Статистическая обработка данных в среде wxMaxima. Практикум. Учебное пособие

Если Кэф >>4, то модель эффективна.

4. Оценка значимости коэффициентов модели. Выдвигаются две гипотезы.

Основная Н0: bi = 0 – коэффициент незначимый; Альтернативная На: bi ¹ 0 – коэффициент значимый.

Проверку проводят с помощью 3-го критерия Стьюдента:

где Сii – диагональный элемент обратной матрицы (ΦT Φ)-1 . Определяется табличное значение критерия Стьюдента

Ттабл(α/2, n), где α/2 = 0,025; n = N – k - число степеней свободы

Рассмотрим модель: y = b0 + b1 x1 + b2 x 2 .

Матрица входных параметров (матрица плана эксперимента):

Матрица выходных экспериментальных данных:

æ 6 ö ç ÷

ç 8 ÷

Y= çç12 ÷÷ .

ç15 ÷

ç÷

è17 ø

31

3. Вычисляем FТY:

ç÷

ç15 ÷

ç÷

è17 ø

4.По уравнению (1) записываем систему уравнений, линейную относительно коэффициентов модели bi:

ì 5b0 + 47b1 + 24b2 = 58,

ï

í47b0 + 465b1 + 244b2 = 629, ïî24b0 + 244b1 + 130b2 = 313.

Решаем полученную систему и находим значения коэффициентов.

Решение в wxMaxima Параметрический синтез

Составляем регрессионную матрицу:

(%i1) Φ:matrix([1,6,2],[1,8,4],[1,10,5],[1,11,6],[1,12,7]);

32

(%i2) Y:matrix([6],[8],[12],[15],[17]);

(Y)æ6 ö

ç÷

ç8 ÷

ç÷

ç12 ÷

ç÷

ç15 ÷

ç÷

è17 ø

ç47 465 244÷

ç ÷

è24 244 130 ø

(%i5) C:transpose(Φ).Y;

(C)æ58 ö

ç÷

ç589÷

ç÷

è313ø

Находим коэффициенты регрессии: (%i6) B:invert(A).C;

33

Вычисляем выходной параметр по модели: (%i7) Y1:Φ.B;

ç÷

ç197 ÷

ç÷

è 12 ø

(%i8) N:length(Y1);

(N)5

Статистический анализ Вычисляем остаточную дисперсию:

(%i9) Sost:sum((Y[i]−Y1[i])2/(N−3),i,1,N);

é29 ù (Sost) ê ú

ë24 û

Вычисляем коэффициенты детерминации: (%i10) Y2:mean(Y);

34

(%i11) R2:1−sum((Y[i]−Y1[i])2,i,1,N)/sum((Y[i]−Y2)2,i,1,N);

Проверяем эффективность модели: (%i12) k:3;

(k)3

(%i13) Sreg:sum((Y1[i]−Y2)2,i,1,N)/(k−1);

Оцениваем значимость коэффициентов модели:

(%i16) for i:1 thru 3 do (Tv[i]:B[i]/sqrt(Z[i,i]·Sost),i,1,3,Tv[i]);

35

Задание (Исходные данные в приложении 5.)

1.Выполнить параметрический синтез модели.

2.Провести статистический анализ полученной модели.

3.Решить задачу с помощью wxMaxima.

4.Записать вывод.

Практическая работа № 6. Полный факторный эксперимент

Цель работы: освоить методы построения статистических моделей на основе регрессионного анализа.

Теоретические сведения

При полном факторном эксперименте (ПФЭ) число опытов равно числу всех возможных комбинаций уровней факторов и при одинаковом числе уровней для каждого фактора определяется формулой:

где n — число уровней; k — число факторов ( j = 1, 2, …, k). ПФЭ 2k называется такое проведение опытов, при котором каждый из k фак-торов рассматривается только на двух уровнях. При этом

уровни фак-торов представляют собой границы варьирования

36

новным уровнем; величины ∆z1 и ∆z2 — интервалами варьирования по осям z1 и z2 .

Как следует из уравнений (1) и (2), для переменных х1 и х2 нижний уровень равен –1, верхний — +1, координаты центра плана равны нулю.

Пример расчета

В результате эксперимента получены статистические данные для процесса обогащения хлеба сывороточно-белковым концентратом. В качестве основных факторов, влияющих на изменение удельного объема хлебаY (в см3/100 г), выбраны X1 – количество вносимого сахара(в %), Х2 – количество сывороточнобелкового концентрата (в %), Х3 – влажность теста (в %), с матрицей планирования и результатами эксперимента (таблица).

Количество членов модели не должно превышать количество опытов. Неполная квадратичная модель строится в виде

Y(i) = b0 x 0 + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x3 + b4 x1 x 2 + b5 x1 x3 + b6 x 2 x3 + + b7 x1 x 2 x3 ,

где х0 – фиктивный входной параметр для учета случайных по-

мех, х0 = 1.

Коэффициенты регрессии вычисляются по формуле

bj = 1 åN x(i, j )× yн (i); j =1÷ M,

N i=1

где М – количество коэффициентов уравнения (М<N). В рассматриваемом примере

37

+ 1 × 402 ,838 - 1 × 386,7 + 1 × 414 ,05 ).

Проверка значимости коэффициентов регрессии выполняется по критерию Стьюдента:

где Sbj - точность определения коэффициентов регрессии:

где N1 – число серий параллельных опытов; N - число опытов в одной серии; Y(i, k) – значение исходного параметра в i- м опыте k-й серии; Yн(i) – среднее значение в i-м опыте.

Для рассматриваемого параметра N1 = 2, N = 8.

Коэффициент в уравнении регрессии является значимым, если расчетное значение критерия Стьюдента больше табличного (Тj >Ттабл). Табличное значение критерия выбирается из таблицы для числа степеней свободыf = N·(N1–1) и требуемого уровня

значимости Р. В рассматриваемом примере для f = 8 × (2 - 1) = 8 и Р=0,05 Ттабл = 2,31. Незначимый коэффициент из уравнения регрессии исключается (приравнивается нулю).

Проверка адекватности модели выполняется по критерию Фишера:

38

где NP – количество значимых коэффициентов в уравнении регрессии; Yв(i) – значение выходного параметра, рассчитанное по уравнению регрессии при условии i-го опыта. Модель адекватна, если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного (F < Fтабл) при проведении серии параллельных опытов или дополнительных. Табличное значение критерия Фишера определяется по таблице для соответствующего числа степеней свободы f1 = N – NP и f2 = N1 – 1 и заданного уровня значимости Р =0,05.

В рассматриваемом примере f2 = 2 – 1 = 1.

Решение в wxMaxima

Исходные данные: (%i1) X: matrix(

[1,−1,−1,−1], [1,1,−1,−1], [1,−1,1,−1], [1,1,1,−1], [1,−1,−1,1], [1,1,−1,1], [1,−1,1,1], [1,1,1,1] );

39

(%i3) N:length(X);

(N)8

Вычисление коэффициентов регрессии: (%i5) transpose(X);

40