Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Статистическая обработка экспериментальных данных. Полный факторный эксперимент в языке R. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Рязанский государственный радиотехнический университет

им. В.Ф. Уткина

А.С. ПЕРЕКАТОВ, М.Б. НИКИФОРОВ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ.

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

В ЯЗЫКЕ R

Учебное пособие

Рязань 2019

УДК 004.9

радиотехнический университет

им. В.Ф. Уткина, 2019

Статистическая обработка экспериментальных данных. Полный

факторный эксперимент в языке R: учеб. пособие / А.С. Перекатов, М.Б. Никифоров; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. Рязань, 2019. 48 с.

Рассмотрены основные определения и критерии проведения полного факторного эксперимента (ПФЭ). Изложена методика выполнения пошагового ручного расчета коэффициентов уравнения для ПФЭ, затем по тому же алгоритму представлена реализация на языке программирования R.

Предназначено для магистрантов, обучающихся по направлениям 02.04.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», аспирантов, обучающихся по направлениям 02.06.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и 09.06.01 «Информатика и вычислительная техника».

Табл. 14. Ил. 18. Библиогр.: 10 назв.

Полный факторный эксперимент (ПФЭ), матрица планирования, уравнение регрессии и его коэффициенты, критерий Стьюдента, среднеквадратичное отклонение, критерий Фишера, программирование на языке R

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: зав. кафедрой «Электронные вычислительные машины» РГРТУ (д-р техн. наук, профессор Б.В. Костров)

Введение

Экспериментальные исследования широко применяются на всех стадиях разработки, производства и эксплуатации различных технических объектов, в частности средств автоматики и информационно-измерительной техники. При создании электронных и электротехнических устройств основные затраты приходятся на их настройку и испытания.

Теория планирования эксперимента формулирует приемы и способы оптимальной организации исследовательской работы. Овладение основами теории эксперимента и практическими приемами ее использования повышает эффективность работы исследователя, позволяет с наименьшими затратами решать многие практически важные исследовательские задачи: построение по опытным данным математической модели объектов, оптимизацию процессов, проверку различных предположений.

Рабочие процессы устройств автоматики протекают в изменяющихся условиях, следовательно, зависят от большого числа переменных. Описание таких процессов аналитическими методами не всегда возможно. Поэтому при исследовании рабочих процессов устройств необходимо применять методы планирования эксперимента, которые позволяют проводить исследования, одновременно варьируя все влияющие факторы. По экспериментальным данным формируется математическая модель исследуемого объекта. Математическое описание устройств и процессов позволяет исследовать и оптимизировать их параметры.

1. Теоретическая часть

1.1. Выбор цели эксперимента, «черный ящик», матрицы плана

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и

условий проведения опытов, необходимых и достаточных для получения математической модели процесса. При этом важно учитывать следующее: стремление к минимизации числа опытов; одновременное варьирование всех переменных, определяющих процесс; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов. Перед проведением планирования активного эксперимента необходимо собрать дополнительную информацию об исследуемом объекте, для получения которой используются навыки и знания, которые получены ранее в предыдущих исследованиях или описаны в литературе.

При использовании метода активного планирования весь эксперимент обычно разбивается на несколько этапов. Информация, полученная после каждого этапа, используется для планирования исследований на следующем этапе. Планирование эксперимента позволяет варьировать ряд факторов и получать одновременно количественные оценки всех проявляющихся эффектов, при этом, в отличие от классического регрессионного анализа, избежать корреляции между коэффициентами уравнения регрессии. При статистическом подходе математическая модель объекта или процесса представляется в общем виде полиномом n-степени, т.е. отрезком ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная функция:

где — свободный член;

— линейные эффекты;

— эффекты парного взаимодействия;

— квадратичные эффекты;

— эффекты тройного взаимодействия.

Для описания объекта исследования используют так называемую систему «черный ящик» (рис. 1).

Рис. 1. Система «черный ящик»

Суть системы «черный ящик» состоит в изучении зависимости отклика системы Y на изменение входных измеряемых и управляемых параметров при действии случайных

факторов , которые называют «шумом» объекта. Комплекс параметров Х называют основным, он определят условия

эксперимента. Выходным параметром Y могут являться любые технологические или технические показатели исследуемого процесса. Случайным будет считаться любой фактор, не вошедший в комплекс варьируемых входных параметров.

При полном факторном эксперименте полученное уравнение регрессии принимает вид полинома первой степени, пример поверхности отклика представлен на рис. 2.

При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Количество опытов N при ПФЭ определяется по формуле: ,

где n – количество уровней,

k –число факторов.

Рис. 2. Поверхность отклика (а) и линии равного уровня (б)

для уравнения регрессии первого порядка для k=2

Фактор – измеряемая величина, описывающая влияние на объект исследования. Каждое значение, принимаемое фактором, называется уровнем фактора.

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Простая формула, которая для этого используется: , где N – число опытов, k – число факторов, 2 –

число уровней. В общем случае эксперимент, в котором реализуются всевозможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный факторный эксперимент типа 2

Нетрудно написать все сочетания уровней в эксперименте с двумя факторами. В планировании эксперимента используются кодированные значения факторов: +1 и –1 (часто для простоты записи единицы опускают). Условия эксперимента можно записать в виде

№ опыта

y 1 –1

–1

y1 2 +1

–1

y3 4 +1

таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами

планирования эксперимента.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются таким образом, чтобы верхний уровень соответствовал (+1), нижний (–1), а основной – нулю. Это всегда можно сделать с помощью следующего преобразования:

где – кодированное значение фактора;

- истинное значение фактора;

- истинное значение нулевого уровня;

- интервал варьирования;

i - номер фактора.

Матрица планирования для двух факторов приведена далее.

Каждый столбец в матрице планирования называют векторстолбцом, а каждую строку – вектор-строкой. Таким образом, имеем 2 вектор-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизации.

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается (+1), другой (–1); порядок значения не имеет. Графически процедуру кодировки можно представить как смещение осей факторного пространства в центр области проведения эксперимента, рис. 3 (представлен случай двух факторов).

Рисунок 3 – Графическое изображение процедуры кодировки

факторов

Очень важны общие свойства матрицы планирования:

 симметричность матрицы относительно центра эксперимента

тогда ;

 – условие нормировки, то есть сумма квадратов

элементов каждого столбца равна числу опытов. Первые два

свойства относятся к построению отдельных столбцов матрицы;

 – свойство совокупности столбцов, где ;  ротатабельность, означает, что точки (значения факторов) в

матрице планирования подбираются так, чтобы точность

предсказания выходного параметра была одинакова на равных

расстояниях от центра эксперимента (нулевого уровня) и не

зависела от направления.

Ниже приведен алгоритм построения матрицы планирования, основанный на методе чередования знаков.

Метод основан на следующей процедуре: в первом столбце знаки чередуются, во втором – вводятся попарно, в третьем – по четыре и т.д. Вообще число одинаковых знаков, идущих подряд, определяется величиной 2 первого столбца 2

1-1=20

наблюдается чередование, для второго фактора 2

k-1

, где k – номер фактора. В самом деле, для

=1 – подряд идет только по одному знаку, т.е.

2-1=21

=2 – идет по два

одинаковых знака подряд (попарное расположение). Этот прием можно продемонстрировать на примере матрицы 23, рис. 4.

Рис. 4. Чередование знаков в матрице

1.2. Выбор факторов, ограничений и диапазонов основного уровня

Предположим, что изучается влияние ряда факторов

(i=1,…, k) на некоторую величину y. Для этого проводятся

эксперименты по определенному плану, который позволяет реализовать все возможные комбинации факторов. Причем каждый фактор рассматривается лишь на двух фиксированных уровнях (верхнем и нижнем). Число всех экспериментов (опытов) в этом случае будет равно , где k – количество изучаемых факторов. Постановка опытов по такому плану называется полным факторным экспериментом типа (ПФЭ ) .

План проведения экспериментов записывается в виде матрицы планирования, в которой в определенном порядке перечисляются различные комбинации факторов на двух уровнях. Например, в табл. 1 приведена матрица планирования ПФЭ для трех факторов: . Знак «+» говорит о том, что во время опыта значение фактора устанавливают на верхнем уровне, а знак «–» показывает, что значение фактора устанавливают на нижнем уровне.

Таблица 1. Матрица планирования ПФЭ

№ эксперимента

Изучаемые факторы

+ + + 2 – + +

+ – +

– – +

+ + – 6 – + – 7 + – –

– – –

При проведении экспериментов получают значения исследуемой

величины y для каждого опыта (или серии опытов). Затем переходят к построению математической модели.

Под моделью понимается вид функции ,

которая связывает изучаемый параметр со значениями факторов, лежащих в интервале между верхним и нижним уровнями. Эту функцию называют уравнением регрессии. По накопленному разными исследователями опыту работы с различными моделями можно считать, что самыми простыми моделями являются алгебраические полиномы.

Для обработки результатов проведенных экспериментов и дальнейшего определения коэффициентов уравнения регрессии факторы приводят к одному масштабу. Это достигается путем кодирования переменных. Обозначим нижний уровень фактора через , а верхний уровень – через (т.е. , i=1,…, k). Тогда новые кодированные переменные будут определяться через по формуле

, (1)

где называют центром плана, – интервалом варьирования и находят с помощью соотношений:

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]