл необходимо интервал экспериментальных значенийуi (интервал [ymin,

n эксп

ymax]) разбить на d частей, d=1+3.32lg(N), и вычислить j - число попаданий результатов наблюдений вj-ю часть интервала,

n теор

так же вычисляется j - теоретическое число попаданий в j-ю часть интервала, которое должно получиться, если результаты наблюдений действительно распределены нормально. Потом вычисляются значения критерия Пирсона;

ность подтверждается: n = d-3 – параметр критерия Пирсона. Ес-

8

Точка y = 1,11 совпала с граничной точкой, в этом случае ее можно отнести к любому интервалу, но только к одному(рис. 4). Затем строится гистограмма.

Рис. 4

По ее виду можно догадаться о законе распределения случайной величины (нормальный, равномерный, показательный) (рис. 5). Если нормальность подтверждается и V < 0,3, то модель можно построить.

Рис. 5

Решение в wxMaxima

(%i18) Y:[1.09, 0.3, 0.66, 1.38, 0.34, 0.83, 1.14, 0.97, 0.79, 1.11];

(Y) [1.09, 0.3, 0.66, 1.38, 0.34, 0.83, 1.14, 0.97, 0.79, 1.11] (%i22) N:length(Y);

(N)10

9

(V)0.4072

Вывод: из графика видно, что распределение не является нормальным; значение коэффициента вариации больше0,3 - объект чисто стохастический, его поведение непредсказуемо и модель построить нельзя

10