Статистическая обработка экспериментальных данных. Дисперсионный и ковариационный анализы в языке R. Учебное пособие

Дисперсионный и ковариационный анализ в языке R

Цель занятия: изучить методы дисперсионного и ковариационного анализа и их реализацию с помощью языка R.

В теоретической (лекционной) части описаны понятия дисперсионного и ковариационного анализа, приведены примеры однофакторного дисперсионного анализа для независимых переменных, однофакторного дисперсионного анализа для повторных измерений, многофакторного дисперсионного анализа, однофакторного ковариационного анализа. Практическая часть содержит следующие задания: определение того, сбалансирован ли эксперимент; определение средних значений и стандартных отклонений для групп; выполнение однофакторного дисперсионного анализа, двухфакторного дисперсионного анализа, однофакторного ковариационного анализа.

Занятия по изучению языка R и его применению для решения задач статистической обработки результатов эксперимента могут проводиться в виде лабораторных работ либо практических занятий. Для работы достаточно располагать компьютерным классом с установленным RGui. Язык программирования R, а так же и среда RGui 3.4 являются свободно-распространяемым программным обеспечением, и лицензируется в соответствии с GNU General Public License от 23 июня 2007 года. Полный текст лицензионного соглашения представлен на сайте: https://www.r- project.org/Licenses/GPL.

3

1.Теоретическая часть

1.1.Дисперсионный анализ

На предыдущем занятии [1] рассматривался метод регрессионного анализа, который используется для обнаружения зависимых и независимых переменных, описания их взаимосвязи с помощью уравнения с числовыми коэффициентами и предсказания значений зависимой переменной с использованием полученного уравнения.

Рассмотрим понятие дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ (ANOVA, ANalysis Of VAriance) –

метод в математической статистике для обнаружения зависимостей в экспериментальных данных посредством исследования значимости различий в средних значениях. Позволяет выполнять сравнения для трёх и более групп. В зависимости от типа и количества переменных выделяют следующие виды дисперсионного анализа:

-по количеству независимых переменных: однофакторный и многофакторный;

-по количеству зависимых переменных: одномерный и многомерный;

-с повторными измерениями;

-с постоянными/случайными факторами, а также смешанные

модели.

Для применения дисперсионного анализа необходимо выполнение следующих исходных положений:

-нормальное распределение значений изучаемого признака в генеральной совокупности;

4

-равенство дисперсий в сравниваемых генеральных совокупностях;

-случайный и независимый характер выборки.

Введем некоторые понятия из языка R, необходимые для дальнейшего рассмотрения темы.

В терминологии языка R выделяют следующие виды переменных:

-непрерывные данные могут принимать любое значение в пределах определенного диапазона. Их значения можно упорядочить и понять, насколько одно больше другого. В качестве примера можно привести возраст человека, рост, вес, температуру;

-номинальные данные - это категориальные данные, которые нельзя упорядочить. В качестве примера приведем один из вариантов классификации транзисторов по структуре: биполярный и полевой транзисторы. Если мы обозначим эти типы цифрами 1 и 2 (например, 1– биполярный, 2 – полевой), то всё равно не сможем их сравнить или упорядочить;

-порядковые данные - категориальные данные, которые можно упорядочить, но нельзя оценить количественно.

Категориальные данные (т. е. характеризующие исследуемый процесс или объект качественно и не имеющие количественного выражения) в языке R также называются факторами. В приведённой выше классификации категориальные данные – это номинальные и порядковые.

Дисперсионный анализ исследует, как один или несколько факторов влияют на одну или несколько зависимых переменных. В качестве независимых переменных могут выступать как непрерывные, так и категориальные значения.

5

Модели ANOVA можно анализировать с помощью функций lm (построение линейной модели) или aov (выполнение дисперсионного анализа), так как с функциональной точки зрения ANOVA и регрессия

– два частных случая линейной модели. В данной работе будет применяться функция aov.

Функция aov имеет следующий синтаксис:

aov (формула, data=таблица_данных)

В таблице 1 представлены символы, которые можно использовать в формуле. Зависимая переменная обозначена как y, факторы – как буквы A, B, C.

Таблица 1 – Специальные символы в формулах языка R

6

Для лучшего понимания рассмотрим дисперсионный анализ на примере, ориентируясь на дальнейшую реализацию метода с помощью языка R.

Пример 1

Предметная область – технологии запоминания информации. Требуется определить, какой метод эффективнее: составление ментальных карт или многократное прослушивание. Группа для исследования состоит из 10 человек.

Рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ. На рисунке 1 представлен дизайн эксперимента1 для этого варианта. Под дизайном эксперимента понимается выбор факторов, зависимых и независимых переменных. Пусть мы хотим определить, какой метод

1 Термин «дизайн эксперимента введён Р. Кабаковым в книге «R в действии. Анализ и визуализация данных в программе R» [3]

7

запоминания работает лучше: ментальные карты или многократное прослушивание. Мы случайным образом распределяем 10 человек на две группы. В течение некоторого времени одна группа учит большой объём информации путём построения ментальных карт, а другая – путём многократного прослушивания материала. По окончании этого времени каждую группу просят пройти тест, чтобы оценить уровень запоминания материала.

Рисунок 1 - Дизайн эксперимента для однофакторного дисперсионного анализа

На рисунке 2 приведены исходные данные для реализации примера на языке R. Важно отметить, что представленные в тексте примеры предназначены для демонстрации применения метода, и исходные данные в них придуманы. Переменная person – уникальный идентификатор участника эксперимента. Переменная method представляет собой фактор с двумя уровнями: 1 и 2. Переменная res5weeks – результат тестирования через 5 недель после обучения в процентах.

8